代数运算的同态和同构

代数运算的同态和同构第1页，课件共46页，创作于2023年2月21-4运算性质

定义设∘

为S上的二元运算,(1)如果对于任意的x,yS有

x∘

y=y∘

x,

则称运算在S上满足交换律.(2)如果对于任意的x,y,z∈S有

(x∘

y)∘

z=x∘

(y

∘

z),

则称运算在S上满足结合律.

(3)如果对于任意的x∈S有

x

∘

x=x,

则称运算在S上满足幂等律.第2页，课件共46页，创作于2023年2月3实例分析Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为A上A，|A|2.集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+有有无普通乘法有有无Mn(R)矩阵加法+有有无矩阵乘法无有无P(B)并有有有交有有有相对补无无无对称差有有无AA函数符合无有无第3页，课件共46页，创作于2023年2月4二元运算的性质（续）

定义设∘

和∗为S上两个不同的二元运算,(1)如果

x,y,z∈S有(x∗y)∘

z=(x∘

z)∗(y∘

z)

z∘(x∗y)=(z∘

x)∗(z∘

y)则称∘

运算对∗运算满足分配律.

第4页，课件共46页，创作于2023年2月5实例分析集合运算分配律

Z,Q,R普通加法+与乘法对+可分配+对不分配Mn(R)矩阵加法+与乘法对+可分配+对不分配P(B)并与交对可分配对可分配交与对称差对可分配对不分配Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为A上A，|A|2.第5页，课件共46页，创作于2023年2月

补充题第6页，课件共46页，创作于2023年2月第7页，课件共46页，创作于2023年2月目录复习代数运算及运算律11.8同态、同构2

1.9同态、同构3第8页，课件共46页，创作于2023年2月代数交换律结合律单位元逆元<Z,+>0x1=x<Z,×>11，-1可逆<R,+>0x1=x<R,×>1x1

是x的倒数(0无逆元<Mn(R),+>0x1=x<Mn(R),*>×Ex可逆时<P(S),∪>的逆元为<P(S),∩>SS的逆元为S<{0,1,…,n-1},

>001=0,x1=nx<{0,1,…,n-1},⊙>1<S(A),>恒等变换第9页，课件共46页，创作于2023年2月练习题判断下列定义在有理数集合上的代数运算是否适合结合律、交换律？第10页，课件共46页，创作于2023年2月1问题的提出

结合律和交换律是只同一种代数运算发生关系,而分配律是同两种代数运算发生关系的一种规律.1.6与两种代数运算发生关系的运算律

——分配律第11页，课件共46页，创作于2023年2月2第一(左)分配律第12页，课件共46页，创作于2023年2月

Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合，n2；P(S)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2.

集合运算分配律

Z,Q,R普通加法+与乘法对+可分配+对不分配

Mn(R)矩阵加法+与乘法对+可分配+对不分配

P(S)并∪与交∩

∪对∩可分配∩对∪可分配

交∩与对称差

∩对可分配

例题第13页，课件共46页，创作于2023年2月第14页，课件共46页，创作于2023年2月3第二(右)分配律第15页，课件共46页，创作于2023年2月定理2第16页，课件共46页，创作于2023年2月与代数运算发生关系的映射

—同态映射（8-9节）第17页，课件共46页，创作于2023年2月1同态映射2同态满射3同构映射4自同构映射5举例第18页，课件共46页，创作于2023年2月1.最初的思想如何比较两个代数系统?回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应后可以重合.我们比较两个代数系统和.

第一,我们需要一个映射;

第二,这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.具体的说,假如和是的两个元,那么和都有意义,都是的元.保持运算即下面等式成立:第19页，课件共46页，创作于2023年2月上面的等式即:换一种表示，假定在之下的像，第20页，课件共46页，创作于2023年2月第21页，课件共46页，创作于2023年2月2同态映射与性质注:同态映射简称为态射.＝{所有整数},的代数运算是普通加法.,的代数运算是普通乘法.定义1

一个到的映射称为对于代数运算和的同态映射,假如,,都有:定义与例子第22页，课件共46页，创作于2023年2月例1证明

(是的任一元)是一个到的同态映射.证明……例2:

,若是偶数

,若是奇数

证明:是一个到的满射的同态映射.证明:显然,是到的满射.对于的任意两个整数和来说,分三种情况:(1)若,都是偶数,那么也是偶数

,,所以,(2)若,都是奇数……(3)若和奇偶性相反,……….第23页，课件共46页，创作于2023年2月例3:(是的任一元)固然是一个到的映射,但不是同态映射.因为,对于任意的和来说,第24页，课件共46页，创作于2023年2月定义2(1)单同态:同态+单射(2)满同态:(3)同构映射:进一步的定义第25页，课件共46页，创作于2023年2月性质1

设是三个代数系统,并且

是两个同态映射(单同态、满同态、同构映射).那么,

仍然是同态映射(单同态、满同态、同构映射)性质第26页，课件共46页，创作于2023年2月性质2设是一个同构.那么，也是一个同构.证明:(1)是双射(2)保持运算.看一个关键等式第27页，课件共46页，创作于2023年2月性质1

（1）反身性:

（2）传递性:

注:对称性不成立3同态的代数系统定义和是两个代数系统,如果存在一个到的同态满射,就称和同态.记号:第28页，课件共46页，创作于2023年2月5举例例3例2例1第29页，课件共46页，创作于2023年2月4可单向传递的性质定理1

假定,对于代数运算和来说,到同态.那么,（1）若适合结合律,也适合结合律；（2）若适合交换律,也适合交换律.第30页，课件共46页，创作于2023年2月于是证明我们用来表示到的同态满射.

（1）假定是的任意三个元.由于是同态满射,我们在里至少找得出三个元,,来,使得在之下,(2)同学们按照上面的方法,给出证明.

注:这种通过同态映射过渡的方法在证明具有一般性第31页，课件共46页，创作于2023年2月定理2

假定,都是集合的代数运算,都是集合的代数运算,并且存在一个到的满射,使得与对于代数运算来说同态,对于代数运算来说也同态.那么

(1)若适合第一分配律,也适合第一分配律.(2)若适合第二分配律,也适合第二分配律.证明……注:,由的性质可以推出具有同样的性质;反过来不成立.第32页，课件共46页，创作于2023年2月5同构的代数系统及其意义定义定义和是两个代数系统,如果存在一个到的同构映射,就称和同态.记号:自同态、自同构的概念可以自然的给出，同学们自己做。第33页，课件共46页，创作于2023年2月同构的代数系统意味什么例1

,

．012012

120201345345345453534012各是与的代数运算与的表．请比较两个运算表,方向异同之处?第34页，课件共46页，创作于2023年2月在A的运算表,进行变换:

变成了什么?．它们可以用统一成为一个运算表……..第35页，课件共46页，创作于2023年2月

同构的两个代数系统由运算所带来的规律性是相同的,因此,同构的两个代数系统尽管可能有这样或那样的差别,但从近世代数的宗旨来看,我们自然认为:它们的差别是表面上的,次要的,而它们的共同点——运算所体现的规律性则是本质的,主要的.于是,我们需要阐明近世代数的观点是