ch 15代数系统同态与同构15 4同余关系商代

15.3

代数系统的同态与同构第三编代数结构1同态映射的概念同态映射定义同态映射分类实例同态映射的性质同态映射的合成仍旧是同态映射同态像是映到代数系统的子代数同态像中保持原有代数系统的运算性质同态映射的定义第三编代数结构2定义

设V1

=<

A,

o1,

o2,

...,

or

>

,

V2

=<

B,

o1′,

o2′,

...,

or′

>

是同类型代数系统，

oi，

oi′为ki

元运算,

i=1,2,…,r.

函数

f

:A→B,

对于所有的运算oi与oi′，"

xi,

…,

xki

∈A,f

(oi

(xi,…,

xki

))=

oi′

(f(x1),

f(x2),

…

,

f(xki))

,则称f

为V1到V2的一个同态映射，简称同态.称<f(A),o1',o2',...,or'>为<A,o1

,o2

,...,or>的一个同态象.其中f(A)={x|x=f(a),a∈A}˝

B二元：

f

(

x

oi

y

)=

f(x1)

oi′

f(x2),

"

x,

y

∈A一元：

f

(oi

x

)=

oi′

f(x),

"

x

∈A零元：f

(a

)=a

′,同态映射的定义（续）……x1x2f(x1)f(x2)f(xki

)xkiOi

(x1,

x2,

…

,xki)……第三编代数结构3……Af:

A→Bf(Oi

(x1,

x2,

…

,xki))=

Oi′(f(x1),

f(x2),

…

,

f(xki))B几点说明对于二元运算、一元运算、0元运算采用下述表示：f(x*y)=f(x)

★f(y)f(△x)=

△’

f(x)f(a)=

a’同态映射要对所有的运算保持等式，包括0元运算.例如则f

不是V的自同态，因为不保持0元运算0

,

A

=

a

0

|

a,

b

˛

R第三编代数结构4

0 1

0

b

0

1f

:

A

fi

a

0

)

=

a0

)

=

1 0

„

1 0

A,

f

(

0b

00

,

f

(

01

00

0 1

V

=

A,,

1同态映射的分类设V1

=<

A,

o1,

o2,

...,or>

与V2

=<

B,

o1′,o2′,

...,or′>，

f

:A→B

是V1到V2的同态映射，按映射f

的性质分为：单同态满同态V1

V2同构V1

V2按载体分：自同态,

V1

=

V2综合：单自同态、满自同态、自同构第三编代数结构5同态映射的实例第三编代数结构6

V

=

<Z,+>,

fc:Z→Z,

fc(x)

=

cx,

c为给定整数c

=

0,

零同态

("

x∈A, f(x)=0

)c=±1，自同构;其它c,单自同态V

=

<Z6,⊕>,

fp:Z6→Z6,

fp(x)

=

(px)

mod

6,

p

=

0,1,

…,

5,p

=0,

f0

零同态;p=1,f1

恒等映射，自同构p

=

2,

f2

=

{<0,0>,<1,2>,<2,4>,<3,0>,<4,2>,<5,4>},p

=

3,

f3

=

{<0,0>,<1,3>,<2,0>,<3,3>,<4,0>,<5,3>}p

=4,

f4

=

{<0,0>,<1,4>,<2,2>,<3,0>,<4,4>,<5,2>}p

=5,

f5

={<0,0>,<1,5>,<2,4>,<3,3>,<4,2>,<5,1>}自同构推广到V

=<Zn,⊕>,fp(x)=(px)mod

n,p

=0,1,…,n-1,fp(x⊕y)

=

(p(x⊕y))

mod

n=

(px)

mod

n

⊕

(py)

mod

n

=

fp(x)⊕fp(y)同态性质第三编代数结构7同态的合成仍旧是同态同态像是映到的代数系统的子代数满同态映射（同态像中）保持原代数系统的下述性质：交换、结合、幂等、分配、吸收单位元、零元、逆元消去律不一定保持同态的合成仍旧是同态定理

若

f:

V1→V2,

g:V2→V3为同态映射，则g

f:V1→V3也为同态映射.证：g f

是从

V1到V3的映射.任取V1,V2,V3中一组对应的运算o1,o2,o3,设均为k

元运算.x1,

x2,

…

,

xk∈V1,g f

(

o1(x1,

x2,

…,

xk))

