2020-2022年全国新高考导数说题

辕

目录

1.本单元在近三年来全国高考新课标I卷中考查情况统计分析:

2.本单元命题材料的来源及新颖性分析；

3.本单元试题特点；

4.本单元明年全国高考新课标I卷预测（重点、新题型）；

5.本单元的典型试题类型及解题方法、策略分析。

一.本单元在近三年来全国高考新课标I卷中考直情况统计分析

题考分傕老布乐钥点唐在修山素舞睢度

2020年21幽12哥数的几何爸义以房利用当教碉教孽油袋、教学迄第、推

究不篝式位成立的向睡。击双根或

2021年7题5导教的几句爸义中

2021年15题5分密色教、色教贵鱼以笈利用导教孽这算中

教碉究必敢的展傕

2021年22巡12利用寻敢碉究备莪的单调傕教孽已算、血妮和.象、雨

修城施理

2022年7题5就对徐莪；tJ就袋.教孽油袋、教学运算推

2022年10题5三汉5敢传欣教孽迄第、击观程寥中

2022年12短5备数傕场：腐.备敢会.我哥南教的教学油容、教学运算、雄

奇儡傕、对物傕、周期傕、5教击双勾£,修殖施理

求傕

2022年15巡5身莪的儿句卷义人观想象

2022年22题12雄

-本专题历年高考数学全国卷I考查情况分析

2.考查情况统计分析

从选择题、填空题来分析导数章节的难度提高，从知识点上来说导数的几

何意义每年必考，导数与不等式、导数与零点、导数与抽象函数等知识出现的

频率比较高.

从命题背景看，多以基本初等函数的和、差、积、商或复合后构成的函数

为背景，所以为了考查学生的审题能力和应变能力以及数学抽象等数学素养，

高考题经常在函数式上进行创新，

二、本单元在全国高考新课标I卷中的地位和作用

导数是研究函数的图象和性质的最有利工具，同时它也是初等数

学和高等数学的重要衔接点，所以是高考考查的热点和重点.从前面的

分析可以看出，导数及其应用的解答题一般为“压轴题％具有综合性

强，难度大，区分度高等特点，彰显了高考的选拔功能.

送侦巡分析：

•第一类：导数的几何意义

1、（2021年第7题）若过点（外方）可以作曲线有=心的两条切线，则（）

A.<aB.<bC.0<a<ebD.0<b<ea

本题主要考查导数的几何意义以及利用导数的单调性研究函数图像，充分体现了

数学运算和直观想象两大学科核心素养，属于中档题目。本题母题来自选择性必

修二的81页综合运用第8题

【解析】

法一：在曲线y="上任取一点尸«,，)，对函数"求导得y=e',

所以，曲线”/在点P处的切线方程为歹--=/(%一),即片/x+(l_)

由题意可知，点(a力)在直线V=eG+(lT)/上,可得

b=ae'+(lT)e'=(a+l7)e'，

令/(%)=(a+lT)e'，则/'(f)=(aT)e’.

当/<a时，/(/)>0,此时函数/⑺单调递增，

当Z>a时，/(/)<0,此时函数/⑺单调递减，

所以，〃儿"(»，

a

由题意可知，直线y=6与曲线歹=/(。的图象有两个交点，贝必〈/("max9

当/<a+l时，/(/)>0,当/>a+l时，/(/)<0,作出函数/«)的图象如下图

所示:

法二：

函数歹=e*是增函数，V=e，＞0恒成立，

函数的图象如图，＞0,即取得坐标在x轴上方，

如果（“力）在x轴下方，连线的斜率小于0,不成立.

点（凡匕）在x轴或下方时，只有一条切线.

如果（凡））在曲线上，只有一条切线；

（〃/）在曲线上侧，没有切线；

由图象可知（。,6）在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知

故选：D.

2、(2022•新高考I卷T15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a

的取值范围是.

