7.3.3余弦函数的性质与图像-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）（解析版）

7.3.3余弦函数的性质与图像TOC\o"1-3"\h\u题型1五点法作余弦函数图像 2题型2余弦函数与不等式 6题型3与余弦函数有关的零点问题 10题型4余弦函数的周期性 18题型5余弦函数的奇偶性 21题型6余弦函数的对称性 25◆类型1余弦函数的对称轴与对称中心问题 26◆类型2根据奇偶性对称性求参数 29题型7利用单调性比较大小 34题型8余弦函数的单调性 38◆类型1余弦函数的单调性 38◆类型2复合型函数的单调性 43题型9余弦函数的值域与最值问题 49◆类型1普通型 49◆类型2二次函数型 51◆类型3反比例函数型 54◆类型4根号函数型 55◆类型5分段函数型 56◆类型6指数函数型 58◆类型7正余弦函数函数型 59题型10含参问题 59知识点一.余弦函数的定义对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cosx与之对应，所以y=cosx是一个函数，一般称为余弦函数.知识点二．余弦函数图象的画法(1)要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度即可，这是由于cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))).(2)用“五点法”：画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．知识点三.余弦函数的图象知识点四.正弦函数、余弦函数的图象和性质函数余弦函数y=cosx定义域R值域[-1，1]奇偶性偶函数周期性最小正周期单调区间k∈Z增区间减区间最值点k∈Z最大值点最小值点对称中心k∈Z对称轴k∈Z题型1五点法作余弦函数图像【方法总结】利用“五点法”作图时需要注意的三点（1）应用的前提条件是精确度要求不高.（2）利用光滑的曲线连接时，一般最高（低）点的附近要平滑，不要出现“拐角”的现象.（3）“五点法”作出的余弦函数一个周期上的图象是余弦曲线的一部分.【例题1-1】用“五点法”作函数y=cosx−1【答案】(0,0)，π2,−1，(π,−2)【分析】利用余弦函数的“五点法”求解即可．【详解】解：由“五点法”作函数y=cosx−1，x∈[0，2π]的图象时的五个点分别是(0,0)，π2故答案为：(0,0)，π2,−1，(π,−2)，【变式1-1】1．已知函数fx【答案】作图见解析【分析】令2x−π3分别取−π3，0，π2，π，3【详解】解：fx2−0ππ35x0π5211πf110−101图象如图．【变式1-1】2．作出函数y=cosx+【答案】见解析【分析】先根据x的范围，求出x+π3的范围，再根据x【详解】∵根据五点法作图列表得：x0ππ3π2πx−π2π7π5πy10−101画图像得：【变式1-1】3.函数y＝－cosx(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为()A.(，1)B.(，1)C.(0,1)D.(2，1)【答案】B【解析】画出的图像如下图所示，由图可知，与轴最近的最高点的坐标为.故选B.【变式1-1】4.函数y＝cos(2x－eq\f(π,6))在区间[－eq\f(π,2)，π]的简图是()【答案】D【解析】当x＝－eq\f(π,2)时，y＝cos[2×(－eq\f(π,2))－eq\f(π,6)]＝cos(－π－eq\f(π,6))＝cos(π＋eq\f(π,6))【变式1-1】5.如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边为x轴的非负半轴，终边为单位圆的交点为A，将OA绕坐标原点逆时针旋转过点OB作x轴的垂线，垂足为Q，记线段BQ的长为y，则函数的大致图像是______________【答案】B【解析】由题意可得A（cosα，sinα），将OA绕原点逆时针旋转π2至OB,可得B（cos（α+π2），sin（α+π2））即B（-sinα，cosα），因为线段BQ的长为y,题型2余弦函数与不等式【方法总结】用三角函数图象解三角不等式的方法1.作出相应余弦函数在[0，2π]上的图象；2.写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；3.根据公式一写出不等式的解集．【例题2】在0,2π内满足cosx≥−3A．0,5π6∪7π6C．5π6,7π6；【答案】A【分析】根据cosx≥−32写出【详解】由余弦函数的图象与性质可知，cosx≥−3又∵x∴   0≤x≤5π∴x的取值范围为x∈故选：A．【变式2-1】1．解下列不等式：（1）2cosx−2≥0；（（3）－eq\f(\r(3),2)≤cosx≤eq\f(1,2)，x∈[0，2π]；【详解】（1）2cosx−2≥0，则所以x的取值范围是{x|2（2）因为cos2π+α<0，也即cosα<0故答案为：{α（3）函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)≤x≤\f(5π,6)或\f(7π,6)≤x≤\f(5π,3))))).【变式2-1】2．