多元衰减模型

多元衰减模型1第1页，课件共35页，创作于2023年2月3.1引言：如果被保险人投保寿险且在缴费期间死亡，那就意味着他将获得保险赔付而且不再缴纳保险费了。就此人而言，保险人遭受到了损失。在接下来的几章中我们要讨论在以死亡为唯一损失变量时，各种保险要素的确定。在实际中，除了死亡这个损失变量，我们可能还会遇到其它的提前终止缴费的损失变量，比如，寿险中，被保险人退保；劳动力计划中，雇员辞职、残疾或者退休等，都会对单一考虑死亡因素时的缴纳——赔付之间的平衡构成影响。多重损失模型就是在这种背景下产生的。

2第2页，课件共35页，创作于2023年2月3.2模型的构造两变量模型

多元衰减模型的实质就是一个两变量模型。变量一是状况终止的时间，在寿险场合它可以表示为剩余寿命；

变量二是状况终止的原因，这是一个离散随机变量，比如在寿险场合，我们可以令表示死亡；，表示退保。

3第3页，课件共35页，创作于2023年2月基本假设联合密度函数边际密度函数结论3.2.1：4第4页，课件共35页，创作于2023年2月衰减概率5第5页，课件共35页，创作于2023年2月由原因j引起且损失发生在时间t之前的概率

由原因j引起的损失发生的概率

6第6页，课件共35页，创作于2023年2月的密度函数的分布函数

7第7页，课件共35页，创作于2023年2月由各种原因引起且损失发生在时间t之前的概率

损失不会发生在时间t之前的概率

8第8页，课件共35页，创作于2023年2月x+t时刻由原因j造成的损失效力

x+t时刻由所有原因造成的总损失效力

9第9页，课件共35页，创作于2023年2月给定损失时间t，J的条件密度函数

结论3.2.3：P6810第10页，课件共35页，创作于2023年2月例3.1考虑2个损失原因的多重损失模型，其损失效力分别为：计算该模型的联合、边际、条件概率密度函数。计算11第11页，课件共35页，创作于2023年2月例3.1答案（一）12第12页，课件共35页，创作于2023年2月例3.1答案13第13页，课件共35页，创作于2023年2月例3.1答案14第14页，课件共35页，创作于2023年2月多元衰减模型的中心衰减率类似于P21的定义结论3.2.4：例3.2.2：15第15页，课件共35页，创作于2023年2月3.3相关的一元衰减模型衰减原因j对应的“生存概率”：称为绝对衰减率，是指原因j在的决定过程中不与其它损失原因竞争。16第16页，课件共35页，创作于2023年2月基本关系结论3.3.1：17第17页，课件共35页，创作于2023年2月推论：18第18页，课件共35页，创作于2023年2月相关的一元衰减模型的中心衰减率类似于P21的定义例3.2.1：例3.3.2：19第19页，课件共35页，创作于2023年2月3.4分数年龄上的分布假设假设A：等价推出20第20页，课件共35页，创作于2023年2月关系式21第21页，课件共35页，创作于2023年2月均匀分布假定假设B等价推出22第22页，课件共35页，创作于2023年2月关系式23第23页，课件共35页，创作于2023年2月假设A和假设B有共同之处：结论3.4.1：P74假设C：绝对衰减率均匀分布结论3.4.2：P7724第24页，课件共35页，创作于2023年2月3.5多元衰减群考察一组a岁的个生命，每一个生命的终止（损失）时间与原因的分布由下列联合概率密度函数确定：25第25页，课件共35页，创作于2023年2月随机衰减群：在年龄

x与x+n之间因原因j而离开的成员的期望个数

：在年龄

x与x+n之间因各种原因而总共离开的成员的期望个数

26第26页，课件共35页，创作于2023年2月：原先个a岁成员在x岁时的残存数随机变量的期望结论3.5.1：P8027第27页，课件共35页，创作于2023年2月确定衰减群一组个a岁成员随着年龄的增加按决定性损失效力演变，则原先个岁成员在岁时的残存数为

28第28页，课件共35页，创作于2023年2月：在年龄

x与x+n之间因各种原因而离开的成员数

：现在x岁，将来因为原因j而终结的个体数29第29页，课件共35页，创作于2023年2月：因原因j而引起的损失效力：各种原因引起的总损失效力30第30页，课件共35页，创作于2023年2月3.6多元衰减表简单了解多元衰减表及其构造31第31页，课件共35页，创作于2023年2月3.7多元衰减模型与联合生存状态定理3.7.1：P86例3.7.1：P87(难点)例3.7.2：P8832第32页，课件共35页，创作于2023年2月真题(08春)33第33页，课件共35页，