立体几何专题

#/12.€AB丄BD，AB丄BA・TOC\o"1-5"\h\ziii€.AB丄平面ABD・ii(II)设平面aad的法向量为n=(x,y,z)・iAD=(—1,—咕3)，AA=(020)・•*n_LAD，n丄aa1inAD=0,.-x+y-逅z=0,y=0nAA=0,[2y=0,„x=—巧z・Ji令z=1得n=(-73,01)为平面AAD的一个法向量.i由（I）矢口ab丄平面ABD,ii€.AB为平面ABD的法向量.iicos<nab>=icos<nab>=in・AB|4|AB二面角A—AD—Bi的大小为arccos乎.（III）由（II）,需为平面abd法向量,ii•・•BC=(—2,0,0),AB=(i,2,3)・i・€点C到平面ABD的距离d=BTBi=]-2止.iAB222i考点2异面直线的距离例2已知三棱锥S-ABC，底面是边长为4J2的正三角形，棱SC的长为2,且垂直于底面。E、D分别为BC、AB的中点，求CD与SE间的距离。解答过程：如图所示，取BD的中点F,连结EF,SF,CF,・€EF为ABCD的中位线,・€EF〃CD,€CD〃面SEF,.€CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离。又€•线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF的距离，设其为h,由题意知，BC=4迈,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点,

CD€2、6,EF€1CD=.、/6DF=迈,SC=22.V€1丄•EF，DF，SC€-，1.「6，•、辽，2€三S-cef32323在Rt„SCE中，SE=€気匚CE2€2詔在Rt„SCF中，SF€VSC2+CF2€、；4…24…2=^30又•€EF由于V€又•€EF由于V€VC-SEFS-CEF€3，S„SEFh，即13h€羊，解得h€聲故CD与SE间的距离为2订3~3~考点3直线到平面的距离例3.如图，在棱长为2的正方体Aq中，G是AA]的中点，求BD到平面GB^＜的距离.OiDO思路启迪：把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解。OiDO解答过程：解析一€•BD〃平面GB]D1,.BD上任意一点到平面GB]£的距离皆为所求,以下求点0平面GB]D]的距离，•€BD丄AC，BD丄AA，.BD丄平面AACC，11111111111又•€BDu平面GB]D].平面A】ACC】丄GB]D】，两个平面的交线是O]G,作OH丄O]G于H,则有OH丄平面GB】D]，即OH是O点到平面GB】D】的距离。TOC\o"1-5"\h\z1i「「在„OOG中，S€，OO，AO€—•2，\；2=p2。】AO]OG2】2又S€1，OH，OG€1•込，OH€•、辽，:.OH€込„o】og21232[Z即BD到平面GB】D】的距离等于—3—。小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离。