求下列函数的定义域：（1）fx=lg2cosx−1【解析】（1）由题意得：2cosx−1>0，即cosx（2）由题意可知，要使函数各部分有意义，则须满足lgsinx≠0由正弦函数和余弦函数单调性得x≠2即得2k所以函数的定义域为2k故答案为：2【变式2-1】3.已知集合M=θsinθ≥【答案】π【分析】化简集合M,【详解】由0≤θ≤π，12≤sinθ由0≤θ≤π，cosθ≤1所以M∩故答案为：π【变式2-1】4．已知函数f(x)=2cos(【答案】−13【分析】由函数图象求得函数解析式f(x)【详解】由题意T=432×1312π+φ=2f(−f(不等式f(x)−f−0<2cos(2x−π6)<1，则2即kπ−π6<x注意到最靠近y边的负数解为−π6<即−0.52<x<−0.26或−2.36<x把区间(−0.52,−0.26)和(−2.36,−2.09)依次向左移动若干个3.14个单位，得到含有最大负整数的区间是(−13.08,−12.82)，所以最大的负整数x=−13故答案为：−13．【变式2-1】5．已知定义在区间0,2π的函数fx=A．0,π2 B．[π2,3【答案】C【分析】作出函数图象，数形结合即可得答案.【详解】作出函数图像，如图，所以由函数图像得fx≤0故选：C.【点睛】本题考查正余弦函数图像的性质，考查运算求解能力，数形结合思想，是基础题.本题解题的关键在于作出fx题型3与余弦函数有关的零点问题【方法总结】余弦函数的零点是指函数余弦的图像的值从正值，变化到负值的点，其值由零开始变化。在一个完整的周期内，每个余弦函数都有四个零点，每个函数零点都对应于余弦的最大值和最小值之间的两个角度。它们的具体位置取决于函数形式的参数。【例题3】（2022·高一课时练习）函数y=cosx，x∈【答案】2【分析】再平面直角坐标系下画出函数图象，数形结合即可判断；【详解】解：解：作y=cosx，x∈故答案为：2【变式3-1】1．（2023·高一课时练习）函数y=1+cosx，x∈【答案】2【分析】由1+cosx【详解】令1+cosx=32，即cosx=12，所以函数y=1+cosx，x∈故答案为：2.【变式3-1】2．（2023·高一课时练习）在同一平面直角坐标系中，函数y=sinx和【答案】π4+2【分析】联立函数解析式即可求解.【详解】由题，令sinx=cosx，即tanx=1，解得x当x=π4+2kπ时，y所以函数y=sinx和y=cosx的图像的交点坐标为故答案为：π4+2kπ【变式3-1】3．函数f(x)=sinA．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据函数零点个数即为图象交点个数，结合已知条件，数形结合求解即可.【详解】fx的零点个数，即为y=sinx在同一直角坐标系下，两函数图象如下所示：由图可知，两函数共有4个交点，故fx故选：C.【变式3-1】4．（2023·高一单元测试）函数fx=x【答案】1【分析】分x>1，x=1，x=0【详解】解：当x>1时，x>1,cosx所以fx在1,+∞当x=1时，x=1,cosx<1，则当x=0时，f0=−1当0<x<1时，函数y=所以fx在0,1上递增，又f0=−1<0,所以fx在0,1综上：函数fx在0,+∞故答案为：1【变式3-1】5．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）关于函数fx=1+cosxA．当t<0或tB．当t=0或3C．当0<tD．当有两个交点时，设两个交点的横坐标为x1，【答案】B【分析】注意到fπ2=f3π2=1，fπ=0【详解】注意到fπ2=f3π2=1又fx在π3,π上单调递减，在π,2π上单调递增，据此可做出f对于A，由图可知当t=2对于B，由图可知此时有一个交点，故B正确；对于C，由图可知当t=对于D，由图知此时x1故选：B【变式3-1】6．（2022秋·青海西宁·高三校考期中）函数f(x)=【答案】5【分析】令f(x)=0可得x=0或cos2x【详解】f(x)=又cos2x=0在[0,2π]上的根有故f(x)故答案为：5【例题3-2】（2022秋·广东清远·高一统考期末）已知函数fx=2cosx+1，x∈A．1 B．2 C．32+1 【答案】D【分析】由2cosx+1=t可得cosx=【详解】由2cosx+1=t所以当x∈π6,2π时，由y=cos所以则t的最大值为3故选：D【变式3-2】1．若方程cosx=1−【答案】−1,0【分析】根据题意作图，由函数与方程的关系，可得12【详解】作出y=cosx，x∈由图象，可知12≤1−a2故答案为：−1,0.【变式3-2】2．若函数fx=cos2x+【答案】−【分析】根据函数零点的定义，结合余弦函数的单调性利用转化法、数形结合思想进行求解即可.【详解】fx由函数fx=cos2x+π6+a因为x∈0,3π当2x−5π6∈函数值从cos−5π6当2x−5π6∈函数值从cos0=1减少到cosπ=−1；当2x−5π6∈函数值从cosπ=−1增加到cos2π=1，当2x−5π6∈函数值从cos2π=1减小到cos13π所以函数y=cos2x因此要想直线y=a和函数y=cos只需−3【变式3-2】3．已知函数fx(1)请用“五点法”画出函数fx在0,2π(2)由图象直接写出：当x∈0,2π时，函数fx与直线y【答案】(1)答案见解析(2)交点个数可能为0个，2个，3个，4个，1,3【分析】（1）化简函数fx（2）根据（1）种函数图象，数形结合，即可求得答案.