辽宁工业大学高数习题课12-2

第十二章微分方程习题课〔二〕高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程

1．高阶微分方程的定义2．可降阶的高阶微分方程类型(1)(2)(3)3．可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解。解题方法流程图如以下图所示。解题方法流程图逐次积分解一阶微分方程解一阶微分方程可降阶的高阶微分方程特点:不显含转化为一阶方程特点:不显含通解YesNo令令转化为一阶方程4.典型例题【例1】求方程的通解。解：由于不显含，令，则代入原方程整理得即因此再积分一次，即得原方程的通解为：此解可以写成分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含

所以可引入变量将二阶微分方程变成一阶微分微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。

【例2】求方程的通解。分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含

所以可引入变量将二阶微分方程变成一阶一阶微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。解：由于不显含，令，则代入原方程整理得即为一阶线性微分方程利用公式得即积分得

分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含

所以可引入变量将二阶微分方程变成一阶

微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。解：由于不显含,令,则代入原方程整理得所以或当时，此方程为可分离变量的方程，别离变量得：【例3】求方程满足初始条件的特解。积分得：所以即将代入得，从而别离变量得：将代入得所求方程的特解为：特解为，含在内。当时，即积分得二、二阶常系数线性微分方程1．定义(1)二阶常系数线性齐次微分方程：(2)二阶常系数线性非齐次微分方程:2．解的结构性质(1)若和是齐次方程的解,则是齐次方程的解。(2)若和是齐次方程的线性无关解,则是齐次方程的通解。(3)若是齐次方程的通解，是非齐次方程的特解，则是非齐次方程的通解。和(4)若分别是非齐次方程的特解，则是非齐次

方程的特解。3.非齐次方程的解题方法求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，一般分为四步：1〕写出特征方程并求根；2）求对应的齐次线性方程的通解3）根据不同类型的自由项，利用待定系数法求出一个特解4）写出原方程的通解。解题方法流程图如以下图所示。解题方法流程图特征方程：有实根

的类型混合型对分别求特解令k为特征方程含根的重复次数代入原方程，用待定系数法确定其参数令k为特征方程含根的重复次数通解YesYesYesNoNoNo求通解No4、典型例题【例4】已知

是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解，求通解及方程的表达式。

分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出

对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。

解：因为是对应齐次方程的两个线性无关的特解，可知特征方程有两个根，特征方程为对应齐次方程为：对应齐次方程通解为：又因为是非齐次微分方程的特解，将其代入有所求的方程为：通解为：【例5】求方程

满足初始条件的特解。

分析：此为二阶常系数非齐次线性微分方程，由解的结

构，先求出对应齐次的通解，再求出其本身的一个特解.

解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，

它的特征方程

解得两个不同的实根

故齐次方程的通解为由于

是型(其中)，且不是特征方程根，所以应设特解，求出把它们代入原方程，得得非齐次方程的通解为将初始条件代入，有解得所求的特解为

【例6】求微分方程

的通解解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，它的特征方程为解得两个不同的实根

故齐次方程的通解为由于是型

（其中）且是特征方程的单根，所以应设特解解之，得由此求得一个特解为比较等式两边的系数，得求出把它们代入原方程，得【例7】求微分方程

的通解解：特征方程为，其根为故齐次方程的通解为（其中）,因为是特征方程根，所以应设特解由于

是型代入原方程，解之得

故特解为

于是所求通解为注：不能因为自由项只出现正弦项，而将

设为

。此例可理解为

的系数为0

。

【例8】求微分方程

的通解解：特征方程为，其根为故齐次方程的通解为由于根据特解结构原理，此方程的自由项属于混合型，令

由于是型

（其中）不是特征方程根，故可设所以，求代入原方程中，则有得（其中）,而是特征方程根，故可设又因为

是型求代入方程中,解得，所以于是原方程的通解为【例9】求微分方程

的通解解：特征方程为，其根为故齐次方程的通解为由于属于混合型，可设特解为代入原方程，并比较两边系数，得所以原方程的通解为从而【例10】设

具有二阶连续函数，且已知曲线积分与积分路径无关，求分析：曲线积分

与路径无关的充分必要条件是。故应首先分别求出和，

列出等式

建立关于函数

的微分方程，然后再根据初始条件求特解。

线积分与路径无关的条解：因为曲线积分与路径无关，所以根据曲，得可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为即亦即再由

，可得特解分析：此等