【分析】此题考查导数的几何意义，充分体现了数学运算核心素养，属于中档题。

【解析】Vy=(x+a)ex,y'=(x+1+a)ex,

设切点为(/,汽)，则K=(%+a)e“，切线斜率上=(x°+1+a)e*。，

切线方程为：+a)e*=(/+l+a)e、。(x-%o),

•・•切线过原点，・••-(%()+a)e殉=(/+l+a)e*。(—/),

整理得：x1+ax0-a=0,

•・•切线有两条，:.A=a?+4a>0,解得a<-4或。>0,

•工。的取值范围是(-力,-4)U(0,+8),

故答案为：4)U(0,+ao)

3.(2022•新高考I卷T12)已知函数"X)及其导函数/'(X)的定义域均为R,记

<3、

g(x)=f\x),若/--2x,g(2+x)均为偶函数,则()

(n

A./(o)=0B.g---oc./(-I)=/(4)D.g(-l)=g(2)

【分析】本题主要考查函数的对称性，以及原函数与导函数图像的关系。充分体

现了逻辑推理和只管想象的数学素养。本题属于难题，来源于选择性必修一103

页第3题。

【解析】因为/g(2+x)均为偶函数,

所以g(2+x)=g(2-x),

k27即41■-

所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),贝U/(-1)=/(4),故C正确;

3

函数f(x),g(x)的图象分别关于直线x=-,x=2对称,

又g(x)=/'(x),且函数/(x)可导,

r3、、，、

所以g—=o,g(3-x)=-g(x),

t2)

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x)，

ciAr3、

所以g--=g-=0，g(-1)=g(l)=-g(2),故B正确，D错误;

IZ)k27

若函数”x)满足题设条件，则函数/(X)+C为常数)也满足题设条件，所以

无法确定/•(、)的函数值，故A错误.

故选：BC.

变式：已知函数/(x)及其导函数/'(%)的定义域均为R,记g。)=/'(/),若

/(3-幻,8以-幻均为奇函数，贝！J

4/⑶=0.8g(3)=0C/(3=心。£(5)=—g(8)

第二荚：利用导教竭究加故的单调传

4.(2020年12题)信息燧是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能

的取值为1,2,...,n,且P(X=i)=p»>0(i=1,2,...,n),£p『=l,定义X的

1=1

信息嫡”(X)=-£pJog2p『•()

1=1

A.若”1,则H(X)=0

B.若"=2,则H(X)随着0的增大而增大

C.若p,」(z=l,2,n),则H(X)随着〃的增大而增大

n

D.若〃=2加，随机变量丫所有可能的取值为1,2,加，且

P(y=))=Pj+R2m+irU=l，2，…，加)，则H(X)WHG)

【分析】本题主要考查对数运算和利用导数判断函数的单调性，充分体现了数学

抽象、数学运算的数学核心素养，属于中档题。

【解析】：/.若〃=1,贝!16=1,故77(x)=-pilog2P1=-1xlog21=0,故/正确;

B.若〃=2,贝！]Pi+P2=1，

lo

〃(切=一(Pllog2Pl+Pllog?P2)=-\P\g2Pl+(1-Pl)log2(l-Pl)]

l

设〃p)=-IP°g2p+。-p)iog2。-P)]，。<p<1，

贝Uf'(P)=~1log2p+J-------log2(\-p)+(1-p)«-——]=-log2，

ln2・p(1-p)lnl1-P

令1(p)<o，解得L<P<1,此时函数/(p)单调递减，

令1(p)>o，解得0<P<；，此时函数/(P)单调递增，故8错误；

c.若P,=L(i=1,2,…，〃)，贝!J"(x)=-〃・L/og2L=，0g2〃，

nnn

由对数函数的单调性可知，H(x)随着〃的增大而增大，故C正确；

D.依题意知，P(y=l)=Pi+P2m，P"=2)=02+02*1，

尸(？=3)=。3+P2*2，…，尸(Y=m)=Rm+Pm+1，

+10

"(F)=-[(Pl+P2m)l°g2(Pl+P2m)+5r2m-1)g2(P2+PzmQ

+…+(Pm+Pm+l)10g2(Pm+Pm+1)]，

lolo

又"(X)=-(P1log2Pl+02log2P2+…+Pmg2Pm+…+P2mg2Pim)»

H(Y)-"(X)=p.log1—拉——+p2log1--------------+...+Pz/ogz―勺—

Pl+PimPl+Plm-XPl+Pim

又------<1,---------------<1,...,———<1,

Pl+Pin.Pl+P2m-1P\+P2M

H(Y)-H(X)<0,>H(Y),故。错误.故选：AC

5.(2022年第7题)设a=0.1e°i,b=-,c=-ln0.9,则()

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【分析】：本题主要考查指数不等式、对数不等式和利用导数判断函数的单调性,

充分体现了数学抽象、数学运算的数学核心素养。属于难题。来源于课本必修一

133页例3.