【详解】（1）由题意得fx列表如下：x0ππ3π2πcos10−101f30103在直角坐标系中描点连线，如图所示：（2）由图象可知当x∈0,2π时，函数fx当交点个数为2个时，m的范围是1,3∪【变式3-2】4.（多选）（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一中学校考阶段练习）函数fx=2cos2A．π8 B．5π8 C．3【答案】AC【分析】把fx−a=10≤x≤【详解】由fx−a因为a∈0,1，所以因为x∈0,m因为对于任意的a∈0,1，方程所以π2≤2m对照四个选项，只有A、C在π8故选：AC【变式3-2】5．已知m>0，函数fA．0,5π12C．0,5π12【答案】D【分析】分别求出两段函数各自的零点，作出图像利用数形结合即可得出答案.【详解】设gx=x令gx=0解得令ℎx=0在0,π之间解得x=π作出图形如下图数形结合可得：m∈故选：D.题型4余弦函数的周期性【方法总结】函数的周期性（1）函数的周期性一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个__

非零常数T

___，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且__

f（x＋T）＝f（x）____，那么函数f（x）就叫做周期函数．__非零常数T

_______叫做这个函数的周期．（2）最小正周期如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个___最小的正数

______，那么这个最小正数叫做f（x）的最小正周期．【例题4】求下列函数的周期性：（1）fx=cos−2x−（3）fx=−3cosπ3【解析】（1）由函数fx=cos−2（2）由题意知，函数y=cos4x的最小正周期为（3）因为fx=−3cosπ2x(4)函数y=cos2π3【变式4-1】1．函数y=|cos【答案】π【分析】利用图像及三角函数最小正周期的知识求解即可.【详解】y=|cos由图像可知y=|cosx|故答案为：π【变式4-1】2．（多选）下列函数中，最小正周期为π的是（

）A．y=sinx B．y=sinx 【答案】AD【分析】利用特殊值排除B，利用图象以及三角函数最小正周期的知识求得正确答案.【详解】A选项，y=sinx的图象如下图所示，由此可知yB选项，令fx=sinxf−C选项，令gx=cos2所以π不是y=D选项，对于函数y=cos2x，当2当2x<0时，所以y=cos2x故选：AD【例题4-2】已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期为4，则ω＝________.【答案】eq\f(π,2)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)，由周期计算公式，可得T＝eq\f(2π,ω)＝4，解得ω＝eq\f(π,2).【变式4-2】1．函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,4)x＋\f(π,3)))(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是()A．10B．11C．12D．13【答案】D【解析】因为T＝eq\f(2π,\f(k,4))＝eq\f(8π,k)≤2，所以k≥4π，又k∈N*，所以正整数k的最小值为13.【变式4-2】2．设函数f(x)=Acos(A．π2 B．π C．2π 【答案】C【分析】根据图象求得A，φ，ω，从而即可求f(【详解】解：根据函数f(x)=可得A=2，2cos因为0<φ所以φ=π3结合五点法作图，可得ω×π6所以f(所以函数f(x)故选：C.题型5余弦函数的奇偶性【方法总结】如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意的一个x，都有f（x）=f（-x），那么函数f（x）就叫做偶函数。正弦函数是奇函数。余弦函数是偶函数。【例题5】函数y=【答案】偶【分析】利用奇偶性的定义判断可得答案.【详解】x∈R，f−故答案为：偶.【变式5-1】1．判断下列函数的奇偶性：(1)fx(2)gx【答案】(1)偶函数(2)奇函数【分析】（1）结合函数的奇偶性确定正确答案.（2）结合函数的奇偶性确定正确答案.(1)fx的定义域为R，f−x(2)gx的定义域为R，g−x【变式5-1】2．下列函数中周期为π，且为偶函数的是（

）A．y=cosx C．y=sin2x【答案】C【分析】根据正弦、余弦函数的性质判断即可；【详解】解：对于A：y=cosx为周期为对于B：y=sin2x为周期为对于C：y=sin2x对于D：y=cos12故选：C【变式5-1】3．函数fxA．最小正周期为8π的奇函数 B．最小正周期为4C．最小正周期为8π的偶函数 D．最小正周期为4【答案】C【分析】根据余弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为fx=cosx4，所以函数的最小正周期T=2π故选：C【变式5-1】4．（多选）以下函数是偶函数的是（

