2021年浙江省宁波市北仑泰河中学高三数学文模拟试题含解析

2021年浙江省宁波市北仑泰河中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.世界华商大会的某分会场有A，B，C，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲，乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（A）12种（B）10种

（C）8种（D）6种i

参考答案：D略2.如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=ex﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影部分的面积为==e﹣2，∵矩形区域OABC的面积为e﹣1，∴该点落在阴影部分的概率是．故选D．3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A．8π

B．4π

C．

D．参考答案：A4.设命题p：?x∈[0，+∞），ex≥1，则￢p是（）A．?x0?[0，+∞），＜1

B．?x?[0，+∞），ex＜1C．?x0∈[0，+∞），＜1 D．?x∈[0，+∞），ex＜1参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，可以求出￢p．【解答】解：因为命题p是全称命题，所以利用全称命题的否定是特称命题可得：￢p：?x0∈[0，+∞），．故选：C5.已知F1，F2分别为双曲线C：的左，右焦点，点P是C右支上一点，若，且，则C的离心率为（

）A.5 B.4 C. D.参考答案：A【分析】在直角三角形PF1F2中，表示出PF1，PF2，再根据双曲线的定义以及离心率的公式可得．【详解】解：在三角形PF1F2中，因为0，所以∠F1PF2＝90°，∴PF1＝F1F2?cos∠PF1F2＝2c?，PF2＝F1F2?sin∠PF1F2＝2c?，∴2a＝PF1﹣PF2，∴e5．故选：A．【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．6.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．【解答】解：如图所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选B．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用．7.设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，故选：C．8.已知集合则A．B.C.D.参考答案：C9.已知，是平面外的两条直线，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C10.命题“”的否定是（

）A.

B.C.

D.

参考答案：C知识点：命题的否定解析：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“”的否定，故选：C．【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在区间[0,2]上任取两个实数a,b，则函数f(x)=x3+ax-b在区间[-1,1]上有且只有一个零点的概率是.参考答案：【知识点】线性规划利用导数研究函数的单调性零点与方程解：因为所以为使函数f(x)=x3+ax-b在区间[-1，1]上有且只有一个零点，只需，

所以

故答案为：

12.展开式中的系数为__________.参考答案：略13.已知=1，=，·=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈Ｒ），则=________。参考答案：3因为,所以，以为边作一个矩形，对角线为.因为∠AOC=30°，所以,所以,所以,即。又,所以，所以如图。14.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成角时，AB与b成角；②当直线AB与a成角时，AB与b成角；③直线AB与a所成角的最小值为；④直线AB与a所成角的最大值为．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）参考答案：②③由题意知，三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故，，斜边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆．以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系．则，，直线的方向单位向量，．点起始坐标为，直线的方向单位向量，．设点在运动过程中的坐标，其中为与的夹角，．那么在运动过程中的向量，．设与所成夹角为，则．故，所以③正确，④错误．设与所成夹角为，.当与夹角为时，即，．∵，∴．∴．∵．∴，此时与夹角为．∴②正确，①错误．

15.设θ为第二象限角，若则sinθ＋cosθ＝

．参考答案：略16.由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为

．参考答案：【知识点】定积分B13【答案解析】解析：解：如图所示：联立解得，∴M（4，2）．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积S===．故答案为．

【思路点拨】利用微积分基本定理即可求出17.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为_____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数.（1）若曲线在处的切线为，求的值；（2）设，，证明：当时，的图象始终在的图象的下方；（3）当时，设，（为自然对数的底数），表示导函数，求证：对于曲线上的不同两点，，，存在唯一的，使直线的斜率等于．参考答案：【知识点】导数,导数应用B11

B12（1）（2）略(3)略解析：(1)，此时，又，所以曲线在点处的切线方程为，由题意得，，.

………3分（2）则在单调递减，且当时，即，当时，的图像始终在的图象的下方.

……………

7分（3）由题得，，，∵，∴，∴，即， ………9分设,则是关于的一次函数，故要在区间证明存在唯一性，只需证明在区间上满足.下面证明之：，，为了判断的符号，可以分别将看作自变量得到两个新函数，讨论他们的最值：，将看作自变量求导得，是的增函数，∵，∴；………..11分同理：，将看作自变量求导得，是的增函数，∵，∴；∴，

∴函数在内有零点，……………..13分又，函数在是增函数，∴函数在内有唯一零点，从而命题成立.

……14分【思路点拨】（1）由题意直接求解即可；（2）要证当时，的图象始终在的图象的下方，就是证明当时，；令，由导数易得在单调递减，且当时，即得证.（3），，∵，得，设,则是关于的一次函数，故要在区间证明存在唯一性，只需证明在区间上满足.19.求一切实数p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p的三个根均为正整数．参考答案：解：x=1是方程的一个根．于是只要考虑二次方程

5x2－5px+66p－1=0的两个根为正整数即可．设此二正整数根为u、v．则由韦达定理知，

消去p，得5uv－66(u+v)=－1．同乘以5：52uv－5×66u－5×66v=－5．∴(5u－66)(5v－66)=662－5=4351=19×229．由于u、v均为整数，故5u－66、5v－66为整数．∴

∴其中使u、v为正整数的，只有u=17，v=59这一组值．此时p=76．20.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若对任意都存在，使得成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）（2）【分析】(1)由题意求解绝对值不等式可得不等式的解集；(2)将原问题转化为函数值域之间的包含关系问题，然后分类讨论可得实数a的取值范围.【详解】（1）由得，∴，∴，∴，∴不等式的解集为.（2）设函数的值域为，函数的值域为，∵对任意都存在，使得成立，.∴，∵，∴，①当时，，此时，不合题意；②当时，，此时，∵，∴，解得；③当时，，此时，∵，∴，解得.综上所述，实数的取值范围为.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．21.

已知，f1（x）=f′0（x），

f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n﹣1（x）（n∈N*）．（Ⅰ）请写出fn（x）的表达式（不需证明）；（Ⅱ）设fn（x）的极小值点为Pn（xn，yn），求yn；（Ⅲ）设，gn（x）的最大值为a，fn（x）的最小值为b，试求a﹣b的最小值．参考答案：解：（Ⅰ）（n∈N*）．（Ⅱ）∵，∴当x＞﹣（n+1）时，；当x＜﹣（n+1）时，．∴当x=﹣（n+1）时，fn（x）取得极小值，即（n∈N*）．（Ⅲ）解法一：∵，所以．又，∴a﹣b=（n﹣3）2+e﹣（n+1），令h（x）=（x﹣3）2+e﹣（x+1）（x≥0），则h'（x）=2（x﹣3）﹣e﹣（x+1）．∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，∴h'（x）≥h'（0）=﹣6﹣e﹣1，∵h'（3）=﹣e﹣4＜0，h'（4）=2﹣e﹣5＞0，∴存在x0∈（3，4）使得h'（x0）=0．∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，∴当0≤x＜x0时，h'（x0）＜0；当x＞x0时，h'（x0）＞0，即h（x）在[x0，+∞）单调递增，在[0，x0）单调递减，∴（h（x