【解析】：三个实数分别以指数式、分数、对数式形式出现，其中［为分数形式

9

最为简单。在注意到敏感数字0.1,故将三个数用0.1来表示得：

b=-=—!—=-0'1-,C=-In0.9=-ln(l-0.1).

910-11-0.1

法一：构造函数/(%)=xe*,g(x)=」一,〃(x)=-ln(l-x)两两作差，通过函数的单

1—X

调性，来比较三个数的大小。

法二：由不等式1之工+1(%<0)得a=0.1e°」=卑<旦一=1=方，即a<b.

e-011-0.19

接下来比较a与c的大小。构造函数

m(x)=/(x)-//(x)=xex+ln(1-x),xe(0,0.1),

由不等式e1>x+1(0<x<0.1),得

m(x)=xe，+ln(l—x)>x(x+1)+ln(x+1)

，,、0,1x(l-2x)八

m(x)>2x+1----------=------------------->0,

1-x1-x

m(x)在(0,0.1)上单调递增，所以m(0.1)>m(0)

即a-c>0,得a>c.

综上，b>a>c.

变式：设a=2比1.01,b=ln\.Q2,c=VL04-1,贝!f()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【解析】:va=2/M1,01=/wl.0201,b=lnl.02,:.a>bf

令f(x)-2/〃Q+x)-(Jl+4x-1),0<x<1,

令Jl+4x=t,贝［|1<f<指x=--—,

*+3

g(Z)=2ln(---)一/+1=2ln(t2+3)-t+1-21n4,

4

・•.gv)=&-1=*工3=_a：}”>0,.g(/)在(i,⑹上单调递增，

g(t)>g(1)=2加4-1+2加4=0，/(x)>0,:.a>cf

同理令h(x)=Zw(l+2x)-(Jl+4x-1),

再令Jl+4x=t,贝！11cze不x=--—,

尸+1、

/.(p(t)=Zw(----)-/+1=Zw(/2+1)-/+1-ln2,

夕'(Z)=£-1=二(㈢:<0,(pQ)在(1,5上单调递减，

/+1t+1

/.(p(t}<(p(1)=ln2-1+1-ln2=0,h(x)<0,:.c>b,a>c>b.故选：B.

第三至：利用当教的究备教的展色

6.(2021年第15题).函数/(x)=|2x-1|-2/加的最小值为—

【分析】本题主要考查分段函数的定义，函数的最值以及利用导数研

究函数的最值，充分体现了数学运算素养。此题属于中档题。

【解析】：函数f(x)=\2x-l\-2lnx的定义域为(0,+功.

当0cx时，f(x)2x-11-2lnx--2x+1-2lnx,

此时函数/(x)在(0,自上为减函数，

所以/(x)kg)=—2X；+1—2加;=2勿2；

当x>；时，/(x)=|2A:-11-2lnx=2x-1—2lnx,

贝！I八x)=2—2=生出，

XX

当xwg,1)时，r(X)<0,/(x)单调递减，

当xe(L+oo)时，f'(x)>0,/(x)单调递增，

.•.当x=l时/(刈取得最小值为/(1)=2x1-1-2历11.

2ln2=历4>Ine=1,

函数f(x)=\2x-]\-2lnx的最小值为1.

故答案为：1.