=

g

(

f(

o1(x1,

x2,

…,

xk)

)

)=

g

(o2(

f(x1),

f(x2),

…,

f(xk)

)

)=

o3(

g(f(x1)),

g(f(x2)),

…,

g(f(xk))

)=

o3(

g f(x1),

g f(x2),

…,

g f(xk)

)由运算的任意性，命题得证.推论代数系统的同构具有自反、对称、传递的性质.第三编代数结构8同态像是映到代数系统的子代数定理15.7

设V1

=<

A,o1

,o2

,...,or

>

与V2

=<

B,o1',o2

',...,or

'>是同类型的代数系统，oi与oi′是ki

元运算,(i=1,2,…,r),f:A→B是V1到V2的同态，则f(A)关于V2的运算构成代数系统，且是V2的子代数，称f(A)为V1在f

下的同态像.证

f(A)是B

的非空子集.证明f(A)

对V2中的所有运算封闭.若V2有0元运算a′,则V1存在0元运算a,f(a)=a′.即a

'∈f(A).

任意V2中非0元运算o′(

k元运算),

y1,

y2,

…,

yk∈

f(A)，存在x1,

x2,…,

xk

∈

A,

令

f(xi)

=

yi,

i=1,2,…,k,则o'(y1,y2,...,yk

)=

o'(

f

(x1),

f

(x2),...,

f

(xk

))=

f

(o(x1,

x2,...,

xk

))

∈

f(A)

.第三编代数结构9满同态保持原代数性质第三编代数结构10定理15.8

设

V1

=<

A,o1,o2

,...,or

>与V2

=<B,o1',o2',...,or

'>是同类型的代数系统，函数f:A→B是V1到V2的满同态，

V2中运算保持V1中相应运算的下述性质：交换、结合、幂等、分配、吸收V2中保持V1中的单位元、零元、逆元，即ei为V1中运算oi的单位元,

f(ei)是V2中运算oi

'

的单位元，θi为V1中运算oi的零元,

f(θi

)是V2中运算oi

'的零元，运算oi

含有单位元，x-1是x

关于运算oi

的逆元，则f(x-1)是f(x)关于运算oi

'的逆元几点说明1.满同态条件重要.如果不是满同态，有关性质只能在同态像中成立.例如f不是满同态，将单位元映到f(A)的单位元，不是A的单位元.其他见书上例题15.22,

15.23.2.

消去律不一定保持.书上例题15.24,

<Z,

>,

<Z6, >,

f(x)

=

(x)mod6

1

0第三编代数结构11

,

f

(

)

=

„

0

0

1

0

0

0

a

0

a

0

1

0

1

0

10

1

f

(

)

=

0

b

0f

:A

fi

A,

|

a,

b

˛

Rb

a

0

,

A

=

1

0V

=

A,•,

0课堂练习第三编代数结构12V1

=

<R,+>,

V2

=

<R+,

●>,

f:

R→R+,

f(x)

