【课件】正方形的性质与判定（第二课时+正方形的判定）（北师大版）

1.3正方形的性质与判定第一章特殊平行四边形第二课时正方形的判定学习目标1）探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别。2）能根据正方形的判定条件进行有关论证和计算。重点探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别。难点能根据正方形的判定条件进行有关论证和计算。【提问】什么是正方形？正方形有哪些性质？正方形概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.正方形性质：①四个角都是直角;

②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分；④既是中心对称图形也是轴对称图形.【提问】结合之前所学，如何判断四边形是平行四边形、矩形、菱形？平行四边形矩形菱形四边形三个角是直角四条边相等定义四个判定定理定义对角线相等定义对角线垂直思考

怎样判定一个四边形是正方形呢？根据正方形的定义,可得正方形的第一个判定的方法：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形。【思考】还有其它的判定方法吗？ABCD【思考】矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？正方形【思考】菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？邻边相等一个角是直角有一组邻边相等的矩形是正方形。有一个角是直角的菱形是正方形。如何判定一个四边形是正方形呢？判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等。2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角。如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开。怎样才能剪出一个正方形？满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论。平行四边形矩形正方形菱形一个角是直角一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角对角线相等对角线相互垂直有一组邻边相等且有一个角是直角正方形判定方法2：有一组邻边相等的矩形是正方形。已知：四边形ABCD是矩形，且AB=BC，证明：四边形ABCD是正方形。证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠A=∠A=∠A=90°，AB=CD，AD=BC又∵AB=BC，∴AB=BC=CD=AD∴ABCD是正方形正方形判定方法3：有一个角是直角的菱形是正方形。已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°，证明：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是平行四边形，AB=AD又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形。正方形判定方法4：对角线互相垂直的矩形是正方形。已知：四边形ABCD是矩形，AC⊥DB。求证：四边形ABCD是正方形。ABCDO证明：∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=90°∵AC⊥DB,∴四边形ABCD是菱形,而∠ADC=90°∴四边形ABCD是正方形已知：四边形ABCD是菱形，AC=BD，证明：四边形ABCD是正方形。证明：∵四边形ABCD是菱形，∴

四边形ABCD是平行四边形，AB=BC又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形,而AB=BC∴四边形ABCD是正方形正方形判定方法5：对角线相等的菱形是正方形。正方形判定的几条途径：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形条件菱形条件一个直角，一组邻边相等，对角线相等对角线垂直平行四边形正方形一组邻边相等且有一个角是直角==例1在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,例1在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四边形EFMN是菱形，

∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形.例2如图,在矩形ABCD中,

BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.证明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四边形BECF是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,

∠DCB=90°,

∵BE平分∠ABC,

CE平分∠DCB,∴∠EBC=45°,

∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠

ECB.∴EB=EC

∴四边形BECF是菱形.在△EBC中∵∠EBC=45°,∠ECB=45°∴∠BEC=90°∴菱形BECF是正方形

3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．AB=BC(答案不唯一)ABCDO4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．②③或①④证明：∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可证：OE=OF=OG,BACDOEHGF5.如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.BACDOEHGF5.如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.∵EO+GO=FO+HO

,即EG=HF,∴四边形EFGH为正方形.6.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？解：①∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形.②∵四边形AEDF为菱形，∴AD平分∠BAC，则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.6.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．③在②