高中数学-均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE5PAGE3.2.1《均值不等式》教案一、教学目标确立依据1.课程标准要求及解读（1）课程标准要求基本不等式：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。（2）课程标准解读课程标准对均值不等式要求探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。这个要求可以分为两个层次：一是探索并了解基本不等式的证明过程；二是会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。从第一个层次来看，要达到“探索并了解”，需要三个步骤：首先要给学生创造相关的问题情景，启发学生的思维，获取感性认识。其次通过问题探究让学生步步深入，剖析特点；最后利用不等式的性质将得出的结论，进行完整的证明，并明确使用均值不等式的三个条件。第二个层次是应用层面，因此要通过适当的例题、习题和变式训练，引导学生明白对式子如何变形才可满足运用均值不等式的条件。2.教材分析本节是高中人教B版《数学》必修5第三章不等式第二节的内容。本节内容的教学需要两个课时，这是第一课时。高中数学不等式是初中不等式知识的完善和提升，更是高等数学的基础，起着承前启后的作用．高中不等式与其他知识联系紧密，具有工具性功能．

高中数学课程标准加强了不等式知识与实际生活的联系，力求体现数学来源于现实的真谛，教学中也更为突出不等式在解决实际问题中的工具作用．均值不等式的的三个条件是学生掌握的重点也是用均值不等式解决实际问题的易错点。教学重点：理解均值定理并运用其解题。教学难点：均值不等式成立的三个条件，也是学生用均值不等式解决实际问题的易错点。难点突破方法：①多观察、勤类比、善归纳、重建构②题组引路、逐层深化、归纳总结、明确要点3.学情分析从知识方面看：通过对必修五模块第一节不等关系与不等式的学习，以及学生在初中对一些不等式知识有一定的掌握，相关技能和能力有了一定的提高，均值不等式的推出即证明过程学生可顺利的出，但均值不等式的运用，以及式子的变形是对学生的一个新的要求。因此，还需要学生有一个逐步熟悉的过程。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习，对学习有着较浓的学习兴趣。从能力上看，预测学生思维活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面，不够严谨，而且缺少系统的分析问题和解决问题的能力。二.学习目标学习目标1：学生通过情境引入，由会标面积中蕴含的不等关系导出均值不等式。学习目标2：学生通过讲解，明确均值不等式的代数、几何解释，并熟记公式及变形。学习目标3：学生通过探究，进一步明确均值不等式运用的条件及解决的问题，能熟练运用不等式求最值。三、评价设计目标1评价：学生独立思考、小组合作，用大屏幕投影学生探究结果，教师归纳总结，至少98%达成目标1。目标2评价：学生通过教师的点拨，自主或集体回答出均值定理的代数、几何解释，并熟练记忆公式及其变形。至少98%达成目标2。目标3评价：学生独立思考后，表述自己的发现，由老师总结提升，能熟练运用基本不等式求简单的最值，至少95%达成目标3。德育目标德育目标1：通过数学家的故事激发学生的学习热情，引导学生做人的道理，鼓励学生攀登数学高峰。德育目标2：通过公式的推导，使学生在兴趣与动机、自信与意志、态度与目标等方面获得发展，在数学学习中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心；养成尊重客观事实的态度，并具有勇于创新的精神，以及独立思考与合作交流的习惯.德育目标3：利用闯关游戏，适时地引入竞争机制，能激发学生学习的内在动力和兴趣。让学生在竞赛中体验到成功的快乐，增强自信心，提高自觉性和自制力，并且培养学生科学严谨的数学精神；利用生活的问题告诉学生数学来源于生活并用以解决生活问题。德育目标4：运用符号、色彩、线条、图形等因素，通过精炼的数学语言、巧妙的解题方法、整洁的板书设计，展示出数学的外形美和内在美,使学生从抽象的符号中看到美的形象，从逻辑推理中领略到美的神韵，从表面的形式中体味到内蕴的那种数学特有的内在美。五、教学方法与学法教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、师生互动等教学手段。通过学案导学，以问题探究式教学法和合作探究教学法为主，通过问题引领，引导学生独立思考，自主学习，通过同桌合作或小组合作的形式开展探究活动，让学生的潜能得到发挥，思维得到融合和升华。根据本节课知识点较少，例题和习题较多的特点，我采用多媒体和投影仪作为辅助教学。六、教学流程（一）创设情境——引入课题右图是北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标的设计源于中国古代数学家赵爽为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们。【设计意图】教师由菲尔兹奖引出数学家田刚，利用田刚的故事激励学生的学习斗志，教导学生为人处事的方式。本环节是对学习目标1德育目标1的落实和检测。(二)步步探究——形成概念【自主探究1】我们仔细观察一下会标，它是个非常漂亮的中心对称图形。其红色部分是由4个全等的直角三角形组成，整体围成一个大正方形.