2022-2023学年广东省河源市龙窝中学高三数学理月考试卷含解析

2022-2023学年广东省河源市龙窝中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.参考答案：D略2.已知函数f（x）=（2+x）2﹣3x，则f′（1）为（）A．6 B．0 C．3 D．7参考答案：C【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f′（x）=2x+1，将x=1代入计算即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=（2+x）2﹣3x=x2+x+4，其导数f′（x）=2x+1，则f′（1）=3；故选：C．3.设D，E，F分别△ABC的三边AB，BC，CA的中点，则=（）A． B．3C．D．参考答案：C【考点】向量的三角形法则．【分析】利用向量平行四边形法则即可得出．【解答】解：∵=，，∴=﹣==．故选：C．4.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（

）A.假设三内角都不大于60度；

B.假设三内角都大于60度；C.假设三内角至多有一个大于60度；

D.假设三内角至多有两个大于60度。参考答案：B略5.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据函数图像上特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于A,B两个选项，，不符合图像，排除A,B选项.对于C选项，，不符合图像，排除C选项，故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.6.设a∈[0,10]，则函数g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为__________．参考答案：略7.下列命题中，错误的是（A）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交（B）平行于同一平面的两个不同平面平行（C）如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（D）若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线参考答案：D8.若定义在R上的函数满足，且当时，，函数，则函数在区间内的零点个数为（

）A

9.

B.7

C.5

D.4参考答案：C9.已知直线和平面，，，，且在内的射影分别为直线和，则和的位置关系是

（

）A．相交或平行

B。相交或异面

C。平行或异面

D。相交﹑平行或异面参考答案：D10.在直角坐标平面中，的两个顶点A、B的坐标分别为A（－1，0），B（1，0），平面内两点G、M同时满足下列条件：（1），（2），（3），则的顶点C的轨迹方程为（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若角的终边经过点P,则的值是

参考答案：【答案解析】

解析：OP=r＝＝1，∴点P在单位圆上，∴sinα＝，tanα＝，得sinαtanα＝()×()＝．故答案为.【思路点拨】求出OP的距离，利用任意角的三角函数的定义求出sinα，tanα，即可求出sinαtanα的值得到结果．12.已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：C略13.给出以下四个命题：（1）对于任意的，，则有成立；（2）直线的倾斜角等于；（3）在空间如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线平行；（4）在平面将单位向量的起点移到同一个点，终点的轨迹是一个半径为1的圆．其中真命题的序号是

．参考答案：（1）（4）14.使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为

。参考答案：515.复数，，则实部的最大值__________，虚部的最大值__________．参考答案：，∵，，∴，∴的实部为，∴实部的最大值为，的虚部为，∴虚部的最大值为．16.函数f(x)＝lg(x－1)的定义域为________．参考答案：(1，＋∞)17.（4分）复数z=i（1+2i）（i为虚数单位），则=．参考答案：﹣2﹣i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．解：∵z=i（1+2i）=﹣2+i，∴．故答案为：﹣2﹣i．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．（Ⅰ）如果,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树的分布列和数学期望．参考答案：解:（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为……3分方差为………6分（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=。同理可得所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021PEY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19。

………………12分19.在等差数列中，公差，且，（1）求的值．

（2）当时，在数列中是否存在一项（正整数），使得

，

，成等比数列，若存在，求的值；若不存在，说明理由．（3）若自然数(为正整数)满足<<<

<<，使得成等比数列，

（文科考生做）当时，

用表示

．

（理科考生做）求的所有可能值．参考答案：解析：（1）在等差数列中，公差，且，则

……3分（2）在等差数列中，公差，且，则

…………5分又

则

36=3am，

…………8分（文科）（3）在等差数列中，公差，且，

则

……10分又因为公比首项，

…………14分又因为

……16分

（理科）（3）

成等比数列，

∴

…………14分又∵成等比数列，∴∴{6，7，8，9，10，…}对一切成立，∴{2，3，4，5，…}（*），设（{2，3，4，5，…}），∴，（由二项式定理知，恒成立）

∴（{2，3，4，5，…}）（注的证明可用无穷递降法完成，证略.）

………………16分20.已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点.（1）求证：AB1⊥平面PBC；（2）在BC边上找一点Q，使PQ∥平面A1ABB1，并求三棱锥的体积.参考答案：(1)证明见解析.(2).分析：(1)取中点，由平几相似得，再由底面得，又是正方形，有，因此平面，即得，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)在边上取一点，使，由平几知识得四边形是平行四边形，即有平面.设，由（1）得为高，最后根据锥体体积公式求结果.详解：（1）取中点，连结，，在，∴平面.∵面，面，∴，∵是正方形，∴，又平面，平面，，∴平面，∵平面，∴.∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵平面，平面，，∴平面.（2）在边上取一点，使，∵为梯形的中位线，，，∴，，又∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.∵平面，平面，∴，∵，，∴，设，则.∴.∴.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21.某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，统计结果如下：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：S=试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若以上表统计的频率作为概率，求该城市某三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率．（假定这三天中空气质量互不影响）参考答案：【考点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由已知条件求出频数，由此能求出该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率．（2）记空气质量轻度污染为事件B，由已知条件求出P（B）=，由此能求出三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率．【解答】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，P（A）=．（2）记空气质量轻度污染为事件B，由（1）知P（B）=，则P（）=，记三天中恰有一天空气质量轻度污染为事件C，则P（C）=××+××+××=0.441．故三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率为0.441．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．22.如图，设椭圆两顶点，短轴长为，焦距为，过点的直线与椭圆交于两点．设直线与直线交于点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：点的横坐标为定值.参考答案：（1）椭圆方程为.

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