第一章集合与常用逻辑用语1 3基本运算课时2全集补集

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集合的基本运算课时2 全集与补集学习目标理解全集、补集的概念.（数学抽象）准确使用补集符号和<>m

Venn

/<>m

图.（直观想象）会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题.（数学运算）自主预习·悟新知合作探究·提素养随堂检测·精评价1.已知<>m𝐴={1,3,4,5}/<>m

，<>m𝐵={2,4,6}/<>m

，求<>m𝐴∩𝐵/<>m

，<>m𝐴∪𝐵/<>m

.[答案]

<>m𝐴

∩

𝐵

=

{4}/<>m

，

<>m𝐴

∪

𝐵

=

{1,2,3,4,5,6}/<>m

.2.设𝐴m><

=

{奇数}m></

，

𝐵m><

=

{偶数}m></

，求𝐴m><

∩

𝐵m></

，

𝐴m><

∪

𝐵m></

.[答案]

𝐴m><

∩

𝐵

=

⌀m></

，

𝐴m><

∪

𝐵

=

{整数}m></

.ଶ3.方程<>m

𝑥

−

2

𝑥 −3=0/<>m

在有理数范围内的解是什么？在实数范围内的解是什么？[答案]

在有理数范围内的解是<>m{2}/<>m

，在无理数范围内的解是<>m{2, 3,

−

3}m></

.3,

−

3}/<>m

，则用集合<>m𝐴/<>m

，

<>m𝑈/<>m

怎么表示出集合<>m𝐵

=

{ 3,

−

3}/<>m

？4.若<>m𝐴={2}/<>m

，<>m𝑈={2,[答案]

<>m∁௎𝐴

=

𝐵/<>m

.1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）全集是由任何元素组成的集合.(

×

)不同的集合在同一个全集中的补集也不同.(

√

)集合∁஻𝐶与∁஺𝐶

相等.(

×

)集合𝐴

与集合𝐴

在全集𝑈

中的补集没有公共元素.(

√

)D.

{0,1}2.已知全集𝑈

=

{0,1,2}

，且∁௎𝐴

=

{2}

，则𝐴

=

(

9@@

D

).A.

{0}

B.

{1}

C.

⌀[解析]

根据补集定义可知D正确.若全集𝑈={1,2,3,4}

，集合𝑀={1,2}

，𝑁={2,3}

，则∁௎

𝑀∪𝑁{1,2,3}

B.

{2}

C.

{1,3,4}=

(

11@@

D

).D.

{4}[解析]

∵集合𝑀

=

{1,2}

，

𝑁

=

{2,3}

，

∴

𝑀

∪𝑁

=

{1,2,3}

，又全集𝑈

=

{1,2,3,4}

，∴∁௎

𝑀∪𝑁

={4}

.故选D.4.设全集为𝑈

，

𝑀

=

{1,2}

，

∁௎𝑀

=

{3}

，则𝑈

=

{1,2,3}m<>

m></

.[解析]

𝑈

=

𝑀∪

∁௎𝑀 =

{1,2}

∪{3}

=

{1,2,3}

.探究1

补集观察下列三个集合：<>m𝑆={𝑥∣𝑥是高一年级的同学}/<>m

，<>m𝐴={𝑥∣𝑥是高一年级参加军训的同学}/<>m

，<>m𝐵={𝑥∣𝑥是高一年级没有参加军训的同学}/<>m

.问题1：.如何确定高一年级的同学中谁参加了军训？[答案]

如果我们直接去统计张三、李四、王五等人谁参加了军训，这样做可就麻烦多了．若确定出没有参加军训的同学，则剩下的同学就都参加了军训，问题可就简单多了.问题2：.集合<>m𝑆/<>m

与集合<>m𝐴/<>m

，<>m𝐵/<>m

之间有什么关系？[答案]

<>m𝐴

∪𝐵

=

𝑆/<>m

.问题3：.如何在全集<>m𝑆/<>m

中研究相关集合<>m𝐴/<>m

和<>m𝐵/<>m

之间的关系呢？[答案]

