三角函数、三角恒等变换知识点总结

高中数学苏教版必修 4三角函数知识点总结一、角的概念和弧度制：(1)在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。⑵①与a角终边相同的角的集合：｛P|P=3600k+京，kwZ｝或｛P|P=2kn+ct,kwZ｝与a角终边在同一条直线上的角的集合：;与ct角终边关于x轴对称的角的集合：;与a角终边关于y轴对称的角的集合：;与a角终边关于y=x轴对称的角的集合：;②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ;终边在一、三象限的平分线上角的集合：;终边在二、四象限的平分线上角的集合：;终边在四个象限的平分线上角的集合：;(3①象限角：第一象限角：;第三象限角：;

第一、三象限角：;②写出图中所表示的区间角：(4)正确理解角：要正确理解“0o~90o间的角”=;“第一象限的角”=「锐角”=“小于900的角”=;a(5)由口的终边所在的象限，通过来判断一所在的象限。2来判断巴所在的象限3(6)弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角a的弧度数的绝对值|al=-,其中l为以角a作为圆心角时所对圆弧的长，rr为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。(7)弧长公式：；半径公式：；扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：(1)任意角的三角函数定义：以角a的顶点为坐标原点，始边为 x轴正半轴建立直角坐标系，在角a的终边上任取一个异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为r,则sina=；cosot=tana=；cota=；seca=；csca=；如：角ot的终边上一点(a,7r3a),则cosct+2sina=。注意r>0(2)在图中画出角a的正弦线、余弦线、正切线；比较xw(0,」)，sinx,tanx,x的大小关系：2(3)特殊角的三角函数值:a0316冗43133123T3n2sin口cosatanacota三、同角三角函数的关系与诱导公式:

平方关系倒数关系tanacota=1平方关系倒数关系tanacota=1，商数关系sina: =tana；cosa作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。(2)诱导公式：2k二：二：n+a= ： 5 -5 ;—ct=a： ? _? ;n-a=>a：2冗一o(=a： 5 -5 ;冗--ana:2冗一+ana:??;23二——-Ct二ct:;23二——十a=a：2诱导公式可用概括为:二 3二 一一一2KH±3,-3,—±a,冗士a,—士ct的二角函数奇变偶不变，符号看象限a的三角函数 ►1 11 1 1I 1Isin2ct+cos2=1=1,1+tan2o(= 立—,1+cot2a= 立—cos二 sin;作用：—去负一一脱周一一化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路.即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o,360o)或[0o,180o)内的三角函数一一脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数 化锐.(3)同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。②求任意角的三角函数值。0o~360o角的三角函数步骤：公式二、四、五、六、七、八、九0o~360o角的三角函数③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个.步骤：①确定角«所在的象限；②如函数值为正，先求出对应的锐角 0(1;如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角四；③根据角a所在的象限，得出0~2n间的角一一如果适合已知条件的角在第二限；则它是n—31；如果在第三或第四象限，则它是n+汽1或2n-口1;④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。TOC\o"1-5"\h\z3二 、如tana=m,贝Usin= ,cosa= ；sin(-——a)= •\o"CurrentDocument"2 ，“15二 、cot( -a)= 。2注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度： (3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17)；四、三角函数图像和性质1.周期函数定义定义对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零白^常数T叫做这个函数的周期.请你判断下列函数的周期y=sinx y=cosx y=|cosx| y=cos|x|y=tanxy=tan|x|y=|tanx|y=tanxy=tan|x|y=|tanx|k例求函数f(x)=3sin(—x+—)(k#0)的周期。并求最小的正整数 k,使他的周期不大5 3于1解二丁=月训至工+叫〔其中月#0.3r◎的周期为人蒿，.2tt_10ir■■2 ：- „|||因依题意，0<W1,即。〈等S1,向,1®,使这个不等式成立的最小正整效为忱I32.注意理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数f(x)=c(c为常数)是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期.结论：如函数f(x+k)=f(x-k)对于任意的xWR,那么函数f(x)的周期T=2k；如函数f(x+k)=f(k—x)对于任意的xwR,那么函数f(x)的对称轴是x=(xk)…二k22.图像

