第二章单跨梁的弯曲理论

第二章单跨梁的弯曲理论Bending

TheoryofSingle-SpanBeam

几何特性：受外荷作用而发生弯曲的杆件叫作梁，仅在梁的两端有支座的梁叫单跨梁。悬臂梁是单跨梁的一种特殊情形。船体骨架是复杂的空间杆件系统，组成骨架的每一根杆件都可看作梁。以后在分析杆件系统时，总是根据一定的法那么把他们拆开为一根一根杆件进行分析。每一根杆件都是单跨梁。一般为斜直线水平线抛物线下凸有极值为零处有尖角(向下）有突变(突变值=

FP)有极值变号无变化

有突变（突变值=M）剪力图弯矩图梁上情况无外力均布力作用(q向下)集中力作用处(FP向下)集中力偶M作用处铰处无影响为零斜直线剪力图与弯矩图之间的关系§2-1梁的弯曲微分方程式及其通解1.梁的弯曲微分方程式现考虑一单跨直梁:规定:梁的载荷q——向下为正；梁的挠度v——向下为正;梁的转角θ——顺时针方向为正;图2.1图2.2梁的弯矩M——左逆右顺为正；梁的剪力N——左下右上为正;c根据微段的平衡条件得到：有下式：〔2－1〕〔2－4〕〔2－3〕〔2－2〕利用式〔2－1〕～〔2－4〕，就可得到梁的弯曲微分方程式：〔2－5〕〔2－6〕〔2－7〕式〔2－7〕就是等截面直梁的弯曲微分方程式。2.梁的弯曲微分方程式的通解，初参数法式〔2－7〕是简单的常微分方程，逐次积分可得到：（a）（d）（b）（c）梁左端的弯曲要素称为初始弯曲要素，或简称为初参数。式〔d〕就是微分方程式〔2－7〕的通解可见，积分常数就是梁的初参数。于是通解式（d）可用梁的初参数表示为：（e）由初参数引起的挠度由分布载荷如果没有分布载荷项，上式变为：（2-8）这说明，梁的挠度取决于梁端四个初参数。讨论：〔1〕集中力作用下的梁。pblxyxpblxyx将梁分成两段：由边界条件确定由连续性条件确定由连续性条件：布勃诺夫将函数断子符号‖b引入船舶结构力学，从而梁全长的挠曲线可以表示为断子函数将梁分成两段：为第一段，为第二段，并把集中力看作是作用在第二段的初始点。于是对于第一段，梁的挠曲线可写为：第二段相对与第一段来说，它在端点多了一个集中力，这个集中力相当于第二段的一个初始剪力，且为正。所以梁的挠度在第一段过渡到第二段时仅增加一项与P有关的项：此处为自第二段开始算起的坐标再在加符号，表示此项在时才起作用，于是得到梁的挠曲线为:同理：〔2〕在集中弯距作用下的梁。blxyxm图2.3（2-9）（2-10）同理：〔3〕在任意分布载荷作用下的梁。blxyxq(x)图2.4（2-11）综上所述，在任意载荷作用下梁的挠曲线方方程为：blxyxq(x)caPm图2.5（2-12）通用方程式§2-2梁的支座和边界条件1.梁的支座及相应的边界条件〔1〕自由支持在刚性支座上边界条件为:图2.6活动铰支座固定铰支座〔2〕刚性固定在刚性支座上，刚固端边界条件为:图2.7〔3〕弹性支座弹性支座，v∝P刚性系数自由支持在弹性支座上梁端的边界条件为:vvEIxyP图2.8柔性系数

讨论：刚性系数为0时，和柔性系数为0时各代表哪种边界条件？〔4〕弹性固定端所谓弹性固定端。xyAAEIMM图2.9梁端力矩柔性系数刚性系数梁两端受到的支座反力矩即梁端弯距，根据上节弯距正负号的规定，他们均为正。由转角的正负号规定，左端为正，右端为负。由弯距与挠度之间的微分关系：＝EIv’’,将其代入式〔2-14〕得这就是弹性固定端得边界条件。由此可得弹性固定在刚性支座上梁端的边界条件：讨论：刚性系数为0时，和柔性系数为0时各代表哪种边界条件？xyAAEIy图2.10图2.112.挠曲线通用方程式的应用例1:求图2.12所示的挠曲线方程及左右端处的转角。