=

a

x,

a

>0,证明：f

为V1到V2的同态映射.证明："x,y∈R,f

(x+y)=ax+y

=ax

●ay

,故，f

为V1到V2的同态映射.第三编代数结构13第三编代数结构1415.4

同余关系与商代数第三编代数结构15同余关系同余关系与同余类同余关系的实例商代数商代数定义商代数性质同态映射、同余关系与商代数之间的联系同余关系与同余类定义

设

V=<A,o1,o2,…,or>是代数系统，其中

oi为

ki元运算，关系 为A上的等价关系，任取A上2ki

个元素

a1,a2,

…,

aki

,

b1,

b2,

…,

bki,

如果对于所有的

j=1,2,…,ki,aj

bj

就有oi

(a1,a2,

…

,aki) oi

(b1,b2,

…

,bki)则称等价关系 对于运算

oi

具有置换性质.如果等价关系 对于V中的所有运算都具有置换性质，则称

是V上的同余关系，称A中相关的等价类为同余类.第三编代数结构16第三编 代数结构17同余关系与同余类（续）oi

(a1,…,

aki

)b1a1oi

(b1,

b2,…,

bki)Ab2a2bkiaki18实例例V=<Z4,⊕>,有15个等价关系，用对应的划分表示.3⊕3

不成{{0},{1,2,3}}

不是同余关系，1

3,3

3，但

1⊕3立.同理可以验证以下11个划分对应的也不是同余关系{{1},{0,2,3}}{{0,1},{2,3}}{{2},{1,3,0}}{{0,3},{1,2}}{{3},{1,2,0}}{{0},{1},{2,3}}{{0},{2},{1,3}}{{0},{3},{1,2}}{{1},{2},{0,3}}{{1},{3},{0,2}}{{2},{3},{0,1}}只有以下3个划分对应于同余关系：{{0},{1},{2},{3}}，

{{0,1,2,3}}，{

{0,2},{1,3}}恒等关系与全域关系都是同余关系.任何代数系统都存在同余关系.第三编 代数结构第三编 代数结构19定义设代数系统V=<A,o1,o2,…,or>，其中oi为ki元运算，i

=1,

2,…,r.关系R

为V上的同余关系，V

关于

R的商代数记作V/R

=<

A/R,

ō1,

ō2,...,

ōr

>其中A/R是A关于同余关系R的商集.定义运算ōi

(i

=1,2,…,r)为ōi

([a1],[a2

],...,[aki

])=

[oi(a1,

a2

,

...,aki

)].商代数定义A/R[a1]={a1,b1,

…}[a2]={a

,b

,

…}2

2[aki]={aki,bki,

…}ōi

([a1],[a2

],...,[aki

])=

[oi

(a1,a2

,...,aki)]例V=<Z,

·>,

·

是普通乘法，R为Z上模3同余关系，

x,y∈A,

xRy x≡y(mod3),

R为同余关系。V关于R的商代数V/R

=<Z/R,

⊙> Z/R={[0],[1],[2]}[x],

[y]∈Z/R, [x]

⊙

[y]

=

[

xy(mod3)

],V/R

与<Z3,×3>同构Z3={0,

1,

2},

×3为模3乘法。第三编代数结构20商代数的良定义性运算的良定义运算结果与参与运算元素的表示无关bj,

j=1,

2,

…,

ki

,第三编代数结构21对于任意运算oi

,设为ki

元运算，aj则[aj]=[bj],j=1,

2,…,ki

,ōi

([a1],[a2

],...,[aki

])=

[oi

(a1,

a2,

...,

aki)]=

[oi

(b1,

b2,

...,

bki)]=

ōi

([b1],[b2

],...,[bki

])//同余关系对运算oi

的置换性质商代数V/R保持V

若干性质第三编代数结构22定理15.9

设V=<A,

o1,o2

,…,or

>,R

是V上的同余关系，V

关于R

的商代数V/R=

<A/R,

o1’,o2’,…,or’>,若oi

具有交换(结合、幂等)，oi’在V/R

中保持该性质.若oi

对oj可分配，则oi’对oj’在V/R

中可分配.若oi

和oj

满足吸收律，则oi’和oj’在V/R满足吸收律.V

关于oi

存在单位元e

,

零元θ,

则

商代数V/R关于oi’的单位元

[e],

零元[θ]

.若oi

是V中含有单位元的运算,且x∈A关于oi的逆元为x-1,则V/R中[x]关于oi’的逆元为[x]-1

=[x

-1].Th

15.9

注x≡y(mod4).注 消去律不一定保持.例

<Z,×>有消去律，定义

x

Ry商代数为

V/R=<{[0],[1],[2],[3]},

>.没有消去律.

因为[2]

[0]=[2] [2],

但是[0]≠[2].第三编代数结构23同态、同余关系与商代数的联系第三编代数结构24同态映射导出同余关系商代数是原代数的同态像通过自然映射同态基本定理代数系统的同态像同构于它的商代数同态映射导出同余关系第三编代数结构25定理15.10

设V1

=<A,o1,o2,...,or

>与V2

=<B,o1′,o2′,...,or′>是同类型的代数系统，对于i

=1,2,…,r，oi,

oi′为

ki

元运算,函数f:A→B为V1到V2的同态映射，则由f导出的A上的等价关系为V1上的同余关系.证

思路：1.定义等价关系∼.

2.

