2015专题一函数性质与图象

专题一函数性质与图象

—X2)[/(X1)—"2)]<00e/(x)在[a,a上是减

函数.

考点知识自测

(3)①由定义知：奇、偶函数的定义域必关于

______对称.

②偶函数的图象关于对称；奇函

[闭卷填空】数的图象关于对称，这也是判断奇、

偶函数的方法.

③若奇函数兀0的定义域包含0,则./(0)=

1.有关概念;左)为彳禺函数，则j{x)==

(1)单调性：给定区间。上的函数/(X),若对于

州)•

任意X|,xeD,当为<与时，都有,

2④奇函数在对称区间(一6,一a)与(。，6)上的增

则称/)为区间D上的增函数；都有，

减性;偶函数在对称区间(一6,一。)与(a,h)

则称外)为区间D上的减函数.

上的增减性•

(2)奇偶性：如果对于函数次幻定义域内的任意

(4)如果>=/(")和〃=g(x)的单调性相同，那么y

一个x,者陌，那么函数外)就叫奇函=/(g(x))是；血果了=次〃)和〃=g(x)扇

数；都有，函数/(x)就叫偶函数.

单调性相反，那么y=/(g(x))是.

(3)周期性：若7为非零常数，对于定义域内的

(5»=/U)与歹=大-x)的图象关于对

任意x,都有成立，则<x)叫做周

称;y=斤)与y=-/(一尤)的图象关于________对称；

期函数，7叫做这个函数的一个周期.周期函数的y=/(x)Wy—―/(x)的图象关于对称.

定义域必须是.

⑹①若7(a+x)=/(6—x),对xGR恒成立，则

(4)函数的零点与方程的根

y=/(x)的图象关于____________成轴对称图形.

函数的零点：对于函数,我们把使&函数y=«r+x)与函数y=/(b—x)的图象关于

的实数x叫做函数段)的零点.

直线对称.

函数的零点与方程根的关系：函数尸(x)=/(x)

③若定义在R上的函数寅x)的图象关于直线x

-g(x)的零点就是方程的根，即函数y

=a与x=6(6>a)都对称，则兀v)为周期函数，

=次幻的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.

是它的•个周期(未必是最小心周期，

零点存在性定理：如果函数y=/(x)在区间口，

下同).

/>]上的图象是连续不断的一条曲线，且有

④若定义在R上的函数/x)的图象关于点(。，

，那么，函数y=/(x)在区间(a,6)内c)和(6,c)(6>a)成中心对称，则/(x)为周期函薮，

仃零点，即存:在CG3，/))，使得/(c)—0,这个c

是它的一个周期.

也就是方程y(x)=()的根.注意以下两点：①满足条

⑤若定义在R上的函数加)的图象关于点(a,

件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有

c)成中心对称，又关于直线x=6(b>a)成轴对称，则

零点.

兀0是周期函数，是它的一个周期.

2.常用重要结论

提示：要注意x)与兀v+a)=/(x—

(1)关于函数定义域为R的结论a)的区别，其中/+x)=火。一支)应明函数y=/(x)的

若外)=6以2+辰+。型函数的定义域为R,则

图象关于直线对称，而"+")=心一

有ox'+bx+c》。恒成立台.

a)(aW0)说明函数y=加)为周期函数，且

若/(》)=似纨2+瓜+。)型函数的定义域为R，为它的一个周期.

则有(7)若./(x+a)为奇函数=>於)的图象关于点

ax2+bx+c>0恒成立今.

成中心对称；若危+a)为偶函数0/(x)的

若上-型函数的定义域为R,则有图象关于直线对称.

ax-vbx-rc

3.函数的应用

ax?++cW0恒成立㈡.

解函数应用题的基本过程为：

(2)函数单调性的等价关系

设X\,X2G[<7,b],X|WX2，那么(X]—X2)[/(X1)

一/(必)]>0台在[a,b]上是增函数；s

的实际问题.