xyAEIm图2.12l当梁端有集中力或弯距作用时，梁端的边界条件都应当把他们考虑在内。对于给定挠度或转角，在写边界条件时，也应把他们考虑在内。有了边界条件，就可以应用挠曲线通用方程式确定单跨梁的挠曲线方程和其它弯曲要素。解：从图中可以看出，除了在梁的右端有一集中弯距外，梁上没有任何载荷。由式〔2-8〕得：根据梁右端的边界条件：将两端的边界条件代入到上式得：4个未知数，要列4个平衡方程：根据梁左端的边界条件：〔a〕从而解得：将其带入到通用挠曲线方程式〔a〕从而得到梁的挠曲线方程，继而可以得到梁的转角方程。从而可以计算梁左端和右端的转角。梁的挠曲线方程为：梁的转角方程为：梁的左端转角为：梁的右端转角为：当A＝时，实际上就是固定铰支座mx图2.13myEIl当A＝0时，就是固定端。mxyEI图2.14l例2:求图2.15所示的梁的挠曲线方程xy解：从图中可以看出，本梁只受到均布载荷q的作用。由式〔2-11〕得：图2.154个未知数，要列4个平衡方程：根据梁右端的边界条件：将两端的边界条件代入到上式得：根据梁左端的边界条件：又：从而解得：例3:求图2.16所示的梁的挠曲线方程xyAEIm图2.16l/2l/2P左端弹性固定端柔性系数，右端弹性支座柔性系数解：从图中可以看出，本梁只受到集中载荷P的作用。由式〔2-9〕得：4个未知数，要列4个平衡方程：根据梁右端的边界条件：根据梁左端的边界条件：解得：§2-3梁的弯曲要素表及其应用从上节看出，利用梁的挠曲线通用方程式及边界条件可以确定各种单跨梁的挠曲线方程，从而进一步确定梁的弯曲要素。在教材附录A中给出了各种边界条件下梁的弯曲要素表。目前我们考虑的弯曲公式是在小变形及材料符合虎克定律的前提下推导的，所以梁的弯曲要素与梁上的外力成线性关系，从而可以采用叠加原理计算单跨梁上同时受到几种不同外载荷作用下的弯曲要素。由附录A可见，各种弯曲要素表的详细程度不相同，其中两端自由支持梁的弯曲要素表最详细。此外，各种弯曲要素表中的载荷种类也不尽相同。因此，当利用这些弯曲要素表及叠加原理来确定某一特定单跨梁的弯曲要素时，还存在一些技巧。下面举例进行说明。例1:求图2.17所示的梁的中点挠度，右端转角，并作出梁的剪力图和弯距图。图2.17解：使用叠加法，将受到分布载荷和集中载荷的单跨梁AB，拆开为单独受到均布载荷和集中载荷的两根单跨梁，如图〔a〕和〔b〕所示：图2.17a图2.17b(1)计算中点挠度。从附录表A－3中的1和2很容易计算得到每根梁中点的挠度得：从附录表A-3中，利用叠加原理可以得到右支座反力和固定端弯距的大小。(2)计算右端转角。附录表A-3中并没有给出右端转角。但是附录表A-2给出了两端自由支持梁在各种载荷下的弯曲要素。这样，我们就可以将图2-17等效为两端自由支持梁分别受到集中力、分布载荷和集中力矩来处理。MRb=5P/16+3ql/8=23ql/48Ma=ql2/8+3pl/16=ql2/8+ql2/16=3ql2/16图2.17cMM图2.17d图2.17e图2.17f查附录表A-2，应用叠加原理很容易就算得到梁右端的转角为；(3)画弯距图和剪力图。有两种途径，一种是根据附录表A-3中的弯距图和剪力图直接叠加；另外一种是根据图2-17d、2-17e、2-17f采用附录表A-2中的弯距剪力图叠加得到。﹢﹣﹢﹣﹢﹣﹣﹢

