2021一模解答题立体几何

【第一组】宝山

17.如图，在长方体A3CO-43cq中，T为。。।上一点，已知。T=2,A」B=4,BC=2,

A4,=6.

(1)求直线TC与平面A3CD所成角的大小(用反三角函数值表示)；

(2)求点C到平面4TC的距离.

【第二组】崇明

17.如图，已知A5J_平面BCD,BC±BD,直线AO与平面3CO所成的角为30°,

且AB=BC=2.

(1)求三棱锥A-88的体积；

(2)设M为8。的中点，求异面直线A。与。0所成角的大小.

(结果用反三角函数值表示)-4

【第三组】虹口

17.如图在三棱锥中，棱AB、AC、AP两两垂直，AB=AC=AP=3，点〃

在AP上，且AM=1.

（1）求异面直线8W和PC所成的角的大小;

（2）求三棱锥「一BMC的体积.

【第四组】普陀

19.某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯I、II供顾客乘用，如图，

一顾客自一楼点A处乘1到达二楼的点3处后，沿着二楼面上的圆弧3M逆时针步行至点

C处，且C为弧的中点，再乘II到达三楼的点。处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心

分别为。、。2,半径为8米，相邻楼层的间距AM=4米，两部电梯与楼面所成角的

大小均为arcsinL

3

（1）求此顾客在二楼面上步行的路程；

（2）求异面直线AB和CD所成角的大小.

（结果用反三角函数值表示）

【第五组】长宁

17.如图，已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，高为26，底面半径为2.

(1)求该圆锥的侧面积；

(2)设。4、05为该圆锥的底面半径，且NAOB=90。,

用为线段A3的中点，求直线与直线08所成的角

的正切值.

【第六组】徐汇

17.如图，在直三棱柱A8C—44G中，AC=BC=2,CC,=4,NACB=90。，E、

分别为棱44r45的中点.

（1）求异面直线AC与防所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求五棱锥C-EFBB]4的体积Vc_EFBB<Ai.孰

【第七组】闵行

17.如图，在圆柱。。中，A8是圆柱的母线，是圆柱的底面e0的直径，。是底面圆

周上异于3、C的点.

(1)求证：C£>_L平面ABD：

(2)若30=2,CD=4,AC=6,求圆柱0a的侧面积.

D

【第八组】青浦

17.如图，长方体A8C。一481cl□中，AB=A£>=1,44=2,点P为。。的中点.

(1)求证：直线3R〃平面B4C；

(2)求异面直线Bq与AP所成角的大小.

【第九组】嘉定

17.如图，正四棱柱ABC。—A4G。的底面边长为2,4。=4.

（1）求该正四棱柱的表面积和体积；

（2）求异面直线4。与AC所成角的大小.

（结果用反三角函数值表示）

【第十组】浦东

TT

17.如图，直三棱柱44G—A3C中，AB=AC=\,ZBAC=~,A.A=4,

点M为线段AA的中点.

（1）求直三棱柱44G—ABC的体积；

（2）求异面直线8W与5G所成的角的大小.

（结果用反三角表示）

【第十一组】杨浦

17.如图所示，在直三棱柱ABC-A4G中，底面是等腰直角三角形，24c8=90。,

CA=CB=CCi=2,点D、R分别是棱AC、的中点.

(1)求证：D、B、片、3四点共面；

(2)求直线BG与平面所成角的大小.

【第十二组】松江

17.如图1,在三棱柱ABC—44cl中，已知43_LAC,4?=AC=1,A4t=2且朋，

平面ABC,过4、£、3三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）.

（1）求异面直线Bq与A4所成角的大小（结果用反三角函数表示）；

（2）求四棱锥3-ACG4的体积和表面积.

【第十三组】金山

18.如图，在三棱锥P—ABC中，P4_L底面43C,△A5c是边长为2的正三角形,

侧棱PB与底面所成的角为三.

4

(1)求三棱锥P-ABC的体积V；

(2)若。为PB的中点，求异面直线必与8所成角的大小.

【第十四组】静安

12.如图所示，等腰梯形A8FE是由正方形4BC和两个全等的RtZ\FCB和Rt/SEDA组成,

AB=l,CV=2.现将RtZ\FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G,使二面角

E—5C-G的大小为60".