）A．y=2sinx B．y=cos2x C．【答案】BCD【分析】根据奇偶定义结合诱导公式分别判断即可.【详解】四个选项中函数的定义域均为全体实数，满足关于原点对称，对于A:fx=2sinx所以y=2sinx为奇函数,故对于B:gx=cos2所以gx=cos2x对于C:ℎx=x所以ℎx=x对于D:tx=|sinx所以tx=|sinx故选:BCD【变式5-1】5．（多选）下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A．y=sin(2x+C．y=sin|x|【答案】AB【分析】先用诱导公式对函数进行化简，再判别奇偶性及周期.【详解】由y=sin(2则该函数为偶函数，且周期为T=y=|cos(∵|sin(−xy=sinx周期为ysin|−x|=sinxy=sin|x|=y=故选：AB.【变式5-1】6．函数fxA．fxgx是偶函数 C．fxgx是奇函数 【答案】C【分析】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得.【详解】选项A:因为f(又f(−所以fx选项B:因为|f又|f所以fx选项C:因为f(又f(−所以fx选项D:因为|f又f(−所以fx故选：C.【变式5-1】7．若函数fx=4sinωx−A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．是奇函数也是偶函数【答案】B【分析】利用正弦型函数的周期公式可求得ω的值，化简函数fx【详解】因为函数fx的最小正周期为2πω所以，fx所以，函数fx故选：B.题型6余弦函数的对称性【方法总结】余弦函数y=cosx（x∈R）的对称中心是（kπ+对称轴是直线x=kπ（k∈Z）（正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴（中轴线）的交点。◆类型1余弦函数的对称轴与对称中心问题【例题6-1】求下列函数的对称轴与对称中心：（1）fx=cos2x−π3；（2【答案】(1)f(x)的对称轴为x(2)对称轴为x=−2【解析】(1)因为函数y=cosx的对称轴为x=所以令2x−π3令2x−π所以函数f(x)的对称轴为x（2）令x2+π3=令x2+π3=【变式6-1】1．（2022·高一课时练习）函数f(A．π12,1 B．7π12,0 【答案】C【分析】根据余弦型函数，求出其对称中心即可判断作答.【详解】在函数f(x)=2cos2x所以函数f(x)=2cos显然B，D不满足，A不满足，当k=0是，对称中心为(故选：C【变式6-1】2．（2022·全国·高三专题练习）函数fxA．x=π12 B．x=−π12【答案】B【分析】根据余弦函数的对称性即可得出答案.【详解】解：令2x+π即函数fx=cos2当k=0时，x故选：B.【变式6-1】3．函数fx=cosωxA．π3,0 C．5π6,0【答案】D【分析】先根据函数图象得到函数fx图象的一个对称中心与f【详解】解：由题图可知fx图象的一个对称中心是π6,0，f故fx图象的对称中心为kπ+π6,0，k∈Z，结合选项可知，当故选：D.【变式6-1】4．（2023秋·广东广州·高一校考期末）对于函数f(xA．y=f(x)B．y=fC．y=f(D．y=f(【答案】C【分析】根据图像平移的表达式变化即可判断A选项；根据点代入法即可判断选项B；根据图像的对称轴公式即可判断C选项；根据图像的对称点公式即可判断D选项.【详解】对于选项A：y=f(x)故选项A错误；对于选项B：f当x=1时，f故选项B错误；对于C选项：令πx−解得x=所以y=f(故选项C正确；对于选项D：令πx−解得x=故选项D错误；故选：C.【变式6-1】5．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）将函数y=2cos4xA．x=π12 B．x=−π6【答案】B【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到y=2cos(2【详解】将函数y=2cos得到y=2cos2x得到y=2cos[2(令2x+π3=kπ显然，k=0时，对称轴方程为x故选：B◆类型2根据奇偶性对称性求参数【方法总结】关于正、余弦函数的对称性重要结论：1.f（x）=Asin（ωx＋φ）（或Acos（ωx＋φ））的图像关于x=x0对称，则f（x0）=A或-A；2.f(x)=Asin(ωx＋φ)（或Acos（ωx＋φ））的图像关于点（x0，0）中心对称，则f（x0）=0.【例题6-2】下列式子中，可以是函数fxA．φ=π B．C．φ=π2+kπ，【答案】C【分析】利用三角函数的奇偶性和充要条件的定义判定即可．【详解】若fx=cos2x+当φ=π2+k所以函数fx=cos2故选：C【变式6-2】1．（2022·河北张家口·统考三模）已知函数f(x)=cosωx+A．2π5 B．3π5 C．【答案】C【分析】根据已知求出ω=4【详解】解：由已知得π4ω+因为ω>0，所以ω=4k所以f(x)故选：C.【变式6-2】2．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）将函数fx=cos2x+A．−π3 B．−π6 C．