经典例题解析

类型一函数的概念与性质

麴⑪(1)(2013•山东)已知函数兀0为奇函

数，且当40时，兀。=?+p则<-1)=()

自评自改:A.-2B.0C.1D.2

解：../x)为奇函数，.•.八-1)=一<1)=一2.故

1-(1成为)〈/2)A^)>AX2)

(2y(x)=-/-x)y(x)=/(-x)选A.

(3)/(x+7)=Ax)无界的

【评析与探究】根据奇函数的定义，小题小做，

(4)/(x)=0兀v)=g(x).次。)46)<0

小题巧做，一步成功.

若q=0,贝防=0,c20,

2.(1)1a>0,(2)(2014-课标1)设函数<x),%)的定义域都

若启0,则

/WO为R,且人乃是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论

若a=0,则6=0,c>0,正确的是()

[a>0,A./(x)g(x)是偶函数B.l/(x)以x)是奇函数

若oKO,则八C./(x)|g(x)|是奇函数D.JAx)g(x)|是奇函数

IJ<O解：,危)%寄函数，g(x)为偶函薮，故y(x)g(x)

若Q=0,则6=0,cWO,为奇函数，Kx)|g(x)为偶函数，外)％)|为奇函友，

若aWO,贝必VOa)蛉)1为偶函数・故选C.

q/(Xi)-/区)R/3)-/但)

-<o

【评析与探究】虽然令%由例一

X\~X2X]~X2x)=/(x)|g(x)|,

(3)①原点②y轴原点③0/-X)x)=7(—x)|g(—x)|=—/(x)|g(x)|=一〃(x)也可以证明C

④相同相反(4)增函数减函数(5»轴中结论的正确性，但显然用关于奇偶性的常用结论

原点解题更快捷，务请熟记.

..a-\-b—b-a-,

=

x轴⑹①x=~2®x~-③2b—2。(3)(2014•课标II)已知偶函数段)在［0,+oo)

@2b-2a⑤4b—4ax=a2a⑺30)x单调递减，<2)=0.若加-1)>0,则x的取值范围是

解：；段)是偶函数，.\Xx-l)>0号火打一1|)>0

=*2),又:/(x)在［0,+8)单调递减，.••归一平2,

解幺得一Yx<3.故填(T,3).

高考全景对接

【评析与探究】本题主要考查函数的奇偶性、

函数贯穿高中数学的全过程，它是学习高等数单调性及绝对值不等式的解法.有关抽象函数的不

学的基础，是高考数学中极为重要的内容.纵观近等式问题，一般利用函数的性质，转化成具体不等

几年的高考试题，函数在选择、填空、解答三种题式(组)求解.就本例而言，利用了偶函数性质：/(X)

型中每年都有考查，且容易题、中档题、难题都有=/(一幻=心|).

呈现，容易题往往考查函数的概念、基本性质、图

象(由图选式，由式选图及图象变换)等内容，难题(4)定义在R上的函数於)满足於+6)=危).当

-3^x<-l时，段)=一。+2)2.当一lWx<3时，/(x)

往往属综合性很强且含参的问题.主要考点：

=x,则<1)+<2)+7(3)+…+负2015)=()

1.函数的表示方法及性质(即解析式、定义域、

值域、奇偶性、单调性、周期性等)；A.335B.336C.1678D.2015

解：由已知得函数;(x)以6为周期，据分段函

2.图象变换及几种特殊函数(二次函数、指数

函数、对数函数、抽象函数、分段函数等)；数在其两段上的解析式得/1)=1，7(2)=2,./(3)=黄3

-6)=/(-3)=-1,/(4)=/(4-6)=/(-2)=0；(5)

3.函数与方程、数列、不等式等的综合运用；,

=X5-6)=X-1)=-1.X6)=X0)=0,因此用)+

4.信息解读，建立函数模型解决现实生活中

/(2)+…+/(6)=1,而2015=336义6—1.故由周期函解：•.,当xe(0,§时，/(x)=/〃(f-x+l),令

数的性质得负1)+黄2)+大3)+…+<2015)=336区1)

+/2)HM6)］—*6)=336X1—0=336.故选B.<x)=0,则f_x+l=l,解得x=l,又I.函数危)

是定义域为R的奇函数，二在区间［一|，|］±,,X-

【评析与探究】解此类题的方法，•般是先求

出一个周期内的函数值的和，再利用周期性求出结1)=一寅1)=o,川)=。:7(|)=7(—|+3)=y(-|)=

果.