g）时，1J当工=2加一-2，1min——1.—1奇偶性奇函数偶函教奇函数奇函数周期性「f=2n片2北t=t[有界性有界有界无奥无界单调性REZ)在［如.三,2加+：］上都是增函数，在口加+y,2H+二］上都2是诚函数在K次-l)iR口风］上都是增函软,在阳⑵+1词上都是滥函数在(筋—1H+)内都是增函数在(hi,啊+用内#&是澈函ft3。图像的平移对函数y=Asin(cox+9+k(A>0,w>0,中w0,kw0),其图象的基本变换有：♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦(1)振幅变换(纵向伸缩变换)：是由 A的变化引起的.A>1,伸长；Av1,缩短.(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由④的变化引起的.3>1,缩短；3V1,伸长.(3)相位变换(横向平移变换)：是由。的变化引起的.5>0,左移；中<0,右移.(4)上下平移(纵向平移变换):是由k的变化引起的.k>0,上移；k<0,下移四、三角函数公式:「—倍角公式sin(二：）=sincos士cosctsinsin2久=2sinacosUcos2,工=cos2-：：-sin倍角公式sin(二：）=sincos士cosctsinsin2久=2sinacosUcos2,工=cos2-：：-sin2-：：cos（二D）=cos、工cossin口sin=2cos2口-1=1-2sin2口tan（'工二I1）=tan二-tan:1-tan二tantan2:=2tan二, 21-tan-积化和差公式sin二cosI-',cos、工sinP1=—[sin（二+21=—[sin（:■+2:）+sin（工-:）］:）-sin（一i--）］半角公式asin—二2va

cos—二1cos：积化和差公式sin二cosI-',cos、工sinP1=—[sin（二+21=—[sin（:■+2:）+sin（工-:）］:）-sin（一i--）］半角公式asin—二2va

cos—二1cos：cos二：cos-1=[cos（.：j+）+cos（.：j- ）]2atan二21cos：sin、工sin|：,= [cos（、工+'）-cos（、工-）]2升嘉公式和差化积公式aa+Pasin_i+sin：=2sin cos—2aa+P.asin：＜--sin-=2cos sin——1+cos?=2cos2一22：■1-cos、工=2sin—21-cos：sin：1cos2 2Ra+Pa-Pcos•工+cos:=2cos cos 2na+Pcos'工-cos-=-2sin sin21CL1+sin注=（sin一二21=sin2.工+cos2:•2cos—）

2aasin3=2sin-cos一2降嘉公式tan、工+cot、工=一sin二cos二sin2：tan二-cot二=-2cot2二2sin--1一cos2：-c2工1+cos•上=2cos-2cos2二，21cos2：一c. 2 ;1-cos-=2sin一2a2sin2o（+cos2o（=1Ct1±sin口=（sin一±cos一）1.八sincoset=—sin2a2=4cos3日-3cos日；三倍角公式：sin3日=4cos3日-3cos日；五、三角恒等变换:三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下：.<1）一鱼的变换;在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：一 …一 3-..①20t是"的二倍；4a是2①20t是"的二倍；4a是2口的二倍;仃 H TT TT倍；—是—的二倍；二±2a是二±a的二倍。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 6 2 4o oo oo30 -\o"CurrentDocument"15=45-30=60-45= ;问：sin—= ;cos—= ;2 12 12口=(ct+P)_P；④土+a二工—二一口)；4 2 43T 3T\o"CurrentDocument"⑤2汽=(口+P)+(a-P)=(—+a)-(--a);等等4 4(2)函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。工3).一..童数代操二在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：2 2 2,2 o o1=sin:fos-=sec--tan-=tan其cot-=sin90=tan45(4)哥的变换：降哥是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降哥处理的方法。常用降哥公式有：;。降哥并非绝对，有时需要升哥，如对无理式j1+cosa常用升哥化为有理式，常用升哥公式有：；；(5)公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。上1tan 1Tan，如： = =;Tan 1tan工tanu+tanB=；1-tan«tanP=；tana-tanP=；1+tanatanP=；22tan«=；1-tana=；tan20o+tan400+73tan20otan40o=；sin口+cos«==；asin®+bcosu==；(其中tan=；)1+cosa=;1—co