2022年浙江省嘉兴市海宁紫微中学高三数学理联考试卷含解析

2022年浙江省嘉兴市海宁紫微中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，，，，则等于(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B略2.设是两个集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：答案：B解析：由韦恩图知;反之，3.若集合，，若，则等于（

）A．1

B．2

C．

D．1或2参考答案：D略4.已知的最小正周期为，要得到

的图像，只需把的图像（

）A.向左平移个单位

B.向右平移个单位

C.向左平移个单位

D.向右平移个单位参考答案：A

略5.关于x的函数y=log(a2－ax)在［0，+∞上为减函数，则实数a的取值范围是（）．A．(－∞，－1) B．（，0） C．(，0) D．(0，2 参考答案：B6.已知sin（）=则cos（x）等于(

) A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：D考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由诱导公式化简后即可求值．解答： 解：cos（x）=sin[﹣（x）]=sin（﹣x）=．故选：D．点评：本题主要考察了诱导公式的应用，属于基础题．7.已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且,则的最小值是(

).

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：

C8.定义在R上的函数满足，且当0≤x1<x2≤1时，有，则的值为

（

）Ks5uA．

B．

C．

D．参考答案：Ｂ略9.已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（

）A．

B．

C．1

D．2参考答案：B由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为1cm的四棱锥，如图，【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积10..已知为等差数列，若，则（

）A.15

B.24

C.27

D.54参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，且，则z的最小值为_______．参考答案：【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合图像确定目标函数的最优解，代入即可求解。【详解】画出约束条件所表示的可行域，如图（阴影部分）所示：则目标函数所表示的直线过点时，取最小值，又，解得，故答案为-4。【点睛】本题考查简单线性规划求最值问题，画出不等式组表示的可行域，利用：一画、二移、三求，确定目标函数的最优解，着重考查数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题12.已知函数是偶函数，且在处的切线方程为，则常数的积等于__________.参考答案：函数为偶函数，所以有。所以，，所以在你处的切线斜率为，切线方程为，即，所以。13.设…，则…＝

．

参考答案：略14.函数的图象为Ｃ,如下结论中正确的是

(写出所有正确结论的编号).①图象C关于直线对称;

②图象C关于点对称;③函数)内是增函数;④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C参考答案：①②③略15.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则的值为

.参考答案：

16.若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为

．参考答案：4【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式．【分析】先画出满足条件的平面区域，求出A的坐标，结合图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：由，解得A（1，1）而z=x+3y可化为y=﹣x+，由图象得直线过A（1，1）时z最大，z的最大值是4，故答案为：4．【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题．17.（2017?上海模拟）已知（x0，y0，z0）是关于x、y、z的方程组的解．（1）求证：=（a+b+c）?；（2）设z0=1，a、b、c分别为△ABC三边长，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）设a、b、c为不全相等的实数，试判断“a+b+c=0”是“x02+y02+z02＞0”的

条件，并证明：①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非充要．参考答案：④【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；（2）由方程组有非零解得出=0，即=0，将行列式展开化简即可得出a=b=c；（3）利用（1），（2）的结论即可答案．【解答】解：（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，得：==（a+b+c）?．（2）∵z0=1，∴方程组有非零解，∴=0，由（1）可知（a+b+c）?=0．∵a、b、c分别为△ABC三边长，∴a+b+c≠0，∴=0，即a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．（3）若a+b+c=0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x02+y02+z02=0，∴a+b+c=0”不是“x02+y02+z02＞0”的充分条件；若x02+y02+z02＞0，则方程组有非零解，∴=（a+b+c）?=0．∴a+b+c=0或=0．由（2）可知a+b+c=0或a=b=c．∴a+b+c=0”不是“x02+y02+z02＞0”的必要条件．故答案为④．【点评】本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)已知数列{}的前n项和(n为正整数)。(I)令，求证数列{}是等差数列，并求数列{}的通项公式；(Ⅱ)令，试比较与的大小，并予以证明．参考答案：（Ⅰ）在中，令n=1，可得，即..............1当时，，..................2.

又数列是首项和公差均为1的等差数列...........................4于是.........................................................................6(II)由（I）得，所以由①-②得………9……11于是确定的大小关系等价于比较的大小．．．．．．猜想：当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由猜想显然成立．（2）假设时猜想成立．即则时，所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时………1419.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F（0，），且椭圆C经过点P（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（0，1）的斜率不为0的直线与椭圆交于A、B两点，A关于y轴的对称点为A′，求证：A′B恒过y轴上的一个定点．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=，将P的坐标代入椭圆方程，由a，b，c的关系可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），即有A'（﹣x1，y1），直线AB的方程设为y=kx+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，求得直线A'B的方程，令x=0，求得y，化简整理，即可得到定值4，即有直线A'B恒过定点．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=，将P的坐标代入椭圆方程可得：+=1，又a2﹣b2=3，解得a=2，b=1，即有椭圆的方程为x2+=1；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），即有A'（﹣x1，y1），直线AB的方程设为y=kx+1，代入椭圆方程4x2+y2=4，可得：（4+k2）x2+2kx﹣3=0，可得x1+x2=﹣，x1x2=﹣，直线A'B的方程为y﹣y1=（x+x1），令x=0，可得y===+1==1=4．则A′B恒过y轴上的一个定点（0，4）．20.（本小题满分12分）已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，其中（1）求的通项公式；（2）令求的前20项和。参考答案：21.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面ABB1A1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，请问在线段A1C上是否存在点E，使得二面角A﹣BE﹣C的大小为，请说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连接AB1交AB1于点D，则可通过证明BC⊥平面ABB1A1得出得出BC⊥AB；（2）以B为原点建立坐标系，设=λ，求出平面ABE的法向量，令|cos＜，＞|=，根据解的情况判断E点是否存在．【解答】（1）证明：连接AB1交AB1于点D，∵AA1=AB，∴AD⊥A1B又平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，∴AD⊥平面A1BC，又BC?平面A1BC，∴AD⊥BC．∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，AA1?平面A1ABB1，AD?平面A1ABB1，∴BC⊥平面A1ABB1，又AB?侧面A1ABB1，∴AB⊥BC．（2）由（1）得AD⊥平面A1BC，∴∠ACD直线AD与平面AA1=AB所成的角，即，又AD==，∴，BC==2．假设在线段A1C上是否存在一点E，使得二面角A﹣BE﹣C的大小为以点B为原点，以BC、BA，AA1所在直线为坐标轴轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图所示，则A（0，2，0），B（0，0，0），A1（0，2，2），C（2，0，0），B1（0，0，2）．∴=（0，﹣2，0），=（2，﹣2，﹣2），=（0，﹣2，2），=（0，0，2）．假设A1C上存在点E使得二面角A﹣BE﹣C的大小为，且=λ=（2λ，﹣2λ，﹣2λ），∴=+=（2λ，﹣2λ，2﹣2λ），设平面EAB的法向量为，则，，∴，令x=1得=（1，0，），由（1）知AB1⊥平面A1BC，∴=（0，﹣2，2）为平面CEB的一个法向量．∴cos＜，＞==，∴||=|cos|=，解得∴点E为线段A1C中点时，二面角A﹣BE﹣C的大小为．22.（理）如图已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，设，若为正三角形且周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知垂直于轴的直线交椭