第四米：利用寻教弱究三唬徐敢的传屈

7.(2022年第10题)已知函数/(x)=d—x+1,则()

A./㈤有两个极值点B,/㈤有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线、=/(%)的切线

【分析】本次主要考查导数的几何意义、函数零点，函

数极值点的定义以及三次函数的对称性。充分体现了数

学运算素养，属于中档题。

【解析】由题，/'（x）=3x2-1,令/，（x）>0得x>乎或x<-乎，

令广（x）<0得-迈<x<迈，

33

所以/（X）在（_卓，乎）上单调递减，在（_00,_乎），（乎，+8）上单调递增，

所以x=士五是极值点，故A正确；

3

因/（一§=1+0,/（乎）=I_0,/（-2）=-5<0,

所以，函数/0）在-8,一兴）上有一个零点，

当x2李时，/@）2/［乎）>0,即函数/（x）在（乎，+8上无零点，

综一上所述，函数了⑺有一个零点，故B错误；

令方（x）=l_x,该函数的定义域为R,A（-X）=（-X）3-（-x）=-x1+x=-/i（x）,

则A（x）是奇函数，（0,0）是〃（x）的对称中心，

将人（x）的图象向一匕移动一个单位得到“工）的图象，

所以点（0,1）是曲线y=/（X）的对称中心，故C正确；

令尸（x）=3x2_1=2,可得》=±1,又/Q）=/（-i）=i,

当切点为（1/）时，切线方程为V=2x-1,当切点为（-1,1）时，切线方程为P=2x+3

故D错误.

故选：AC

2020年高考数学一卷21题

(12分)已知函数/(1)=a/-I-Inx+In<7

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(l))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若f(x)N1,求a的取值范围.

2021年新高考1卷：《

22.已知函数/(x)=Wl一碗)；

(1)讨论/(“)的单调性；白!

2<-+-<e

(2)设明方为两个不相等的正数，且bbia-alnb=a-b,证明：ab.<；

(2022年22题)已知函数/(x)=D--和g(x)=»-lux有相同的最小值.8

⑴求a；Q

(2)证明：存在直线了=如其与两条曲线P=/(K)和y=g(x)共有三个不同的交

点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.小

纵观新高考1卷导数解答题近三年的考查，2020年出现在第21题，考查

切线、不等式慎成立求参数范围；2021年作为最后一题22题，考查函数的单

调性，极值点偏移等；2022年作为最后一题压轴出现，考查函数的单调性，最

值，零点，图像交点个数等,通观三年的导数解答考查，考查内容都是平时所授

内容，但是里面蕴藏着构造、转化、数学结合、分类讨论等思想，难度较大，

体现了数学运算、逻辑推理、数学抽象、数学建模、数据分析等核心素养.e

2020年高考数学一卷21题

(12分)己知函数/(x)=a-Inx+In。

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(l))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)21,求a的取值范围.

方法一：利用两个课本中的不等式解答高考试题，通过例题，学习的重点是利用这两个不等式进

行放缩，去解决证明求参问题。利用解答这类不等式的经验和技巧，下面的解答思路水到渠成！

解：因为a>0,,33x,所以a,'"-Inx+lna之axTnx+lna,所以若f(x)21,则有ax之Inx-lna+1,设

J_=乂〃=1

y=lnxTna+l的过原点的切线的切点为(丫，y),则有《vy解得|丫0=1所以要使f(x)

«/vuJQ人0人0✓vu

=1

乂=比居一出〃+1[yQ

21成立的a的取值范围是[1,+s).

方法二：利用公切线确定参数范围。掌握了该种题型的解答策略，本题可以使用公切线法确定参

数范围！

解：f(x)21Oae'-i-lNln耳二]照,令m(x)=ae'T+]Ra，n(x)=]nx+l,根据两函数的凹凸性,当两个函数

--[i

有公切点时，设切点为(X。，％)，则有，Xo解得《]。二=所以要使f(x)21成立的a

屋x『+lni=lnxo+1C

的取值范围是[1,+00).

