半导体中载流子的统计分布-课件

第三章半导体中

载流子的统计分布有效状态密度函数费米分布函数、费米能级本征半导体载流子浓度杂质半导体载流子浓度一般情况下载流子统计分布简并半导体热平衡状态：没有外界影响(如电压、电场、磁场或温度梯度)作用在半导体上的状态。本征半导体：没有杂质原子和缺陷的纯净晶体。载流子：能够参与导电，荷载电流的粒子。电子、空穴。半导体中的载流子基本概念本征半导体中究竟有多少电子和空穴？n0表示导带中平衡电子浓度p0表示价带中平衡空穴浓度本征半导体中有：n0=p0=nini为本征载流子浓度ni的大小与什么因素有关？T、Eg如何计算载流子浓度？

假设在能带中能量E与E+dE之间的能量间隔dE内有量子态dZ个，则定义状态密度g（E）为：

3.1状态密度函数1、K空间单个量子态所占体积；2、E~E+dE对应的k空间体积；3、前两者相除得到dZ；3、根据左式得到g(E);每个允许的能量状态在k空间中与由整数组（nx，ny，nz）决定的一个代表点（kx，ky，kZ

）相对应

3.1.1K空间中量子态的分布3.1.2

状态密度函数能带中能量E附近每单位能量间隔内的量子态数。导带中有效电子能态密度：价带中有效电子能态密度：3.2统计力学在一定温度下，半导体中的大量电子不停地作无规则热运动，从一个电子来看，它所具有的能量时大时小，经常变化。但是，从大量电子的整体来看，在热平衡状态下，电子按能量大小具有一定的统计分布规律性，即电子在不同能量的量子态上统计分布几率是一定的。3.2统计力学粒子在有效能态中的分布：三种分布法则麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数。认为分布中的粒子可以被一一区分，且对每个能态所容纳的粒子数没有限制。玻色-爱因斯坦分布函数认为分布中的粒子不可区分，每个能态所容纳的粒子数没有限制。费米-狄拉克分布函数认为分布中的粒子不可区分，且每个能态只允许一个粒子存在。3.2统计力学——1费米分布函数

热平衡条件下半导体中电子按能量大小服从一定的统计分布规律。能量为E的一个量子态被一个电子占据的几率为据上式，能量比EF高5kT的量子态被电子占据的几率仅为0.7%；而能量比EF低5kT的量子态被电子占据的几率高达99.3%。

fF(E)表示能量为E的量子态被电子占据的几率，那么1-fF(E)就是能量为E的量子态不被电子占据的几率，也就是被空穴占据的几率。费米概率函数理想情况，能量小于EF的能级被电子占据的概率为１能量E>EfE<EfE=Ef概率＝０

１1/2费米能级ＥF有一定温度时T>0费米能级ＥF如果温度不很高，那么EF±5kT的范围就很小，这样费米能级EF就成为量子态是否被电子占据的分界线：

1)能量高于费米能级的量子态基本是空的；

2)能量低于费米能级的量子态基本是满的；

3)能量等于费米能级的量子态被电子占据的几率是50%。费米分布函数与温度密切相关！！！2玻尔兹曼分布函数费米分布函数中，若E-EF>>kT，则分母中的1可以忽略，此时上式就是电子的玻耳兹曼分布函数。同理，当EF-E>>kT时，上式转化为下面的空穴玻耳兹曼分布费米能级费米能级标志了电子填充能级的水平。半导体中常见的是费米能级EF位于禁带之中，并且满足

Ec-EF>>kT或EF-Ev>>kT的条件。因此对导带或价带中所有量子态来说，电子或空穴都可以用玻耳兹曼统计分布描述。由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝大部分电子分布在导带底附近，价带绝大部分空穴分布在价带顶附近，即起作用的载流子都在能带极值附近。例：四个电子处于宽度为a=10埃的一维无限深势阱中，假设质量为自由电子质量，求T=0K时的费米能级.3半导体中载流子

电子空穴的平衡分布

导带电子浓度与价带空穴浓度要计算半导体中的导带电子浓度，必须先要知道导带中能量间隔内有多少个量子态。又因为这些量子态上并不是全部被电子占据，因此还要知道能量为E的量子态被电子占据的几率是多少。将两者相乘后除以体积就得到区间的电子浓度，然后再由导带底至导带顶积分就得到了导带的电子浓度。导带电子的分布价带空穴的分布半导体中载流子电子空穴的平衡分布假设电子空穴有效质量相等，则EF位于禁带中线半导体中载流子