【答案】B【分析】先利用平移变换，得到gx=cos2x+【详解】解：将函数fx=cos2x+因为gx所以φ−π3所以φ可能的取值是−π故选：B【变式6-2】3．（2022秋·贵州贵阳·高三统考期中）将函数f(x)=cosωx+A．16 B．14 C．13【答案】C【分析】由三角函数的图象变换与性质求解，【详解】由题意得f(x)的图象向左平移π而g(x)的图象关于原点O对称，则g得ω⋅π2ω的最小值是13故选：C【变式6-2】4．记函数fx=cosωx+π3（ω>0）的最小正周期为T，且y【答案】−12【分析】根据对称轴可得ω×π6+π3=kπ【详解】由y=fx的图象关于x=π∴ω=6k−2又∵ω>0∴当k=1，ω此时fx=cos4∴fT故答案为：−1【变式6-2】5．函数fx=cosωx−π3A．13 B．12 C．2【答案】C【分析】f(x)=cos(ωx−【详解】f对称轴为：ωx当k=0时，ω取值为2故选:C.【变式6-2】6．（2022·上海虹口·统考一模）设函数fx=cosωx+φ（其中ω>0,φ<π2【答案】cos【分析】根据对称轴与对称中心的最小距离即可得到周期,将对称轴代入即可得到关于φ的等式,再根据φ的范围即可得到解析式.【详解】解:由题知,因为fx对称轴与对称中心的最小距离为π所以T4=π所以ω=2πT因为对称轴为x=故有:4⋅π即φ=−因为φ<所以φ=故fx故答案为:cos【变式6-2】7．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）记函数fx=cosωx+φ(ω>0)的最小正周期为T．若A．4π3 B．5π3 C．8π3【答案】A【分析】求出对称中心和对称轴之间的距离关系，根据周期的取值范围即可确定周期的值【详解】解：由题意在fx设对称点和与对称轴在x轴上的交点间的距离为x对称中心：ω对称轴：ωx由几何知识得，x解得：x=T4+K∵π<T<4π，且点π2,0和直线∴x解得：T∵π<∴K=1,故选：A.【变式6-2】8．已知函数fx=sinxA．−B．−C．5D．2【答案】A【分析】根据三角函数的奇偶性，利用整体思想求出φ的值，运用诱导公式化简三角函数的解析式，最后由余弦函数的性质求解三角不等式即可得答案.【详解】解：因为函数fx=sinx−π4+φ是偶函数，所以因为fx≤32，所以cosx所以不等式fx≤3故选：A.题型7利用单调性比较大小【例题7】（2022秋·广东深圳·高一深圳中学校考期末）比较下列各组数的大小（写出结果即可）：(1)cos1，cos2；(2)cos8π5，(3)cos4π9，(4)sin1，cos1；(5)sin2，cos2．(6)cos2，cos3；(7)sin6π5，【答案】(1)cos1>cos2(2)cos(3)cos(4)sin1>cos1(5)sin2>cos2(6)cos2>cos3(7)sin【详解】（1）∵函数y=cosx在0,π上单调递减，且0<1<2<π，∴（2）y=cosx在区间π,2π上递增，所以（3）y=cosx在区间0,π上递减，所以（4）∵cos1=sinπ2−1，0<π2∴cos1=sinπ（5）∵π2<2<π，∴sin2>0，cos2<0，∴（6）因为π2<2<3<π，且y=cosx在（7）sin6π5=sinπ5+π=−sinπ5，cos6π5=cos【变式7-1】1．（2022春·四川达州·高一统考期末）三个实数sin100°，cos100°，ln3的大小关系是（

）A．sin100°<cos100°<ln3 B．cos100°<ln3<sin100°C．cos100°<sin100°<ln3 D．ln3<cos100°<sin100°【答案】C【分析】根据正弦函数，余弦函数和对数函数的性质确定sin100°，cos100°，ln3的范围，由此比较它们的大小.【详解】因为100∘π2<5π9<π所以0<sin5π9又函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增，所以所以cos100°<sin100°<ln3，故选：C.【变式7-1】2．（多选）（2022·高一课时练习）下列不等式中成立的是（

）A．sin1<sinπ3 C．cos(−70∘)>sin【答案】AC【分析】根据正弦y=sinx在0，π2单调递增可判断A,根据【详解】对A,因为0<1<π3<π2，y对B，因为π2<2<2π3<π，y对于C,cos(−70对于D，sin15π故选：AC【变式7-1】3．（2022秋·江苏盐城·）在△ABC中，“cosA>cosA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先考虑充分性，再考虑必要性利用函数的单调性可得解.【详解】当cosA>cosB，因为y=cosx在(0,π)内单调递减，所以A当A<B时，因为y=cosx在(0,π)内单调递减，所以cosA故选：C.【变式7-1】4．(多选)（2022春·广西玉林·高一统考期末）对于△ABCA．若A>BB．若A>BC．若△ABC是等腰三角形，一定有D．