方法三：反函数问题，对课本中比较边角的知识点反函数性质的应用列举了比较深刻的三个例题，

如果使用该题型模式解答本题，就更漂亮了：

解：f(x)2]Oae'_i21nx-lna+l,因为y=ag'"与丫=]券-1。@+1互为反函数,故此二函数图像关于y=x

对称；要使a。'"21nxTna+l,只需a/Tex,因为a>0,所以aei^xoei2工，确定过(°，°)的

y=—为i切线时的a=l,所以a21

a

方法四：在《高考数学核心题型与解题技巧》一书中，有题型总结：利用同构秒杀高考试题魅力

无限，阐述了同构的解题思路，有函数题，有导数题，有解析几何题，是比较系统的一个专题，利

用同构思想获得该题的秒解：

解：将f(x)21按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形：

由/(工)=。e'l一Inx+hia21移项得：api+lna21nx+1即「“"'T+lnaNhix+1

两边同时加x-1,得*-1+x+lnaT21nx+x,即(x+lna-1)Zlnx+J1'.

V>MVVVVV\</VVZVV<^AA/

设g(x)=x+£,则e(x)=l+e、>0,所以g(x)单调递增，所以lna+x-121nx，即xTnx+lnaT20

设h(x)=^m域+lna-l,则力(x)=l-1,所以h(x)在(0,1)单调递减，在(1,+oo)单调递增，

所以"(X)=h(l)=lnaT20,所以a21

\'min

本题来源于教材导数的几何意义、利用导数研究函数的最值、函数的大小比较问题。考察了学

生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养，对学生数学能力的考查很高，需要学

生对函数、导数部分的内容融会贯通。

该四种解法都体现了方法上的优势，导数解答题的解决，思路不同，方法难易迥异，解答此题,

我们务必揣测出题者的意图，找准意图，选对方法，问题迎刃而解。

2021年新高考1卷：小

22.已知函数0

(1)讨论/(“)的单调性；《

2C<—1।—1ve

(2)设，，6为两个不相等的正数，且bbia-agb=a-b,证明：ab

命题立意：本小题以不等式证明为载体.考查利用导数研究函数的极值、最值、

不等式等基础知识和函数同构与极值点偏移。虽然题型较老，但老中见新，给人以

新的启迪。本题考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力、创新能力等，

考察函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等；考查

逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现综合性与创新性，

【思路分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号即可确定函数的单调性；G

(2)利用引〃4-。/〃6二。-6同构关系，将--通过将换元，将原问题转化为极值点偏移的问题,

构造对称差函数分别证明左右两侧的不等式即可.《

【解析】⑴欣)的定义域为(0,+8).

由/(x)=x(\—Ina;)得,/'(c)=—In%.

函数/(.V)来自于2019年人教A

当i=1时，/'3)=0；当16(0,1)时/'(%)>0;

版选择性必修二第81页第4题

当(1,+8)时，/3)V0.

故/(G在区间(0,1］内为增函数,在区间［1,+8)内为减函数.

(2)证法1

由b\na—aln6=a—b

得~~(1—=](l-In】)，

7

Q\ab'b，

即/©)=/")•

由QWb,得工W4--

ab

由⑴不妨设--6(0,1),€(l,4-oo),

则，吟)>。，从而小佶)>。，得十W(l'e)・

令g3)=f(2-x)-f(x),

则g'3)=一/'(2-x)-f(x)

=ln(2—x)+Inx=ln(2x-x~)=ln[l—(x—I)2].

当出W(0,1)时，g'(x)<0,g(x)在区间(0,1)内为减函数,

g3)>g(i)=。，

构造齐次差函数,典型

从而f(2—x)>f(x),的极值点偏移问题~

所以『(2-!)>/«)=/©)，

由(1)得2—

即2<小+看

令九3)=x+f(x),

则h!(x)=1+/'(c)=1—Inx,

当1£(l,e)时Jir(x)>O,/t(x)在区间(l,e)内为增函数,

h(x)<Zi(e)=e,

从而x+/(i)<e,

-+A-)

所以1+/(1)Ve*通过构造熟悉函数h(x)飞tf(x),得到中间量bb,利用

-,/(-),/(-)大小比较和等量代换得出结论，

aab

1,、

又由—W(0,1),

可得!〈融―吟)=/©)=/("

…所以！++<4)+»e.

圻Iz'29—4-—O

证法2：&

再证m4-n<e.

因为m(l—Inm)=n(l—Inn)>7n,

所以n(l—Inn)-+-n<e=>m-l-n<e.