剪力和弯距为0时的x坐标值一定要计算准确；﹢﹣﹢﹣﹢﹣﹣﹢注意:是竖标相加,不是图形的简单拼合.例2:计算以下图所示的两端刚性固定梁的弯曲要素xyl/2l/2Pyl/2l/2mx例3:计算以下图所示的一端弹性固定，另一端弹性支座梁的中点挠度、端点转角并画弯矩图和剪力图.α=l/3EI,β=l3/48EI,βxyl/2l/2mm1m2xyl/2l/2Pβ§2-4梁的复杂弯曲如图2-18所示。EI较小，轴向力很大，那么轴向力所引起的弯曲要素就不能忽略。梁的复杂弯曲——同时考虑横向和轴向这两种载荷作用梁的弯曲xyTT图2-18在梁的任一截面上除了有弯距、剪力外还有轴向力。1.梁的复杂弯曲微分方程推导梁在复杂弯曲时，我们仍认为梁截面符合材料力学中的平断面假定，材料仍然服从虎克定律，MTqM+dMNN+dNTdxdv图2-19列出微段的平衡方程式：yx略去高阶微量后，得：(2-13)将式（2-13）再微分一次，并将关系式：带入后，得到：对于等截面和轴向力沿梁长不变的情况，得：(2-15)(2-14)这就是梁在复杂弯曲〔轴向力为拉力〕时的弯曲微分方程式。如果轴向力为压力，只要在上式中用〔-T〕代替〔T〕即可。为了表达清晰起见，令轴向压力的绝对值为T﹡，这样用〔-T﹡〕代替上式中的T，便可得到梁在复杂弯曲〔轴向力为压力〕时的弯曲微分方程式：(2-16)2.微分方程式的解，初参数法微分方程式〔2-15〕的解分为相应的齐次方程式的通解和非齐次方程式的特解两局部。先考虑轴向拉力的情况，即方程式〔2-15〕，其齐次方程式为：此式可改写为：式中：(2-17)(2-18)于是，可将方程式〔2-18〕的解写作：(2-19)将式〔2-19〕代入到〔2-18〕中得特征方程为：(2-20)此特征方程有4个根，分别为：所以方程式〔2-18〕的解为：式中为积分常数仿照§2-1中的方法，直接将此解推广到梁上受任意横向载荷的情况而无须求其特解，为此将上式逐次积分：(2-21)并利用式〔2-13〕，有：设为x＝0时梁的四个初始弯曲要素从而解得：代入式〔2-21〕得：仿照〔2-12〕式，就可以将〔2-21〕推广到梁上受任意横向载荷得一般情形：(2-22)bdTyxq(x)caPmxT(2-23)图2-20当x>d时，积分上限为d。如果是轴向压力，只要将轴向拉力公是中得T用〔-T＊〕代替，或k用〔ik＊〕代替即可，其中：(2-24)当x>d时，积分上限为d。利用挠曲线通用方程式〔2-24〕及梁端的边界条件，就可以确定相应梁复杂弯曲时的挠曲线方程，从而由弯距与挠度的关系式确定弯距方程。进一步可以确定梁在复杂弯曲时任一横截面上的剪力。〔1〕轴向力为拉力时〔2〕轴向力为压力时(2-26)(2-25)由式〔2-25〕和〔2-26〕可见，梁复杂弯曲时剪力与挠度的微分关系式和梁在横力弯曲时并不相同。当求得梁复杂弯曲时的挠曲线方程后，应由式〔2-25〕和〔2-26〕确定剪力方程。在写梁端边界条件时也应注意式〔2-25〕和〔2-26〕，及对于复杂弯曲,从而弹性支座的边界条件就与横力弯曲时的不同，对于轴向力为拉力或压力的梁，其弹性支座的边界条件为：式中，符号的取法：左端取(-)，右端取(+)复杂弯曲时的弹性固定在弹性支座上的边界条件也与横力弯曲时不同。写为：轴向拉力轴向压力式中，符号的取法：上面的符号适用于左端，下面的符号适用于右端边界条件为：yTT图2-21边界条件为：yTT图2-21例1:如图2-22所示，受均布载荷q，两端自由支持并受轴向拉力的T作用的梁，计算其弯曲要素。3.例题图2-22TxyTqEIl解：先应用式(2-23)计算梁的挠曲线方程式。梁左端的边界条件：(a)将边界条件代入到(a)式得：为了算出上式中的积分，利用变量代换方法。积分上下限为0和x。(b)将积分结果代入到(b)式得：梁右端的边界条件：代入到(c)式得：(c)(d)将(d)式代入到(c)式整理后得：式中有了挠曲线方程后，我们就不难求得梁的弯曲要素。现将通常所需的梁的中点挠度、端点转角及中点弯距的公式写出如下：(e)(f)式中(g)(g)称为复杂弯曲的辅助函数，他们的数值取决于，即取决于轴向力T，梁的抗弯刚度EI和梁长l。