(1)求四棱锥G-A8CE的体积；

(2)求异面直线AE与BG所成角的大小.

【第十五组】黄浦

17.已知正方体ABCD-A.B.C.D,的棱长为4,点E是侧面CDD£的中心.

(1)联结A。，求三棱锥A-OER的体积匕L°EO,的数值；

(2)求异面直线AE与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

【第一组】

4V2T

17.(1)arctan—；(2)

27

【第二组】

17.⑴皑⑵3币

arccos----.

14

【第三组】

17.(1)arccos——；(2)3.

10

【第四组】

472-1

19.(1)2万；(2)arccos

9

【第五组】

17.(1)0尸_1_底面018,由题意得：高力=2百，底面半径厂=2,

二母线/=4,……2分

圆锥的侧面积S=L/r=1x2万x2x4=8万...........6分

22

(2)取的中点为N,为AB的中点，

MN//OB,NPMN就是直线AW与直线Q3所成的角，……8分

VOB±OA,OBLOP,

二平面PQ4,MNJ_平面PQ4,MNVPN,……10分

在中，PN=J/+(,2=岳,MN=^OB=\,……12分

...NPMN的正切值为V13,

即直线尸M与直线08所成的角正切值为...........14分

【第六组】

V3014

17.(1)arccos~~6~；(2)T

【第七组】

17.(1)略；⑵8&.

【第八组】

17.(1)证明：设AC和6。交于点。，则。为8。的中点，

连结PO,又：尸是。，的中点，,PO〃8R,

又：POu平面Q4C,平面B4C,...直线3'〃平面B4C.

(2)由(1)知：PO//BD,,

...异面直线BDi与AP所成的角就等于PO与AP所成的角，ZAPO即为所求,

,:PA=PC=C,40=¥。=冬目/0,40,

①

An、\

：.sinZAPO=—=与=一，AZAPO=30°,

APV22

TT

即异面直线B1与AP所成角的大小为看.

【第九组】

17.(1)S表=8+16百，V=8x/3；(2)arccos^.

【第十组】

回

17.(1)2；(2)arccos----.

10

【第十一组】

17.(1)证明：•.•点。、口分别是棱AC、AG的中点，2分

CC,//BB「：.DD\〃BB[,……4分

:.D、B、3四点共面..........6分

(2)作,垂足为F,……8分

:BB]±平面A4G,GF平面44G,

直线，直线GF,

•••_L直线BR且BB]与BR相交于用，

...直线C/J■平面03AA，……10分

...即NC0尸为直线BCX与平面03与。所成的角，……12分

在RtZ\GBR中，BCt=2>/2,GF=警，sinNCfF=等，

直线8G与平面08AA所成的角为arcsin等..........14分

【第十二组】

17.(1)：A4〃CG，NB£C即为异面直线BG与AA所成的角，……2分

;A4)±平面ABC,：.CC,1平面ABC,：.NC】CB=90°,

*/CB=JAB?+AC?=Vl+T=0,CCt=2,......5分

V2J2

tanZCjCB=ZQCB=arctan,

5[7

即异面直线BC]与AA]所成的角为arctanarcsinarccos........7分

(2)^-4CCA=--l-22=-,……10分

S全=Sy/BAC+SvBA41+Sv/M]G+SvBC'C+^CAA^

=1.1，14-1.1.24-1.1.V572-2+1-2=-+1+—+V24-2

222222

=—+V2+-^-........14分

22

【第十三组】

18.解：（1）・.・B4_L底面ABC,

71

.•.NP84为侧棱P6与底面所成的角，即NP8A=L,........................2分

4

：.PA=AB=2.

又S=Lx2x2xsin工=百，..................4分

23

故丫=>Sh=Lx6义2=^~,................................6分

333

即三棱锥P-A6C的体积为平；.................7分

（2）取AB中点E,连结O£,CE,则O£〃Q4,

NCDE就是异面直线PA与CO所成的角（或其补角）,9分

CE=M,DE=-PA=l.

2

因为PA，底面ABC,底面ABC.

CEr-

在直角三角形CDE中,tanZCDE=匕=G,

DE

JT

所以NCDE=—,..........13分

3

IT

所以异面直线与CD所成角的大小为14分

3

【第十四组】

12.

解：（1）由已知，有GCLBC,EC_