2021-2022学年湖南省常德市第十三中学高三数学理测试题含解析

2021-2022学年湖南省常德市第十三中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数的图象向左平移个单位后所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为

A．

B．

C．

D．－1参考答案：B.sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝.3.函数f（x）=ex+x﹣4的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数零点的判定定理、函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：∵f（1）=e﹣3＜0，f（2）=e2﹣2＞0，∴f（1）f（2）＜0，∴有一个零点x0∈（1，2）．又函数f（x）单调递增，因此只有一个零点．故选：C．【点评】本题考查了函数零点的判定定理、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知集合，集合为整数集，则（

）A、

B、

C、

D、

参考答案：D知识点：交集及其运算解析：=，又集合B为整数集，故，故选D．【思路点拨】由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集．

5.设、、是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：①若a∥，b∥，则a∥b；

②若a∥，b∥，a∥b，则∥；

③若a⊥，b⊥，a⊥b，则⊥；④若a、b在平面内的射影互相垂直，则a⊥b.其中正确命题是(

）A、④

B、③

C、①③

D、②④参考答案：B6.已知f（x）是定义域为实数集R的偶函数，?x1≥0，?x2≥0，若x1≠x2，则＜0．如果f（）=，4f（logx）＞3，那么x的取值范围为（）A．（0，） B．（，2） C．（，1]∪（2，+∞） D．（0，）∪（，2）参考答案：B考点： 函数奇偶性的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据条件判定函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化即可得到结论，解答： 解：依题意得，函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，不等式4f（logx）＞3等价于f（logx）＞，∵f（）=，∴f（logx）＞f（），∵f（x）是定义域为实数集R的偶函数，∴不等式f（logx）＞f（）等价为f（|logx|）＞f（），即|logx|＜，则﹣＜logx＜，由此解得＜x＜2，故选B．点评： 本题主要考查不等式的解法，利用条件判定函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质的应用．7.函数的最小正周期为，且．当时，，那么在区间上，函数的图像与函数的图像的交点个数是

A.

B.

C.

D.参考答案：C8.设（i是虚数单位），则复数的虚部是A.i

B.1

C.－i

D.－1参考答案：D9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以平面为投影面，则得到主视图可以为（☆）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点P(x0,y0)在椭圆C：(a>b>0)上，如果经过点P的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P称为切点，这条切线方程可以表示为：．根据以上性质，解决以下问题：已知椭圆L：，若Q(u，v)是椭圆L外一点(其中u，v为定值)，经过Q点作椭圆L的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程是

▲

．参考答案：12.函数的最小正周期是

．参考答案：13.给出下列不等式：1＋＋＞1,1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，…，则按此规律可猜想第n个不等式为________．参考答案：1＋＋＋＋…＋＞观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为2n＋1－1，不等式右边为首项为1，公差为的等差数列，故猜想第n个不等式为1＋＋＋＋…＋＞.14.已知，则的值等于

．参考答案：200815.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根,则

．参考答案：-816.(几何证明选做题)如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线，过A作直线的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为

．参考答案：４17.如图所示的一块长方体木料中，已知，设为底面的中心，且，则该长方体中经过点的截面面积的最小值为▲．参考答案：【知识点】空间向量及运算G9以为z轴，为y轴，DA为x轴建系，联结FE延长交BC于K,则K(4-4，4,0)

(1，0，0)F(4，0,0)，则,,S=sin,则==-=32(,,最小值为，则面积最小值为。【思路点拨】S=sin,则==-=32(,,最小值为，则面积最小值为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）为抗议日本“购买”钓鱼岛，某汽车4S店计划销售一种印有“钓鱼岛是中国的”车贴，已知车贴的进价为每盒10元，并且车贴的进货量由销售量决定.预计这种车贴以每盒20元的价格销售时该店可销售2000盒，经过市场调研发现：每盒车贴的价格在每盒20元的基础上每减少一元则销售增加400盒，而每增加一元则销售减少200盒，现设每盒车贴的销售价格为x元．（1）求销售这种车贴所获得的利润y（元）与每盒车贴的销售价格x的函数关系式；（2）当每盒车贴的销售价格x为多少元时，该店销售这种车贴所获得的利润y（元）最大，并求出最大值．参考答案：【知识点】函数模型的选择与应用．B10

【答案解析】（1）y=（2）或时，该店获得的利润最大为元．解析：（1）依题意y==，x∈N*，…（5分）（2）y=

…（8分）当，则当或，（元）；当，，取不到最大值………………11分综合上可得当或时，该店获得的利润最大为元．12分【思路点拨】（1）根据题意，每盒20元的基础上每减少一元则增加销售400盒，而每增加一元则减少销售200盒，现设每盒车贴的销售价格为x（10＜x≤26），得到y与x的函数关系式，是一个分段函数．（2）分别求出各段函数的最大值比较最大得到最大值．19.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.参考答案：⑴设，易知又∴，又在椭圆上．∴，即．⑵设点，，，由已知：，，∴，∴．设直线：，因为直线与垂直．∴故直线方程为，令，得，，∴，∵，∴，若，则，，，直线方程为，直线方程为，直线过点，为椭圆的左焦点．20.（12分）函数（Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值；（Ⅱ）若将函数按向量＝平移后得到函数，而且当时，取得最大值，求的值.参考答案：解析：（I）解:

……………4分

∴函数的周期

…………6分（II）解:依题意，

…………8分

令，得

…………12分21.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，.（I）求数列的通项公式；（II）设log2an＋1，求数列的前项和。参考答案：(Ⅰ)当时，，

…1分当时，…3分即：，数列为以2为公比的等比数列

………………5分

………6分（Ⅱ）

………7分……9分两式相减，得……11分

……………

12分22.已知函数,a＞0．（Ⅰ）若为y=f(x)的极值点，求实