复杂弯曲梁的辅助函数和弯曲要素表见附录B。现讨论的取值对复杂弯曲梁弯曲要素的影响：(2)>0，即T>0，(g)式中的函数随着的增加而减少，说明轴向拉力使得梁的弯曲要素减少。(1)=0，即T=0，(g)式中的函数均为1，这时所得到的公式就是以前推导的仅受横向荷重时的公式如果所讨论的梁受到的是轴向压力T＊，那么在以上公式中将(-T＊)代T，ik＊代k,i＊代。此处：即可得到相应的公式如下：及：式中：(h)(i)(j)同样为复杂弯曲的辅助函数。现讨论＊的取值对复杂弯曲梁弯曲要素的影响：(2)＊>0，(h)式中的函数随着＊的增加而增大，说明轴向拉力使得梁的弯曲要素增大。当＊=/2，即(1)＊=0，即T＊=0，(g)式中的函数均为1，这时所得到的公式就是以前推导的仅受横向荷重时的公式时，，这说明当轴向压力即使梁受到非常微小的载荷，梁都会丧失其稳定性。因而也可以把复杂弯曲中使弯曲变形趋向无穷大的轴向压力定义为临界压力。我们在材料力学压杆的稳定性一章中，两端铰支的细长压杆的欧拉临界载荷也是综上，我们可以指出：当梁受任何横向荷重及轴向拉力或轴向压力作用而发生复杂弯曲时，不管两端固定情况如何，总归是轴向拉力使得梁的弯曲要素减小；轴向压力使得梁的弯曲要素增大。使得弯曲变形趋向无穷大的轴向压力就是压杆的临界压力。4.复杂弯曲梁的弯曲要素及叠加原理对于受其他荷重作用和其他支撑情况的单跨复杂弯曲梁，用同样的方法可以求出其挠曲线方程式和弯曲要素，其结果列在附录B中：这就是复杂弯曲梁的弯曲要素表。由复杂弯曲梁的通用挠曲线方程式(2-23)和(2-24)知，挠度v与参数k或k＊不成线性关系，但是当k或k＊为常数时，即轴向拉力T或压力T＊保持不变，挠度v与横向载荷之间成线性关系。故梁在一定的轴向力作用下，梁上受到不同横向载荷时的弯曲要素仍可用叠加原理求解，即可分别求得在该轴向力作用下的各个横向载荷作用时的弯曲要素，然后叠加。例1:如图2-23所示的梁，两端受到集中力矩的作用，求梁两端面的转角。图2.23xyEIl解：根据附录表B-2m1m2xyEIlm1xyEIlm2＋叠加后得到梁两端的转角分别为：函数值见附表B-3和B-4例2:求如图2-24所示的梁固定端弯距xyEITTxyEITTM解：附录表B-2并没有提供这种支座形式，我们将其等效为图2-25形式的梁。图2-24图2-25利用附录表B-2提供的均布载荷下梁左端的转角和集中力矩作用下梁左端的转角，利用叠加原理。再根据固定端处，转角为零的边界条件，就可以求得端面弯距。叠加后利用梁左端转角为零，得到端面弯距为：5.轴向力对梁弯曲要素的影响由附录表B提供复杂弯曲的弯曲要素表可见，轴向力对弯曲要素的影响取决于辅助函数，而辅助函数值的大小又由参数和〔＊〕决定。因所以，轴向力对弯曲要素的影响程度取决于轴向力与梁抗弯因子4EI/l2之比值。而不仅仅取决于轴向力的大小。由附录表B可见当或〔＊〕≦0.5时，各辅助函数的值接近于1，说明在此范围内，轴向力对弯曲要素的影响很小，可以忽略在船体骨架的强度计算中，一般来说参数或〔＊〕之值不大，因而习惯上都不考虑轴向力对弯曲要素的影响。于是在计算受横向载荷和轴向力同时作用的骨架横截面上的正应力时，可以简单地使用材料力学中给出的公式。式中，M—由横向载荷引起的梁横截面上的弯距；I、A—横截面的惯性距和横截面面积。但是，对船体结构中的板来说，情况就不同了，由于板的抗弯能力远比骨架小，故必须考虑板中面力对板弯曲应力的影响。§2-5弹性根底梁的弯曲支撑于弹性根底上的梁叫弹性根底梁。弹性根底梁在受到横向载荷而发生挠度时，弹性根底会给梁一个正比于挠度的反力。