若△ABC是锐角三角形，一定有【答案】AD【分析】对于A，根据余弦函数的单调性判断即可，对于B，举例判断即可，对于C，举例判断，对于D，由正弦函数的单调性判断即可【详解】对于A：若A>B，且A,B∈0,π对于B：若A=3π4，B=π6，此时满足A对于C：若△ABC为等腰三角形，可能是b对于D：在锐角三角形中，π2<A+B<π，故π2>故选：AD题型8余弦函数的单调性【方法总结】余弦型函数单调区间的求法1、如果x的系数为负，则利用诱导公式变为正；2、将ωx＋φ看作整体，代入到余弦函数的单调区间解出x的范围；3、若求具体的或一个范围内的单调区间，则给k赋值，即可求出符合条件的单调区间。◆类型1余弦函数的单调性【例题8-1】函数y=cos【答案】k【分析】化简函数解析式，由2k【详解】由y=cos9π4−2x得2kπ≤2x－π4解得kπ＋π8≤x≤kπ＋5所以函数的单调递减区间为kπ+故答案为：kπ+【变式8-1】1．（2022春·陕西汉中·高一统考期中）已知函数fx(1)求函数fx(2)求不等式fx【答案】(1)kπ+(2)kπ【分析】（1）解出不等式2kπ（2）由fx>1可得cos2(1)∵函数y=cosx的单调递减区间为2kπ令2kπ≤2x−π4≤2∴函数fx的单调递减区间为kπ(2)∵fx>1，∴2cos2∴2kπ−π3<2x∴不等式fx>1的解集为【变式8-1】2．（2021春·陕西榆林·高一校考阶段练习）关于函数y=sinA．−π2,π2C．−π,0上是减函数 D．【答案】C【分析】根据诱导公式将函数解析式化简，然后根据余弦函数的单调性确定相应区间上的增减性，即可求解．【详解】由题意，函数y=sin函数y=−cosx在函数y=−cosx在函数y=−cosx在函数y=−cosx在故选：C.【变式8-1】3．函数fxA．−5π12,π12 B．−11π【答案】B【分析】令2kπ≤2x−π【详解】令2k解得kπ+即函数fx的单调递减区间为k取k=−1可得，−11π12取k=0可得，π12,令2k解得kπ−即函数fx的单调递增区间为k取k=0可得，−5π12因为fx在−取k=1可得，7π12,所以fx在7π故选：B.【变式8-1】4．把函数y=cosx的图象上所有点的横坐标缩短原来的12（纵坐标不变），然后向左平移π6个单位长度，得到A．−13π6+4C．−2π3+【答案】C【分析】利用三角函数的图象变换规律，求出y=【详解】把函数y=cosx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，可得y=cos2x由−π+2kπ≤2x所以y=g(故选：C．【变式8-1】5.（多选）（2022·高一课时练习）函数y=sinx和A．0,π2 C．−π,−π【答案】BD【分析】由正余弦函数的单调性逐个分析判断【详解】对于A，y=sinx在0,π2上单调递增，对于B，y=sinx在π2,π对于C，y=sinx在−π,−π对于D，y=sinx在−π2,0故选：BD【变式8-1】6．（2021·全国·高一专题练习）若函数y=cosπ2【答案】2【分析】利用诱导公式化简，再利用正弦函数余弦函数的性质即求.【详解】∵y=cos∴函数y=cosπ2又y=cos(2∴函数y=cos(2π−∴所求x的取值范围为两个区间的公共部分，即2kπ故答案为：2【变式8-1】7．（多选）（2022春·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校考阶段练习）下列函数中，既为偶函数又在−πA．y=cos|x| B．y=|cosx|【答案】AB【分析】根据正弦函数和余弦函数的图象及性质逐项判断.【详解】∵cos|−x|=cos|x又x>0时，cos|x|=cosx，且函数∴函数y=cos|x|∵|cos(−x∴函数y=|cos当x∈−π2,0时，y∴函数y=|cosx|∵y=sinx−π2∵−sin(−x2)=sin故选：AB.◆类型2复合型函数的单调性【例题8-2】（多选）（2022·高一课时练习）已知函数f(A．fx为偶函数 B．fxC．fx在−π2,π2上单调递增【答案】AD【分析】根据三角函数的奇偶性和奇偶性的定义，可判定A正确；根据f(【详解】对于A中，函数f(x)=cos(sin又由f(−所以fx对于B中，由f(可得函数fx的最小正周期为π对于C中，当x∈(−π2,0)时，函数当x∈(−1,0)时，函数y=cosx单调递增，所以f当x∈[0,π2)时，函数当x∈[0,1)时，函数y=cosx单调递减，故f对于D中，由f(x)=32当x∈[0,π]时，sin所以f(x)=故选：AD.【变式8-2】1．函数f(A．2kπ,(2k+1)πk∈ZC．(2k−1)π,2kπk∈Z【答案】A【分析】利用同角三角函数基本关系可得f(x)=cos2x−2cos【详解】f(设t=cosx，则t∈[−1,1]函数f(x)=−sin2当t∈[−1,1]时，y若求f(只需求t=cos当x∈[2kπ,(2k+1)π]所以函数f(x)的单调递增区间是[2故选：A.【变式8-2】2．函数f(A．(−π6，π6) B．(0，【答案】D【分析】令cosx=【详解】设cosx=t当t∈[−1，12]时ft当x∈(π3，2∴原函数此时是单调递增故选：D.【点睛】本题考查含cosx的复合函数的单调性求解，属基础题.【变式8-2】3．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）函数f(【答案】2kπ【分析】结合函数的定义域和复合函数的单调性即可求解.