先放缩，利用/(，〃)=/(〃)对求证

令h(x)=x(l—lux)+xxE(l,e).

y进行变形，构造新函数得证〃

所以所(①)=1—Inx>0,故h(x)在区间(l,e)内单调递增.

所以h(x)</t(e)=e,故h(n)<e,即m+nVe.

综合可知2V5+/Ve.

证法3

证明工+1>2,同证法2.

ab

以下证明;E]+x-2<e.

不妨设x2=txi，则2=&>1,记g(s)=+s),s€(0,4-co),

Xi

s

由21(1—1113；!)=工2(1—Ing),

z、-ln(l4-s)

tint则g'®)二手，

得1)(1—liiX1)=txi[l-ln(ta；i)],liix=

1t-1,

记h(s)=不*-ln(l+s),

要证4-x2<e,

则加⑸二岛厂击vs

只需证(1+t)rci<e,

两边取对数得hi(l+t)+lnx)<1,所以，h(s)在区间(0,+oo)内单调递减.

即ln(l+t)+l-智h(s)<h(0)=0,则g'(s)<0,

t—1

即证吗旦<岩.所以g(s)在区间(0,+8)内单调递减.

tt-1

，由(1,+8)得，-1W(0,+8),

统一变量*所以g(t)Vg(t-1),即ln(\+A)<严p.

tc—1

证法4(利用切线不等岗)

—./(x)作点(0・0)处的切线方程为

/i(x)=r-x.

令夕(E)=/{«)-A(x)=2x-xlai-r.xe(0,e),

则0=1-hu>0.

所以M”)作(O.C上隼谢递增.

所以奴x)<Se>=m

所以*£《o#时JU)<A(x).

不妨设“x,)=/!%)=，•

则f=Ax?)=，-3

所以，+..：<,

Xf=.«X1)=X|(I-I呷)».T1«(0J),

所以,=S(I-InX])>xr

即xt+Xj<r>x,<e.

【归纳总结】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极值点偏移问题，等价转化的

学思想，同构的数学思想等知识，属于中等题.《

(2022年22题)已知函数/(x)=e'-«v和g(x)="-Ex有相同的最小值.d

⑴求JJ

(2)证明：存在直线P=b,其与两条曲线."=/(')和1=8(工)共有三个不同的交

点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.~IMH

本题第一问考查利用导数研究函数的单调性，求函数最值，通过构造函数,

研究函数的单调性，从而得到参数值.d

对于比较难的题目可以采用拆分的方式进行分步得分，分别求解函数

f(x)=ex-ax,g(*)=ax-lnx的最小值，而函数/(x)与函数g(x)就是来自于

2019年人教A版选择性必修二第95页例7«

给定函数/(x)=(x+l)e'.Q

(1)判断函数〃工)的单调性，并求出函数/(x)的极值；8

(2)画出函数的大致图像；e

(3)求出方程f(x)=a(aeR)的解的个数.H

通过该题需要联想到导数中常见的八大函数的单调性，八大函数分别为:

x

f(x)=x±ey;/(x)=x±lnx;f(x)=xex;/(x)=xliix;f(x)=^;/(x)=-^-;/(x)=—;

eliixx

人工）=也.如果在教学中明确要求学生掌握这八个函数及其变式的单调性等知

X

识，该题的第一问会比较轻松的得到解答

利用已有知识，可以大体判断出第一问。的值

下面对于第一间拆解成三问求解,使得问题比较轻松地解答.分别求解函数/(.V)

与函数g(x)的最小值，然后再求两个函数的最小值相等时，求得参数值.G

【拆解1】求函数/(X)二6的最小值.

【解析】/(x)=e'-方的定义域为K,而解析)=3-4,1

若4W0,则/。)>0,所以函数f(x)单增,此时/&)无最小值,1

当〃〉0时，当xvln〃时，/(.V)<0,故小)在(-8,山。)上为减函数,

当x>ln。时，/(x)>0,故f(x)在(ln«+8)上为增函数，j

故/(x)皿=/(山

【拆解2】求函数g(x)二公-lux的最小值

【解析】g(x)二仆-lnx的定义域为(0,+8),而g(x)=〃-'二竺匚.