∼对于任意运算有置换性.等价关系的定义

∀a,

b∈A,

a∼b

⇔

f(a)=f(b)//oi

(a1,...,

aki

)∼oi

(b1,...,bki

)⇔f

(oi

(a1

,...,aki

))=f(oi

(b1,...,bki

))任取V1上的运算oi,(ki

≥1)，对于任意的aj

∼bj

,j

=1,

2,…,ki

,f(oi(a1,a2

,...,aki

))=oi′(f(a1),f(a2),...,f(aki

)) //f

同态=oi’(f(b1),f(b2),...,f(bki

))=f(oi(b1,b2

,...,bki))

//f(aj)=f(bj),

f

同态故,oi

(a1

,a2

,...,aki

)∼oi

(b1

,b2

,...,bki)∼关于oi运算具有置换性质，根据oi

的任意性，定理得证.实例第三编代数结构26例

V=<Z4,⊕>,

fi

:

Z4→Z4,

fi(x)

=

(ix)

mod

4，i

=

0,1,2,3注意：本例中，每个同态映射都可以导出一个同余关系；多个同态，若同态像一样，则导出相同的同余关系.函数导出的同余关系f0(x)=0,

x=0,1,2,3全域关系f1(x)=x,

x=0,1,2,3恒等关系If2(0)=f2(2)=0,

f2(1)=f2(3)=2{<0,2>,<2,0>,<1,3>,<3,1>}∪If3(0)=0，f3(1)=3,

f(1)=2，f3(3)=1，恒等关系I商代数是原代数的同态像定理15.11

设代数系统V=<A,o1,o2,…,or>，其中oi为ki元运算，i=1,2,…,r,

R是V上的同余关系，

则自然映射a∈A,第三编代数结构27g:

A→A/R,

g(a)=[a],是从V

到V/R

的同态映射.证 设

V/R

=<

A/

R,

ō1,

ō2,...,

ōr

>任意ki

元运算oi，任取a1,a2,…,aki∈A，g(oi

(a1,a2

,...,aki))=[oi(a1,

a2,...,aki

)]=

ōi

([a1],[a2],...,[aki])

=

ōi

(g(a1),

g(a2),

...,g(aki))由于oi

的任意性，定理得证.同态基本定理定理15.12

设V1

=<

A,o1

,o2

,...,or

>

与V2

=<

B,o1’,o2’,...,or’>是同类型的代数系统，对于i=1,2,…,r，oi

与oi’都是ki元运算，f:A→B

是V1

到V2

的同态，关系R

是f导出的V1

上的同余关系，则V1

关于同余关系R

的商代数同构于V1

在f下的同态像，即V1

/R

<

f

(A),o1',o2',...or

'>证明思路：定义h：V1/R→f(A),h([a])=f(a)验证h

是双射的验证h

是同态映射第三编代数结构28Th5.12

(3)同态的验证第三编代数结构29证明:任意运算ōi

，设为ki

元，ki

>0,

i=1,2,…,r，h(ōi

([a1],[a2],...,[aki]))=

h([oi(a1,a2,...,aki

)])=

f(oi(a1,a2

,...,aki

))//商代数定义//h函数定义=oi’(f(a1),f(a2),...,f(aki))

//同态定义//h函数定义=

oi’(h([a1]),h([a2]),...,h([aki]))如果是0

元运算[a]∈V1/R,则h([a])=f(a)=a’且a’是f(A)中对应的0

元运算.同态、同余关系与商代数的联系定理任何商代数都是同态像定理任何同态像在同构意义下是商代数同余关系、商代数、同态、同态像的对应第三编代数结构30实例说明G1

={e,a,b,c},Klein四元群.G2

=

{e,

x}f1:G1→G2f1={<e,e>,<a,e>,<b,x>,<c,x>}f2:G1→G2f2={<e,e>,<b,e>,<a,x>,<c,x>}f1(G1)=f2(G1)=G2

//同态象相同*e

ab

cee

ab

caa

ec

bbb

ce

acc

ba

ea,b c,G1/R1={[e],[b]}

//商代数不同b,

a c,

G2/R2={[e],[a]}f1导出的同余关系R1：ef2导出的同余关系R2：eG1/R1

G2/R2,第三编代数结构31例题第三编代数结构32例V=<Z6,⊕>,求