由所有属于集合<>m𝑆/<>m

但不属于集合<>m𝐴/<>m

的元素组成的集合就是集合<>m𝐵/<>m

.新知生成1.全集定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的

所有元素

，那么就称这个集合为全集.符号表示：全集通常记作

<>m𝑈/<>m

.2.补集（1）

文字语言：对于一个集合𝐴

，由全集𝑈

中

不属于集合<>m𝐴/<>m

的所有元素组成的集合<>m∁௎𝐴/><m称为集合𝐴

相对于全集𝑈

的补集，简称为集合𝐴

的补集，记作

.（2）

符号语言：

∁௎𝐴

=

{𝑥|

><m𝑥

∈

𝑈/<>m

,且<>m𝑥

∉

𝐴/<>m

}

.（3）图形语言：（4）

性质：①∁௎𝐴⊆𝑈

；②

∁௎𝑈

=

，

∁௎⌀

=

；③

∁௎

∁௎𝐴④

𝐴∪

∁௎𝐴

m<>⌀m<>/

><m𝑈/><m

=

<>m𝐴/<>m

；=

<>m𝑈/<>m

，

𝐴∩

∁௎𝐴=

<>m⌀/<>m

.新知运用例1（1）

已知全集𝑈={1,2,3,4,5}

，𝐴={1,3}

，则∁௎𝐴=(28@@

C

).A.

⌀

B.

{1,3}

C.

{2,4,5}

D.

{1,2,3,4,5}[解析]

因为全集𝑈

=

{1,2,3,4,5}

，

𝐴

=

{1,3}

，所以根据补集的定义得∁௎𝐴

=

{2,4,5}

.（2）

已知全集𝑈=𝐑

，集合𝐴={𝑥|−1<𝑥<4}，𝐵={𝑥|0<𝑥<5}，则𝐴∩∁௎𝐵=

<>m{𝑥|

−

1

<

𝑥

≤

0}/<>m

.={𝑥−1<𝑥<4}∩{𝑥

𝑥≤0

或[解析]

因为∁௎𝐵

=

{𝑥|𝑥

≤

0

或𝑥

≥

5}

，所以𝐴∩

∁௎𝐵𝑥

≥

5}

=

{𝑥|

−

1

<

𝑥

≤

0}

.方法总结 补集的求解步骤及方法步骤：①确定全集，在进行补集的简单运算时，应首先明确全集；②紧扣定义求解补集.方法：①借助<>m

Venn

/<>m

图或数轴求解；②借助补集的性质求解.A.

{𝑥|

−

2

≤

𝑥

≤

2}C.{𝑥|𝑥<−2

或𝑥

൐

2}B.

{𝑥|

−

2

<

𝑥

<

2}D.

{𝑥|𝑥≤−2

或𝑥≥2}1.设集合𝑈

=

𝐑

，

𝑀

=

{𝑥|𝑥

൐

2

或𝑥

<

−2}

，则∁௎𝑀

=

(

32@@

A

).[解析]

如图，在数轴上表示出集合𝑀

，可知∁௎𝑀

=

{𝑥|

−

2

≤

𝑥

≤

2}

.2.设集合𝑀

=

{𝑥|−1

≤

𝑥

<

2}

，

𝑁

=

{𝑥|𝑥

−𝑘

≤

0}

，若∁𝐑𝑀

⊇

∁𝐑𝑁

，则实数𝑘

的取值范围是

<>m{𝑘|𝑘

≥

2}/<>m

.[解析]

由∁𝐑𝑀

⊇

∁𝐑𝑁

可知，

𝑀

⊆

𝑁

，则实数𝑘

的取值范围为{𝑘|𝑘

≥

2}

.探究2

集合并、交、补集的综合运算某城镇有1000户居民，其中819户有彩电，682户有空调，535户两种家电都有.设这

1000户居民组成的集合为全集<>m𝑈/<>m

，其中有彩电的居民组成的集合为<>m𝐴/<>m

，有空调的居民组成的集合为B.请用集合表示出下列问题，并回答各有多少户.问题1：.既有彩电又有空调的居民.[答案]

既有彩电又有空调的居民组成的集合为<>m𝐴∩

𝐵/<>m

，有535户.问题2：.彩电和空调至少有一种的居民.[答案]

彩电和空调至少有一种的居民组成的集合为<>m𝐴∪

𝐵/<>m

，有<>m819

+

682

−

535

=

966/<>m

户.问题3：.有彩电无空调的居民./><m

，有<>m819−535=284/<>m

户./><m

，有<>m682−535=147/<>m

户.[答案]

有彩电无空调的居民组成的集合为<>m∁஺

𝐴∩

𝐵问题4：.有空调无彩电的居民.[答案]