-/g),W)=0,•；/(—1)=A1)=*。)=婚=

(变式1)(1)若对任意实数x,都有犬-x)=/(x),

乂一§=0.又函数/(X)是周期为3的周期函数，则

且於)在(-8,0］上是增函数，则()

A.《一()呗T)勺⑵3

函数.段)在区间［0,6］上的零点为0,1,5,2,3,

B.八—1)勺(一§<火2)9

4,y5,6,共9个.故选D.

C..2灼(-1)«一1)

屈》(2014•江苏)已知y(x)是定义在R上且

D.<2)</(一翡(-D

周期为3的函数，当xW［0,3)时，兀v)=X2-2X+^,

3

解：•.♦/(-x)=/(x),.../(2)=/(-2),而一2<一2若函数y=/(x)—a在区间［-3,4］上有10个零点(互

<一1,左)在(一孙0］上是增函数.故火2)勺(一1)勺(一

1).

结合图象亦可解此题.故选D.

(2)(2014•安徽)设函数,/(x)(xeR)满足兀v+兀)=

7(x)+sinx当O&V兀时,.危)=0,则婷)()解：函数y=/(x)-a在区间［-3,4］上有互不相

同的10个零点，即函数y=/(x),xG［—3,4］与y

A.gB.坐C.0D.-g=a的图象有10个不同交点.在坐标系中作出函数

<x)在一个周期［0,3)上的图象如图，可知当0<。

解：姆力=彳崂+而吊^^川十而半+时满足题意.故填(0,().

兀

si.n17=/5^+,s,.n5n+,si.nUTT+,si.n17K=0n^+l-1+,

~ATjT—-22【评析与探究】解答本题要求具备依据函数的

3=3.故选A.对称性、周期性等知识正确作图的能力以及理解函

数的零点、方程的根的几何意义的能力，这类题是

高考的热点.

(3)(2014•湖南)若<x)=/〃(e3x+l)+ax是偶函

数，贝3.底三)定义在实数集R上的奇函数Xx)的最

解法一：函数八工)=/〃如为偶函数，

e3"+1)+小正周期为20,在区间(0,10)内方程段)=0有且

故。-即3x3jc

x)=1/(x),/n(e+1)—ax=/n(e+l)+ax,仅有一个解x=3,则方程启+3)=0在［-100,400］

5，e~3x+l.3

故In~~3Vli=2ax=-3x=2ax,・・q=一彳

e十12上不同的解的个数为()

解法二:/3)=烹，+。=/(刈为偶函数，二/A.20B.25C.26D.27

解:先看［0,20)内,,./x)为R上的奇函数,

33

(x)为奇函数，.•・/(0)=0=］+。=0-。=一5.故填•)0)=0.

•••{3)=0,.♦.义—3)=0,..m―3+20)=火17)

=0.

XVX-10)-X-10+20)=X10),且一一10)=

-X10)，即一A10)=/(10),.；/(10)=0,<20)=/(0)

(4)已知兀r)是定义在R上且以3为周期的奇函

=0.

数，当xe(o,号时,y(x)=/〃(x2—x+i),则函数/(x)

...在［0,20)内有犬0)=火3)寸10)=义17)=0,

X

在区间［0,6］上的零点个数是()共四个根.令4+3=7,!fliJ/e［-22,103］=［-22,

A.3B.5C.7D.9

-20)U［-20,0)U［0,20)U-U［80,100)U［100,

103］,在［-22,-20)内有0个根,在［100,103］内

有2个根，每个整周期内有4个根.