考点4异面直线所成的角例4如图，在Rt△AOB中,€OAB=n,斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB6以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C的直二面角.D是AB的中点.（I）求证：平面COD丄平面AOB；（II）求异面直线AO与CD所成角的大小.解答过程：（I）由题意，CO丄AO（II）求异面直线AO与CD所成角的大小.・„€BOC是二面角B—AO—C是直二面角，„・CO丄BO，又・・・AO^BO二O,„・CO丄平面AOB,又CO…平面COD.・„平面COD丄平面AOB.（II）作DE丄OB，垂足为E,连结CE（如图），则DE〃AO,„€CDE是异面直线AO与CD所成的角.在RtACOE中，CO=BO=2,OE=1BO=1CECO2+OE2=<5小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线又小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线又DE=2AO仝•„在RS中，tanCDE=D|吕冲上选择“特殊点，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三。一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法。同时要特别注意异面直线所成的角的范围：考点5直线和平面所成的角例5.四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC丄底面ABCD・已知ZABC€45,AB=2,bc=2込,SA=SB=・3・(I)证明SA丄BC;(II)求直线SD与平面SAB所成角的大小.解答过程：(I)作SO丄BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC丄底面ABCD，得SO丄底面ABCD-因为SA€SB，所以AO€BO，又ZABC€45。,故△AOB为等腰直角形,AO丄BO,由三垂线定理，得SA丄BC.(II)由(I)知SA丄BC,依题设AD〃BC,B故SA丄AD,由AD€BC=2j2,SA=弋3,AO=J2,得SO€1,SD€v11・△MB的面积s€丄ab・i一2,1\2-AB(2丿jSA2-2・连结DB,得ADAB的面积S€丄ABADsinl35。=222设D到平面SAB的距离为h，由于V€V，得丄hS=丄SOS，解得h€»2・D-SABS-ABD3h匕3SOS2设SD与平面SAB所成角为d，则sina€—=2二竺2・SD頂11所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin运・11解法二:(I)作SO丄BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC丄底面ABCD，得SO丄平面ABCD.因为SA€SB，所以AO€BO・又ZABC€45。,△AOB为等腰直角三角形，AO丄OB.如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz,A(j2,0,0),B(0,2,0),C(0,-J2,O),S(0,0,1),SA€(辽0,dTTyACB€(0,2J2,0),SACB€0，所以SA丄BC.(II)取AB中点E,连结SE,取SE中点G,连结OG,G丄、・，4，2丿OG，OG・DSOG，OG・DScosa，，lOGl・lDSlv2211sin0，竺11，SE，SE・OG，0,ABOG，0,OG与平面SAB内两条相交直线SE,AB垂直.所以OG丄平面SAB,OG与DS的夹角记为a,SD与平面SAB所成的角记为0，则a与0互余.D（运2心2,0）,DS，（-弋2,2运1）-所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin22•11小结:求直线与平面所成的角时,应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系;(2)当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造一一作出斜线与射影所成的角，②证明-—论证作出的角为所求的角，③计算一-常用解三角形的方法求角，④结论-—点明直线和平面所成的角的值.考点6二面角C<0,CA，CB，Q例6・如图，已知直二面角a-PQ-0,AC<0,CA，CB，QZBAP，45，直线CA和平面a所成的角为30。.(I)证明BC丄PQ(II)求二面角B-AC-P的大小.过程指引：(I)在平面0内过点C作CO丄PQ于点O,连结OB.因为a丄0，a^0=PQ，所以CO丄口,又因为CA，CB，所以OA，OB.而ZBAO，45°，所以ZABO，45°,ZAOB，90°，从而BO丄PQ，又CO丄PQ，所以PQ丄平面OBC.因为BCu平面OBC，故PQ丄BC.(II)由(I)知，BO丄PQ，又a丄0，a・0=PQ,BOua，所以BO丄0.过点O作OH丄AC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BH丄AC.故

€BHO是二面角B-AC-P的平面角.由(|)知，CO丄，,所以€CAO是CA和平面,所成的角，则€CAO=30。，不妨设AC=2二AOsin30吕不妨设AC=2在Rt△OAB中,€ABO=€BAO=45°,所以BO二AO二,于是在Rt△BOHBO3中,tan€BHO===2.故二面角B—AC—P的大小为arctan2.OH逅小结:本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.考点7利用空间向量求空间距离和角例7.如图，已知ABCD—ABCD是棱长为3的正方体，1111点E在AA上，点F在CC上,且AE=FC=1.111求证:EB，F,D四点共面；12若点G在BC上,BG=-，点M在BB上,GM丄BF，垂足为H,31求证:EM丄平面BCCB；11(3)用„表示截面EBFD和侧面BCCB所成的锐二面角的大小，求tan„.111过程指引：(1)如图,在上取点N,使DN=1,连结EN,CN,则AE=DN=1，CF=ND=2.M1因为AE〃DN,ND〃CF,所以四边形ADNE,CFDN都为平行四边形.从11而EN//AD,FD〃CN.i又因为AD/BC,所以EN/BC,故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN/BE,从而FD/BE.因此，E,B,F,D四点共面.11

(2)如图，GM丄BF，又BM丄BC，所以ZBGM=ZCFB,BC23BM€BG.tanZBGM=BG.tanZCFB=BG.-—==1.CF32因为AE酗，所以ABME为平行四边形，从而AB〃EM.又AB丄平面Bee,Bi,所以EM丄平面BegB「(3)如图，连结EH.因为MH丄BF,EM丄BF,所以BF丄平面EMH,得EH丄BF.于是ZEHM是所求的二面角的平面角，即ZEHM€,.因为ZMBH€ZCFB，所以MH=BM.sinZMBH=BM.sinZCFB€BM・BCBC2+€BM・BCBC2+CF2332+223€苗MHtan,€空又它们有公共点B又它们有公共点B，所以E，B，F,D四点共面.解法二：(1)建立如图所示的坐标系，则BE€(3,01)，BF€>■>■>■►►所以BD]€BE+BF,故BD「BE，BF共面.„2…(2)如图，设M(0,0,z)，则GM€0,——，z，V3丿而BF€(0,3,2),由题设得而灵€—2.3+z・2=0,^3得z€1-因为M(0,0,1),E(3,0,1)，有ME€(3,0,0),又BB€(0,0,3)BC€(0,3,)，所以M