【详解】令u=2cosx−3欲求f(x)=由题意得定义域为cosx≥所以u=2cosx所以函数f(x)=故答案为：2kπ【变式8-2】4．（2023秋·河北保定·高一校考期末）已知函数f(【答案】(【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.【详解】解：令t=cos由t>0，可得cos所以2k解得kπ−所以函数的定义域为(k由余弦函数的性质可知：t=cos2x−π又因为f(由复合函数的单调性可知：函数f(x)=故答案为：(【变式8-2】5．（多选）（2021·高一课时练习）(多选)函数f(x)＝(1A．−π2,0C．0,π2 【答案】AB【分析】利用复合函数单调性的同增异减进行判断.【详解】在[－π，π]上，依据函数图象的对称性可知t＝|cosx|的单调递增区间是−π2,0及π2,故选:AB.【点睛】函数单调性的等价结论：（1）复合函数单调性满足同增异减；（2）fx为增函数⇔fxfx为减函数⇔fx【变式8-2】6．（2022·高一课时练习）已知函数fx(1)求fx的定义域和值域，并判断f(2)求函数fx【答案】(1)定义域为xx≠k(2)k【分析】（1）根据cosx≠0，即可得到定义域，由（2）由复合函数的单调性，结合（1）中结论即可得到结果.【详解】（1）若fx有意义，则cosx≠0，∴x∴fx的定义域为x∵0<cosx≤1，∴f易知fx的定义域关于原点对称，又f∴fx（2）gx=cos又y=ln∴fx的单调递减区间为kπ【变式8-2】7．（2022·高一课时练习）已知函数f(x)=sin(x+φ)(1)求f((2)作出函数y=1−2f(x)在[0,2【答案】(1)f((2)图像见解析，递减区间为[π【分析】（1）由图像所过的点有sin(π3+φ)=（2）应用五点法画出函数图像，结合图像确定递减区间.（1）∵函数f(x)∴sin(π3+φ)=∴f(（2）按五个关键点列表：x0ππ321−2cos-1131-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示，由图像知：函数y=1−2f(x)题型9余弦函数的值域与最值问题【方法总结】与余弦函数有关的最值问题求在R上的值域：当余弦在1或-1处取得最值，可直接代入验证，或分情况代入；2、求定区间上的最值：可先计算ωx＋φ的范围，根据y=cost在所求出的范围内的单调性求最值；3、关于余弦的二次式求最值：可用换元法或配方法求最值.◆类型1普通型【例题9-1】（2022春·上海宝山·高一校考期中）函数f(【答案】[−3【分析】由余弦函数的单调性求解．【详解】由余弦函数性质知：f(x)=cosx在f(0)=1，f(−π所以值域为[−3故答案为：[−3【变式9-1】1．求下列函数的值域：(1)y=cos2x−π6，x∈−π6,π6；（2）【答案】(1)[0,1]（2）[0,4]##y0≤y≤4（3）−1,2；(4)[−【分析】(1)利用余弦函数的单调性即可求解；（2）由余弦函数的有界性求解即可；(3)利用余弦函数性质及不等式性质求f(x)的值域；(4)先由x∈−π4【详解】（1）由y=cos2x−π又函数y=cosx在区间−π2,当2x−π6=0（2）因为cos2x+π12∈[−1,1]，所以−2cos2x(3)f(x)=2cosx，又−π3≤x≤2π3（4）由题知fx=3cosπ根据y=cosx图象性质可知:cos2故fxmin=−32,fxmax【变式9-1】2．（2021·全国·高一专题练习）已知函数fx=2cos（1）求函数fx（2）求函数fx的最大值、并求出取得最大值时x【答案】（1）最小正周期为π，单调递减区间为−π（2）函数fx取得最大值为2，fx【分析】（1）利用周期计算公式求出最小正周期，利用整体代换求解fx（2）利用余弦函数的图象和性质，求解最值即可.【详解】（1）因为函数fx=2cos2所以函数fx的最小正周期为T令2kπ解得−π所以fx的单调递减区间为−（2）函数fx=2cos2当2x+π3=2此时x的取值集合为x|【变式9-1】3．已知函数f(x)=Acos((1)求函数f((2)求f(x)【答案】(1)f(2)[−1,−【分析】(1)先根据最值确定A，再根据周期确定ω，最后根据点M的坐标求出φ，即可求出f((2)利用（1）的结论，求出5π6【详解】（1）由函数的最小值为－1，可得A=1，

因为最小正周期为2π3，所以可得f(又因为函数的图象过点(0,12)，所以cosφ=故f(（2）由（1）可知：f(x)=cos(35π6≤3x故函数f(x)在区间[◆类型2二次函数型【例题9-2】求下列函数的值域：（1）y=−3(1−cos2x)−4cosx+4，【答案】（1）−13,【分析】（1）由题可得cosx(2)将cos2x换成1−sin【详解】（1）因为x∈−π又y=−3(1−cos2所以，当cosx=23时，ymin故函数y=−3(1−cos2（2）y=∵−1≤sinx≤1，当sinx=1时，函数取最大值0；当∴函数y=cos2【变式9-2】1．（2023秋·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）已知a<0，函数f(x(1)设t=1+sinx+1−sin(2)若对区间x∈−π2,【答案】(1)g(t(2)2【分析】（1）由已知可得t2=2+2cosx，即cos（2）问题转化为g(t)【详解】（1）∵t∴∵x∈−π2,π又∵t>0，∴又cosx=12（2）要使得|f(x1)−只需f(x)max−二次函数g(t)=1①当a≤−22时，即0<−1a则a≤−2②当−22<a<−12时，即2则2<−1③当−12≤a<0时，即−则−12综上，实数a的取值范围是2【变式9-2】2．