n0p0的方程热平衡时的电子浓度n0这里假设费米能级始终位于禁带中。积分下限：Ec；积分上限：这里设为无穷大。由于E>EC;EC-EF>>kT所以有E-EF>>kT半导体中载流子n0p0的方程引入中间变量，得到为伽马函数，其值为半导体中载流子n0p0的方程其中称为导带有效状态密度，因此同理可以得到价带空穴浓度其中称为价带有效状态密度半导体中载流子n0p0的方程平衡态半导体导带电子浓度n0和价带空穴浓度p0与温度和费米能级EF的位置有关。其中温度的影响不仅反映在Nc和Nv均正比于T3/2上，影响更大的是指数项；3.3本征半导体载流子浓度本征半导体：本征激发：不含有任何杂质和缺陷。导带电子唯一来源于成对地产生电子－空穴对，因此导带电子浓度就等于价带空穴浓度。本征半导体的电中性条件是qp0-qn0=0即n0=p0=ni本征载流子浓度本征半导体的费米能级称为本征费米能级，EF=EFi。上两式相乘有：任何平衡态半导体载流子浓度积n0p0

等于本征载流子浓度ni2。对确定的半导体材料，受式中Nc和Nv、尤其是指数项exp(-Eg/kT)的影响，本征载流子浓度ni随温度的升高显著上升。平衡态半导体n0p0积与EF无关；对确定半导体，mn*、mp*和Eg确定，n0p0积只与温度有关，与是否掺杂及杂质多少无关；一定温度下，材料不同则mn*、mp*和Eg各不相同，其n0p0积也不相同。温度一定时，对确定的非简并半导体n0p0积恒定；3.3本征半导体载流子浓度公认值会与上式计算得到的ni值有一定误差：有效质量为低温下进行的回旋共振实验测定值，此参数可能与温度有关；状态密度函数由理论推导得到，有可能与实验结果不十分吻合。3.3本征半导体载流子浓度3.3本征半导体载流子浓度

与温度关系很大：温升１５０度时，浓度增大４个数量级。3.3本征半导体载流子浓度

本征费米能级位置上式两边取自然对数并求解EFi有：禁带中央本征费米能级精确位于禁带中央；本征费米能级会稍高于禁带中央；本征费米能级会稍低于禁带中央；练习1）两块半导体材料A，B除了禁带宽度不同，其他参数完全相同。Eg(A)=1eV,Eg(B)=1.2eV.求T=300K时两种材料的ni比值。2）假设某种半导体材料的导带状态密度为一个常数C，且假设费米统计分布和玻耳兹曼近似有效。试推导热平衡状态下导带内电子浓度的表达式。3.4杂质半导体中载流子浓度掺入施主杂质的半导体，施主能级Ed位于比导带底Ec低ΔEd的禁带中，且ΔEd<<Eg。对于掺入Ⅲ族元素的半导体，被受主杂质束缚的空穴能量状态(称为受主能级Ea)位于比价带顶Ev低ΔEa的禁带中,ΔEa<<Eg.

(a)施主能级和施主电离(b)受主能级和受主电离图

杂质能级和杂质电离非本征半导体：掺杂半导体3.4非本征半导体电子和空穴的平衡状态分布3.4非本征半导体的载流子浓度电子占据施主能级的几率

杂质半导体中，施主杂质和受主杂质要么处于未离化的中性态，要么电离成为离化态。以施主杂质为例，对施主电子来说，每个施主能级都有两种可能的自旋方向，每个施主能级就对应两种量子态。当把其中一个电子放入其中一个量子态上之后，就排除了将其他电子放入第二个量子态的可能，这种情况下电子占据施主能级的几率为一、杂质能级上的电子和空穴杂质能级最多只能容纳某个自旋方向的电子。3.4杂质半导体的载流子浓度

施主浓度:ND

受主浓度:NA

（2）电离杂质的浓度

（1）杂质能级上未离化的载流子浓度nD和pA

：二、n型半导体的载流子浓度

n0=p0+nD+

（7）当温度从高到低变化时，对不同温度还可将此式进一步简化假设只含一种n型杂质，在热平衡条件下，半导体是电中性的：n型Si中电子浓度n与温度T的关系：杂质离化区过渡区本征激发区特征：本征激发可以忽略，p0≈0导带电子主要由电离杂质提供。电中性条件n0=p0+nD+

可近似为

n0=nD+（9）1、杂质离化区（1）低温弱电离区：

特征：nD+<<ND

弱电离(2)中间弱电离区：

本征激发仍略去，随着温度T的增加，nD+已足够大，故直接求解方程（8）（3）强电离区：

特征：杂质基本全电离nD+≈ND

电中性条件简化为n0=ND

（18）

这时，注：强电离与弱电离的区分：决定杂质全电离的因素：

1、杂质电离能；

2、杂质浓度。在室温（RT）时，当杂质浓度≧10ni时，nD+≈ND2、过渡区：

电中性条件：n0=ND+p0特征：（1）杂质全电离nD+=ND

（2）本征激发不能忽略杂质强电离后，如果温度继续升高，n0是否还等于Nd?费米能级的位置会怎样改变？讨论：显然：n0>>p0，这时的过渡区接近于强电离区。多数载流子（多子）少数载流子（少子）