故-f)=0在4G［—22,103］内有2+0+4X6=

26个根，，与x一—对应，故原方程有26个根.故

选C.

解：在同一坐标系中分别画出函数y^Ax),y

=ga)的图象如图所示，方程y(x)=g(x)看两个不相

类型二函数的零点及函数与方程

等的实根，等价于两个函数的图象有两个不同的交

点，结合图象可知，当直线y=6的斜率大于坐标

《例3》已知y(x)=x'-6x?+9x-"c,a<b<c,原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y=x-l的

且X。)=大力=y(c)=o.现给出如下结论：斜率时符合题意，故3〈人<1.故选B.

GMo)/(i)>o；(gy(OMi)<o；

<§Moy(3)>o；刨0求3)<。

其中正确结论的序号是()类型三函数模型与实际应用

(2013•重庆)某村庄拟修建一个无盖的

圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径

为「米，高为〃米，体积为忆立方米.假设建造成

本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方

米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的

总建造成本为12000K元(兀为圆周率).

解法一：设g(x)=x3—6x?+9x,令g(x)=0,可(1)将〉表示成『的函数■(，•)，并求该函数的定

得x=0或x=3,令g'(幻=3/-12x+9=0,可得义域；

x=l或x=3,由此可得函数g(x)的图象如图所示，(2)讨论函数■&)的单调性，并确定厂和h为何

•.•函数/(x)=g(x)-a历有三个零点：a,b,c,.•.函值时该蓄水池的体积最大.

数处0=8(》)一。加的图象为函数g(x)的图象向下平解：(1)：蓄水池侧面的总成本为1002兀附=

移abc个津位，且0<abc<4,作出函薮/(x)的图象如200兀历元，底面的总成本为160兀/元，

图所示，由图象可得；(0)<0,川)>0,火3)<0,...蓄水池的总成本为(200w/?+160兀/)元.

寅0次1)<0,<0求3)>0,即结论②③正确.又据题意200兀，为+160兀/=120007T,

解法二：•.,y(x)=x3—Gx2+Qx—'.f(x)|jr

所以/j=—(300—4r2),从而r(r)=Tir2/?=^(300r

=3X2-12X+9=3(X-1)(X-3),令/(X)=0,得x=l

或x=3.依题意有，函数7(x)=x'—6x?+9x—a6c的-4J).

图象与x轴有三个不同的交点，故<1)/(3)<0,即(1Vr>0,又由〃>0可得

—6+9—abc)(33—6X32+9X3—abc)<0,故函数■&)的定义域为(0,5小).

0<abc<4,.\A0)=—"c<0,<1)=4-4历>0,犬3)(2)VK(r)=^(300r-4r3),故P(r)=7(300-

=—abc<0,故②③是对的，故选C.

⑵2).

【评析与探究】欲判断零点需画函数的图象，令『(厂)=0,解得n=5,『2=-5(舍去).

欲画函数的图象需判定单调性和极值点，于是求导当，G(0,5)时,V(r)>0,故■&)在(0,5)±

顺理成章.为增函数；

当rG(5,5小)时,V(r)<0,故■&)在(5,55)

底圣)(2014•山东)已知函数40=k一2|十上为减函数.

1，g(x)=Ax若方程/(x)=g(x)有两个不相等的实根，由此可知，■&)在厂=5处取得最大值，此时才

则实数人的取值范围是()=8.

A.(0,B.&1)即当〃=5,0=8时，该蓄水池的体积最大.

C.(1,2)D.(2,+a5)【评析与探究】解此类应用问题，应以读题f

建模一求解一作答这四个步骤为主线，而求解则要

重视导数这一重要工具的运用，同时还要注意实际

问题中函数的定义域.