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）已知fx=2x2−a−1A．0 B．1 C．2 D．−1【答案】B【分析】利用诱导公式得到fcosθ=f−cos【详解】解：因为存在θ∈−π即存在θ∈−π即2cos即2a因为θ∈−π所以a−1=0，所以a故选：B◆类型3反比例函数型【例题9-3】函数y=A．−∞,0∪4,+∞ C．0,4 D．0,2【答案】B【分析】先换元cosx【详解】令cosx=t可得2t−1∈−3,032⋅1故选：B.【变式9-3】（2023·高一课时练习）函数y=【答案】

{x∣【分析】由题意可得cosx−1≠0,易得函数的定义域,变形可得y=1+【详解】由cosx−1≠0可得∴∴函数的定义域为{x又y∵−1≤cosx∴4所以函数的值域为−∞,−1；故答案为：{x∣x◆类型4根号函数型【例题9-4】（多选）（2022·高一课时练习）已知函数fx=sinA．函数fx为偶函数 B．函数fxC．函数fx的值域为0,sin1 D．函数【答案】ACD【分析】结合函数的定义域、奇偶性、值域、周期性的知识求得正确答案.【详解】依题意sincos由于−π所以0≤cosx≤1，故fx的定义域为2f−x=当x∈2kπ−π所以函数fx的值域为0,由于fx+2π=故选：ACD◆类型5分段函数型【例题9-5】（2023·高一课时练习）函数y=cosx+【答案】[0,2]【分析】化简函数y=cos【详解】y当x∈[0,π2当x∈(π2综上，y∈[0,2]故答案为：[0,2]【变式9-5】1．（多选）（2022秋·安徽池州·高一统考期末）已知函数f(A．函数f(x)的一个周期为π C．函数f(x)在5π2,3【答案】BCD【分析】由fx+π≠f【详解】因为f(x+因为f(−x)=−sin当x∈π3,4当x∈4π3,而f(x)=f(x+2观察可知，C，D均正确；故选：BCD【变式9-5】2．（2023秋·山东·高一山东师范大学附中校考期末）设a，b∈R，定义运算a⊗bA．1 B．22 C．12【答案】B【分析】根据给定的定义，求出函数f(【详解】当sinx≥cosx时，2kπ因为a，b∈R，定义运算a⊗b因此f(当2kπ−3当2kπ+π所以函数f(x)的值域为[−1,故选：B【变式9-5】3．（2022春·广西钦州·高一校考阶段练习）设函数fx=xA．−1,1 B．−1,22 C．−2【答案】D【分析】由题可得gx【详解】∵fx∴当sinx−cosx>0，即当sinx−cosx<0，即当π4+2kπ当−3π4故gx的值域为−故选：D.◆类型6指数函数型【例题9-6】（2023·高一课时练习）函数y=【答案】1【分析】根据余弦函数的性质可得：cosx【详解】y由题意可知：cosx又因为y=(13)所以函数y=13故答案为：13◆类型7正余弦函数函数型【例题9-7】（2023·高一课时练习）已知函数y=cosA．定义域是−1,1 B．值域是cos1,1C．定义域是0,2π D．值域是−1,1【答案】B【分析】题意可知函数的定义域为R，从而判断A，C选项；设t=sinx，则有【详解】解：由题意可知函数的定义域为R，所以A，C错误；设t=sinx，则有所以y=cos由余弦函数的性质可知y=cost在t∈[−1,0]又因为cos(−1)=cos1，所以y=cost,故选：B.题型10含参问题【例题10】（2023·高一课时练习）已知函数y=3cos2x的定义域为−π4,A．−6 B．−3 C．−332【答案】B【分析】由余弦函数的性质求出函数值域即可得解.【详解】因为x∈所以−π2≤2所以y=3cos2x∈[0,3]所以b−故选：B【变式10-1】1．若函数fx=2sinx与gx=cos2A．π4 B．π3 C．π2【答案】C【分析】分析在一个较大区间内fx,g(x【详解】fx=2sinx的周期为2π，gx=cos2函数fx=2sinx函数gx=cos2x所以函数fx=2sinx与g且3π2,2π为所以则nmax=2π，mmin=3π故选：C.【变式10-1】2．（2022秋·内蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）已知函数fx=−2cos2x+2cosx【答案】π3,【分析】由题意，可令t=cosx，将原函数变为二次函数，通过配方，得到对称轴，再根据函数的定义域和值域确定实数【详解】设t=cosx，则∵y∈0,12，x∈0,a又x=π2时，t∴a≤π2故答案为：π【变式10-1】3.（2023秋·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知函数g(x)=cos(1)求gx(2)若关于x的方程g2【答案】(1)0,(2)2【分析】（1）根据余弦函数的性质结合整体思想即可求得函数的值域；（2）令t=gx，则t∈0,【详解】（1）当x∈−π所以cos4所以g(故gx的值域为0,（2）令t=gx令f(根据题意Δ=2−m2此时ft有两个不同的零点，