处在过渡区的半导体如果温度再升高，本征激发产生的ni就会远大于杂质电离所提供的载流子浓度，此时，n0>>Nd，p0>>Nd，电中性条件是n0=p0，称杂质半导体进入了高温本征激发区。在高温本征激发区，因为n0=p0，此时的EF接近Ei。

过渡区后，如果温度继续升高，n0是否还等于Nd?费米能级的位置会怎样改变？

低温段(100K以下)由于杂质不完全电离，n0随着温度的上升而增加；然后就达到了强电离区间，该区间n0=ND基本维持不变；温度再升高，进入过渡区，ni不可忽视；如果温度过高，本征载流子浓度开始占据主导地位，杂质半导体呈现出本征半导体的特性。施主浓度为5×1014cm-3

的n型Si中随温度的关系曲线。对p型半导体的讨论与上述类似。对于杂质补偿半导体，若Nd+和Na-分别是离化施主和离化受主浓度，电中性条件为

如果考虑杂质强电离及其以上的温度区间，Nd+=Nd

和Na－=Na，上式为与n0p0=ni2联立求解得到杂质强电离及其以上温度区域此式都适用。

3.5一般情况下的载流子浓度杂质补偿半导体以Ei为参考的表达式为(Nd-Na)>>ni对应于强电离区；(Nd-Na)与ni可以比拟时就是过渡区；如果(Nd-Na)<<ni，那么半导体就进入了高温本征激发区。杂质补偿半导体的费米能级练习1）已知硅晶体中含有原子比为10-6的As杂质，然后再均匀掺入3×1016cm-3的P原子和1018cm-3的B原子，假设热退火后所有的杂质完全激活。请问：A硅的导电类型。B多数载流子浓度2）300K时，在Si中含有8×1016cm-3的As原子和2×1016cm-3的B原子，计算热平衡时电子和空穴的浓度及Fermi能级的位置。费米能级的位置n型和p型费米能级的位置与掺杂浓度的关系费米能级的位置与温度的关系可见n型半导体的n0和EF是由温度和掺杂情况决定的。杂质浓度一定时，如果杂质强电离后继续升高温度，施主杂质对载流子的贡献就基本不变了，但本征激发产生的ni随温度的升高逐渐变得不可忽视，甚至起主导作用，而EF则随温度升高逐渐趋近Ei。半导体器件和集成电路能正常工作在杂质全部离化而本征激发产生的ni远小于离化杂质浓度的强电离温度区间。在一定温度条件下，EF位置由杂质浓度Nd决定，随着Nd的增加，EF由本征时的Ei逐渐向导带底Ec移动。n型半导体的EF位于Ei之上，EF位置不仅反映了半导体的导电类型，也反映了半导体的掺杂水平。3.6简并半导体及其载流子浓度半导体中玻耳兹曼分布函数并不总是适用，n型半导体中如果施主浓度Nd很高，杂质能级会分裂为能带，随着浓度的增加，能带逐渐展宽，当Nd增大到可以与有效状态密度相比拟时，有可能与导带底相交叠。EF就会与导带底Ec重合甚至进入导带，此时E-EF>>kT不再成立，必须用费米分布函数计算导带电子浓度，这种情况称为载流子的简并化，服从费米分布的半导体称为简并半导体。提问：n型半导体中如果施主浓度Nd很高，玻耳兹曼分布函数是否仍然适用？简并化条件

因此用Ec-EF的大小作为判断简并与否的标准.不同分布函数得到的n0/Nc与(EF-Ec)/(k0T)关系费米能级的位置？简并半导体的载流子浓度简并半导体的n0与非简并半导体计算类似，只是分布函数要代入费米分布因为，再令，，上式化简为其中积分称为费米-狄拉克积分，因此简并半导体的n0表达式为下图是费米-狄拉克积分F1/2(ξ)与ξ的关系：费米-狄拉克积分F1/2(ξ)与ξ关系简并时杂质未充分电离As在Ge和Si中的ΔED分别为0.0127eV和0.049eV，简并时

EC-EF=0，经计算得到室温下的离化率分别只有23.5%和7.1%，因此简并时杂质没有充分电离。尽管杂质电离不充分，但由于掺杂浓度很高，多子浓度还是可以很高的。因为简并半导体中的杂质浓度很高，杂质原子之间相距较近，相互作用不可忽略，杂质原子上的电子可能产生共有化运动，从而使杂质能级扩展为能带。杂质能带的出现使杂质电离能减小，当杂质能带与半导体能带相连时会形成新的简并能带，同时使状