有空调无彩电的居民组成的集合为<>m∁஻

𝐴∩

𝐵问题5：.无空调无彩电的居民.[答案]

无空调无彩电的居民组成的集合为<>m∁௎

𝐴∪

𝐵/><m

，有<>m1000−966=34/<>m

户.新知生成设集合<>m𝑈/<>m

为全集，集合<>m𝐴/<>m

，<>m𝐵/<>m

是集合<>m𝑈/<>m

的子集，则（1）

∁௎m><

𝐴∩

𝐵

=

∁௎𝐴

∪

∁௎𝐵

/<>m

；（2）

∁௎m><

𝐴∪

𝐵

=

∁௎𝐴

∩

∁௎𝐵

/<>m

.新知运用例2（1）

已知全集𝑈

=

{1,2,3,4,5,6}

，

𝑃

=

{2,3,4}

，

𝑄

=

{4,5,6}

，则集合

∁௎𝑃 ∪𝑄

=(

@@14

D

).A.

{5,6}

B.

{1,5,6}

C.

{1,2,3,4}

D.

{1,4,5,6}[解析]

∁௎𝑃

=

{1,5,6}

，

∁௎𝑃 ∪

𝑄

=

{1,4,5,6}

.故选D.（2）

设集合𝐴

=

{𝑥|

−

1

<

𝑥

≤

1}

，

𝐵

=

{−1,0,1,2,3}

，则

∁ோ𝐴 ∩

𝐵

=

(

43@@

C

).A.

{−1,1,2}

B.

{1,2,3}

C.

{−1,2,3}

D.

{−1,1,2,3}[解析]

因为𝐴

=

{𝑥|

−

1

<

𝑥

≤

1}

，所以∁𝐑𝐴

=

{𝑥|𝑥

≤

−1

或𝑥

>

1}

.因为𝐵={−1,0,1,2,3}

，所以

∁ோ𝐴 ∩

𝐵

=

{−1,2,3}

，故选C.方法总结 解决集合的混合运算问题时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限混合运算可借助<>m

Venn

/<>m

图求解，与不等式有关的集合运算可借助数轴求解.若全集𝑈

=

{1,2,3,4}

，集合𝑀

=

{1,2}

，

𝑁

=

{2,3}

，则𝑀

∪∁௎𝑁

=

(

45@@

C

).A.

{1,2,3}

B.

{1,3,4}

C.

{1,2,4}

D.

{1,2,3,4}[解析]

∵全集𝑈

=

{1,2,3,4}

，

𝑁

=

{2,3}

，∴

∁௎𝑁

=

{1,4}

，又𝑀

=

{1,2}

，

∴

𝑀

∪∁௎𝑁

={1,2,4}

.故选C.已知集合𝐴

=

{𝑥|𝑥

≤

1}

，

𝐵

=

{𝑥|

−1

<

𝑥

<

2}

，则

∁ோ𝐴 ∩

𝐵

=

(

@@74

A

).A.

{𝑥|1

<

𝑥

<

2}

B.

{𝑥|𝑥

>

1}

C.

{𝑥|1

≤

𝑥

<

2}

D.

{𝑥|𝑥

≥

1}[解析]

因为集合𝐴

=

{𝑥|𝑥

≤

1}

，所以∁𝐑𝐴

=

{𝑥|𝑥

>

1}

，则

∁ோ𝐴 ∩𝐵

=

{𝑥|1

<

𝑥

<

2}

.A.

{2,4}

B.

{0,1,3,5}

C.

{1,3,5,6}D.

{𝑥

∈

𝐍∗|𝑥

≤

6}1.设集合𝐴

=

{𝑥

∈

𝐍∗|𝑥

≤

6}

，

𝐵

=

{2,4}

，则∁஺𝐵

等于(

C

).49@@[解析]

因为𝐴

=

{𝑥

∈

𝐍∗|𝑥

≤

6}

=

{1,2,3,4,5,6}

，

𝐵

=

{2,4}

，所以∁஺𝐵

=

{1,3,5,6}

.故选C.C.

<>m{1,2}/<>mD.

<>m{1,2,3}/<>m2.已知集合𝑈

，

𝐴

，

𝐵

及集合间的关系如图所示，则

∁௎𝐵 ∩

𝐴

等于(

51@@

C

).A.

<>m{3}/<>