第4)如图，把边长为a的正六边形纸板剪

去相同的六个角，做成•个底面为正六边形的无盖

六棱柱盒子，设高为h,所做成的盒子体积为■(不

计接缝).______

(1)写出体积「与O高〃的函数关系式；

(2)当彳为多少时，体积匕最大，最大值是多少？

解：⑴六棱柱的底边长为。一手当一3<x<0时，设刈=—(f+Sx)与M=-a(x

-1)相切，得一(x?+3x)=—<7(x—1)=>x2+(3—a)x+

a=0,令of—4q=0=>q=9(舍去)或q=

从0＜〃＜当，，底面积为

6X?XQ—¥^〃)，1.同理当x>l时，a=(舍)或a=9.因此有下表：

体积/=乎(。一¥力),ha的范围力与力交点数

a<00

—2小(〃3-仍加+射，4=02

0<a<l4

(2)/=2小(3川一2小。力+和2),令『=()得a—\3

l<a<92

力=乎。或6=坐。(舍去)，

4=93

a>94

二当上小时，「有最大值此时导小

.•.0<£7<1或a>9.

类型四函数图象及应用

国l(1)已知函数y=/(x)的周期为2,当

xd[—1,1]时兀0=*2,那么函数y=/(x)的图象与解法二：显然方程中x¥l,

2I今

函数y=|/gx|的图象的交点共有()

A.10个B.9个C.8个D.1个

解：画出y=/(x)和y=|/gx|的图象，注意x=10,令

4

则a—/+]+5.

4

因为7+76(—8,—4]U[4,+oo),

4

所以H~7+5e(-8,1]U[9,+00).

/(x)的周期为2,易知共10个交点.故选A.

4

作出y=z+；+5的大致图象如图，

【评析与探究】数形结合是种简捷、明快的

解题方法，因此掌握各种初等函数的图象及图象变结合图象可得0＜o＜l或。＞9.故填(0,1)59,

换技巧是至关重要的.+(»).

(2)(2014•天津)已知函数/(x)=p+3x|,x&R【评析与探究】作出草图后数形结合，注意：

若方程外)一小一11=0恰有4个互鼻的实数根，则①熟练掌握由了=兀0的图象作y=|/(x)|图象的作图

规则；②弄清楚夕=小一1|中，随着。的变化，函

实数。的取值范围为.

解法一：显然。＞0,画出刈=/)=卜2+3》|与数图象是如何变化的；③。＞9的情形不要遗漏.

»=。,一1|的图象，方程有4个互异的实数根等价

(变式5)(1)(2013•山东)函数y=xco&r+sinx

于两函数图象有4个不同交点.

的图象大致为()

—2(x2—6zx—2)

(X2+2)

因为函数兀0在区间［-1,1］上是增函数，所以

/(x))0在区间［-1,1］上恒成立.构造函数g(无)=

x'~ax—2,

,满足题意的充要条件是：

g(1)WO,1—a-2^0,

*0—1WaW1.

[g(-1)WO[1+。-2W0

故所求的集合4为[-1,1].

2x—ci1

(2)由题意得：黄运=：得到：X2—(7X—2=0.

解：利用排除法，首先函数y=xcosx+sinx为因为/=J+8>0.所以方程恒有两个不等的根

奇函数，故排除&又》=兀时，夕=一兀<0,故排除

为内，X2.由根与系数的关系有：

A-,当x=5时，y=l>0,故排除C.故选D.

\x\+x2-a,,---------5------

|X|—X2|—yj(阳+》2)—4X［X2

lX］X2=-2

=^/a2+8.

x-1——x^~0

(2)已知函数‘x''则关于x的

因为a&A,即izG［—1,1］,所以|XL闯=

。x=0,、〃2+8W3.要使不等式m2+tm-\-1对对任意

方程［/WF+帙x)+c=O有5个不同实数解的充要a^A及/€［—1,1］恒成立，当且仅当m2+Zm+123

条件是()对任意的1］恒成立，构造函数矶/)=毋+

A.b<—2且c>0B.b>—2且c<0/加―^二切+加2—2,问题转化为O(/)》0对任意的

C.*一2月.c=0D.62-2且。=0/可一1,1］恒成立.