设梁的挠度为v，那么弹性根底给梁的单位长度上的反力为Kv，其中K是比例系数，简称为弹性根底的刚性系数。在对某些工程结构物进行强度计算时，有时可将其简化为弹性根底梁的弯曲计算。例如铁轨和枕木的计算，房屋建筑中的钢筋混凝土条形根底的计算。船体结构中板架纵桁的计算以及潜艇耐压壳体强度计算都可以归结为弹性根底梁的弯曲计算。对于有横向分布载荷q作用的弹性根底梁，假设把弹性根底给梁的单位长度上的反力Kv看作是分布载荷〔-Kv〕，那么将〔q-Kv〕代替普通梁的弯曲微分方程式中的q：1.等截面弹性根底梁的弯曲微分方程式及其解(2-27)式中弹性根底的刚性系数K不随坐标x变化，即再整个梁长范围内K是常数弹性根底梁的截面转角、弯矩、剪力与挠度的微分关系仍和普通梁一样，即：对于微分方程式〔2-27〕，可用初参数法求解。即先求出〔2-27〕的齐次方程的通解，然后推广到受任意载荷作用时弹性根底梁的解。将式〔2-27〕的齐次方程式改写为：(2-28)(2-29)式中对于齐次微分方程式〔2-29〕的解，根据高等数学微分方程的解法，其通解为：(2-30)式中C1～C4为积分常数。需要找出这4个积分常数与梁端截面的弯曲要素之间的关系，为此，将式〔2-30〕逐次微分，得：由式〔2-30〕及上面三式，当x=0时，根据式〔2-28〕，可得：(2-31)将他们代入通解式〔2-30〕得：(2-32)式中v0、0、M0、N0——梁截面的挠度、转角、弯矩、剪力。由上式可解得：他们称为普日列夫斯基函数。于是式(2-32)就可写成：(2-33)令函数：(2-34)普日列夫斯基函数之间有下面的循环微分关系和一些特殊数值：(2-35)(2-36)现将式〔2-34〕推广到受任意载荷作用的弹性根底梁〔图2-26〕。由§2-1所述初参数法，仿照式〔2-8〕，由式〔2-34〕可写出yxmPqabcdK图2-26(2-37)现将式〔2-38〕称为弹性根底梁的挠曲线通用方程式。有了该方程式和边界条件就能求出相应的弹性根底梁的挠曲线方程，继而根据〔2-28〕可以求出其他弯曲要素。例3:对于受均布载荷q作用的两端刚性固定的弹性根底梁〔图2-27〕，求梁的挠曲线方程、转角、弯矩和剪力。xqKyl/2l/2解：由于梁的结构和载荷都对称于跨中，故取跨度中点为坐标原点。这样，在x=0处，0=0，N0=0。由式〔2-37〕可知，梁的挠曲线方程为：上式等号右边最后项的积分，利用函数V3与V0之间的微分关系〔式2-35〕，可以得到：从而梁的挠曲线方程式可以写成：由式〔2-50〕可知4α4EI=K,再将上式中的同类项合并，得到：上式的积分常数D0和D1根据边界条件确定：(2-38)式中,求解上述方程组得到：将积分常数D0和D1的表达式代入到〔2-38〕，得到梁的挠曲线方程为(2-39)根据式〔2-28〕及〔2-35〕，可求出梁的转角、弯矩和剪力的表达式：(2-40)(2-41)(2-42)(2-43)由式〔2-40〕～〔2-43〕，可算出梁中点(x=0)的挠度、弯矩及梁端点(x=l/2)的弯矩、剪力：(2-44)(2-45)(2-46)(2-47)式中称为弹性根底梁的辅助函数。(2-48)弹性根底梁的辅助函数反映了弹性根底对梁弯曲要素的影响。当u=0〔即K=0〕时，表示不存在弹性根底，此时，上述辅助函数值均为1；当u>0(即k>0)时，辅助函数值随u的增大而减小，这说明弹性根底的刚性系数增大，梁的弯曲要素将减小。由式〔2-37〕及以上分析可知，当弹性根底的刚性系数K一定即参数u一定时，梁的弯曲要素与外载荷之间成线性关系，因此，当弹性根底梁受到几种不同外载荷作用时，仍可采用叠加法，分别求出各个外载荷单独作用下时的