XX

若h0,则g(x)＜0,所以函数g(x)单减，此时g(x)无最小值,«

1(

当〃〉0时，当0＜工＜一时，g'(x)＜0,故g(x)在0,-上为减函数，＜-

a\a)

1(1)

当X>—时，g'(x)>0,故g(x)在一,+8上为增函数，Q

aJ

1y

故故X)nin

=g3­

【拆解3]已知函数/(x)二，-仁和g(x)二行-lux有相同的最小值，求盘

分析：已知两个函数的最小值相等，转化为一个关于参数。的方程，然后构造

函数，通过其单调性，得到〃的值____________

【解析】由拆解1、2知，当〃>0时，函数/⑶与g(x)才有最小值-I警

若/(x)=e'-公和g«)二公TnK有相同的最小值，e

1「-l

故1一111一二。一aln〃，整理得到-a--二lna,其中a>0,G

a1+。

a—]t/\21-—ci"-1€

设g(。)=:ITna,a>0,则g(。)二;■)--^一匚二^---

1+4(1+a)°a(l+a)

故g(a)为(0，+°°)上的减函数，而g⑴=0,G三

故g(a)=0的唯一解为。=1,故L*=Ina的解为a=1«

1+a

综上，<?=1.<-*

对于第二问跟例7的第(3)问相似，虽然拿满分难，但是拿到合适的分数还是

比较轻松的，根据第(1)可得当时，直线P=b与两条曲线y=/(x)和

才可能有三个不同的交点，从而也就解决了存在性问题，然后再去证明

三个不同的交点满足等差数列.。

此时再拆分成四回金别去求解，使得题目顺利拿到分数,・

注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两

类根之间的关系,*

【拆解4］已知函数/&)=，—工，证明：若b>l,直线y二办与曲线.y=/(”)有

两个不同的交点.e

【解析】由(1)可得升I=e'-X的最下值为1.二

当力(1时，直线y=b与曲线y=/(x)最多有一个不同的交点，：二

当Z>>1时，考虑e'-x二，的解的个数而s(—»=J>0,S(b)=eb-2b,0

设S(x)=e'_.丫—办，S'(.r)=e—1,G设〃(»二犬一2办，其中6>1,则〃'传)=e'—2>0,《

当x<0时，S'(x)<0,当x〉0时，S，(x)>0,3故〃9)在(L+S)上为增函数，故〃0)>"l)=e—2>()，

故S(x)在(-s,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数，故S仅)>0,故S(x)=ex-xd有两个不同的零点,G

即e'-x=5的解的个数为2.&

所以S(x)1ml=S(0)=l-Z>v0,y

【拆解5］已知函数g(x)=x-lux,证明：若方>1,直线."二，与曲y=g(x)共

有两个不同的交点.1

【解析】由(1)可得鼠x)=xTnx的最小值为==

当方41时，直线y=办与曲线y=g(x)最多有两个不同的交点~

当方>1时，考虑x—In%二人的解的个数

设T(x)=x-lnx-6，F(x)=-~,小

X

当0cx<1时，r(x)<o,当x>i时，r(x)>o,d

故7(幼在(0,1)上为减函数,在(L+8)上为增函数，H

所以7(%)皿=T⑴T—办〈°，“

而T(e-。=e”>0,r(eb)=eb-2b>0,d

T(x)=x—In.Z)有两个不同的零点即x-ln/Z)的解的个数为2”

【拆解6］已知函数/(x)="—x和g(x)='-hi%,证明：若〃>1,直线V二方

其与两条曲线y=fM和y=g(.v)共有三个不同的交点.1

【解析】由前面分析可知，若存在直线y=D与曲线y=/(x)、y=g(x)有三个

不同的交点，则，>1.1

设万(x)=e'+lux-2x,其中x>0,故方'(x)=e'+9-2,~

X

设s(x)=e'-x-l,x>0,则s'(x)=e'-1>0,~

故s(x)在(0,+oo)上为增函数,故s(x)>s(O)=O即/>x+l,音

所以〃(x)>x+L-l32-1>0,所以。(x)在(0,+8)上为增函数，1

X

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