(P(1)20,/772+/7?—2^0,

解：由［Ax)f+〃a)+c=o,得、於)=%和.加0则=>,病—，〃—2对今后2或

=，2(，iW，2)，要使y(x)=，］和y(x)=，2对应的不共有5_(p(—1)NO

个，画出於)的图象如图，由图可知，当，1=0目」2>2mW-2.

时才能满足条件，故6=/也=0，一/>=4+，2>2=>X故存在满足条件的实数〃3其取值范围为

{m\m^2或，〃W—2}.

—2.故选C.

【评析与探究】①本例综合了二次函数的图象、

根与系数的关系、不等式恒成立问题的处理方法、

变更主元的技巧，体现了函数方法与函数知识的综

合运用.②解决这类综合性问题，思路要清晰，一

般需要进行多次的转化与化归.③处理不等式恒成

立问题，应注意以下三者的区别：

⑺。次X)恒成立台。引仁)1rax；

(ii)a次x)有解0aXx)min；

类型五综合运用("i)a=Ax)有解台。6段)的值域.

说明：⑴中的充要条件要求./)111ax必须存在，

已知函数{x)=§^(xGR)在区间［一但显然有/(x)的值域为S，。)的情形，此时。如)恒

成立今为了简单起见，本书中多处提到的存在

1,1］上是增函数.成立问题的转化均以最值存在为前提，值域为伯，

(1)求实数。的值所组成的集合4c)及类似情形照此转化即可.

(2)设关于X的方程兀V)=§的两实数根为X"X"

C变㈤已知定义在R上的函数F(x)满足尸a

试问：是否存在实数相，使得不等式m2+tm++y)=F(x)+F(y),当x>0时，F(x)<0,且对任意的

1川为一》2|对任意“G4及1］恒成立?若存%e［0,1］,不等式尸(2日一工2)<尸伙一4)成立，

在，求出机的取值范围；若不存在，请说明理由.(1)求证：函数尸(x)在R上为减函数；

解：(W(x)=(2)求实数％的取值范围.

(2x—“)'(x、+2)—(2x-a)(x、+2)'解：(1)证明：设X1〈X2，则孙―Xl>0，；，(X2一

(X2+2)2X1)<O.

...F(X2)=F(X2-X,)+F(xl)<F(xl).

函数Qx)在R上为减函数.

(2)V函数F(x)在R上为减函数，横坐标不变，纵坐标y=Af(x)

...2依一;?>左一4在xG[O,1]时成立，变为原来的4倍(4>0)

|y=f(x)H

依题有<x)=d—2丘+后一4<0在xG[O,1]时成纵坐标不变，横坐标y=f(ax)

(a>0)

立,变为原来的/倍

/(0)<0,4.求函数值域(最值)的常用方法

解得一3<M4.(1)基本函数法；(2)配方法;

/(1)<0.

(3)换元法：(4)不等式法；

(5)函数的单调性法；(6)数形结合法;

«规律方法点拨(7)函数的有界性法；(8)导数法.

5.函数解析式的求法

(1)待定系数法；(2)换元法；

(3)解方程组法；(4)配凑法.

I规律方法】6.构造辅助函数解决方程、不等式等问题

将方程根的分布或根的个数问题转化为相应函

1.证明函数单调性的方法数的零点的分布或零点的个数问题.

(1)定义法；

(2)求导法；

【易错警示】

(3)复合函数法.

2.求解有关函数的奇偶性、单调性、对称性、

周期性问题的方法1.求解与函数有关的问题，易忽略定义域优

(1)具体函数抽象化(即当问题给出具体函数时,先的原则.函数的定义域是函数定义的三要素之一,

往往先判断其性质，再运用性质解题)；而考生在解有关函数的题目时，往往把注意力集中

(2)抽象函数具体化、图形化；在解析式等问题上，易因忽视定义域而出错.

(3)运用常用结论.2.判断函数奇偶性时，