设直角三角形的长为m、n，那么正方形的边长为，我们从面积的角度出发，以小组为单位来探究一下第1组的4个问题【问题1】比较正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不等关系？【问题2】上式能否取到等号？什么时候取等号？【问题3】上式中m、n的范围能扩大吗？【问题4】你能给出证明吗？【学生活动】学生仔细观察，独立思考，小组讨论4个问题，由学生代表分享结果。【教师活动】通过投影仪展示学生探究结果：恭喜大家发现了一个重要不等式结论：（板书）一般地，对于任意实数m、n，我们有，当且仅当m=n时，等号成立。【问题5】如果用a和b分别代替上式结论中的、则需要满足什么条件？【问题6】替换之后能得到什么结论？什么时候取等号？【问题7】你能给出证明吗？【学生活动】学生独立思考，小组讨论3个问题，由学生代表分享结果。【教师活动】通过投影仪展示学生探究结果：恭喜大家又发现了一个重要不等式结论：（板书）均值定理如果,那么当且仅当时等号成立。【设计意图】让学生通过自己的观察、分析、比较、证明得出公式，增强了学生的感性认识，激发学生的兴趣，以趣引思，利用心理学中情境的暗示作用，使学生自觉不自觉地参与到情境中的角色，调动学生学习新知识的积极性，激发学生的学习热情；培养了学生仔细观察、认真分析、严谨论证的良好的探究学习习惯及勇于探索精神。本环节是对学习目标1，德育目标2、4的落实与检测。【自主探究2】【问题8】你能用文字形式把均值定理表达出来吗？【问题9】均值定理的几何解释是什么？【问题10】观察均值不等式的结构特点，你是否可以把公式变形，公式可以解决什么问题？【学生活动】学生独立思考问题，主动回答问题。【教师活动】总结提升学生的回答均值定理可以表述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数几何解释：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。圆心为O,OD为半径,CD为半弦他们的关系，用语言如何表述？均值不等式几何意义是“半径不小于半弦”公式变形（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立）【设计意图】学生独立思考，自主完成，从不同角度归纳基本不等式，加深对基本不等式的理解。渗透数形结合的数学思想。在倾听的基础上，引导学生对“核心概念”再思考，鼓励学生主动参与，引导学生用精练的语言进行表达，逐渐提高语言表达能力。引导学生对寻找不同的证明方法，培养学生科学的探索精神。本环节是对学习目标2，德育目标4的落实与检测。（三）互动探究教学相长【自主探究3】已知，求证：，并推导出式中等号成立的条件。变式：若上式条件改为，结论发生什么变化？【问题11】通过这组对比，你能发现要运用均值定理必须首先满足的条件吗？【自主探究4】（1）邻居打算用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菊花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？邻居打算用一段长为36m的篱笆围成一矩形菊花园，问这个矩形的长与宽各为多少时，菊花园的面积最大。最大面积是多少？【问题12】通过这组对比，你能发现均值定理主要解决的是哪两类求最值的问题吗？在求最值时必须得体现出什么才能求出最值？【快速回答】判断真假：若，则，即其最小值为4【问题13】通过这个题目你能发现运用定理取得最值最后要验证什么吗？【问题14】通过这组题目，你能总结出运用均值不等式要注意的三个问题吗？【设计意图】引入闯关游戏，分层完成，激发兴趣，使学生体会概念应用模式，学会捕捉问题切入点，通过对三组题目的探究，由学生自己发现运用定理的条件“一正、二定、三相等”，明确定理主要解决的问题。本环节是对学习目标3德育目标3的落实与检测。（四）学以致用巩固提高在不同条件下，利用均值定理求出函数的最值，并求出相应的变量值（1），y=（2），y=（3），y=(4)(x>1) 【设计意图】学以致用。本环节是对学习目标3的落实与检测。（五）回顾反思——交流收获这节课学习了什么知识，有哪些方面的运用，运用的时候有什么限制条件？体现了什么数学思想？你能回想下我们在什么地方用到这种思想？自查反馈表（掌握情况可用A、好B较好C一般）学习目标达成情况习题掌握情况学习目标达成情况习题题号掌握情况目标1公式及变形目标2深化知识目标3能力提升【设计意图】多元联系、多元思考，发挥学生的主观能动性，突出其主体地位。（六）课堂小测——巩固反馈必做1.下列叙述中正确的是（）.（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值2下面给出的解答中，正确的是（）.（A）y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·eq\f(1,x))＝2，∴y有最小值2（B）y＝|sinx|＋eq\f(4,|sinx|)≥2eq\r(|sinx|·eq\f(4,|sinx|))＝4，∴y有最小值4（C）y＝x（－2x＋3）≤eq（eq\f(x－2x＋3,2)）\s\up8(2)＝eq（eq\f(－x＋3,2)）\s\up8(2)，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值eq（eq\f(－1＋3,2)）\s\up8(2)＝1（D）y＝3－eq\r(x)－eq\f(9,eq\r(x))≤3－2eq\r(eq\r(x)·eq\f(9,eq\r(x)))＝－3，y有最大值－33、求函数的值域，并说明取得最值时的取值。选做4.设函数f（x）＝2x＋eq\f(1,x)－1（x＜0），则f（x）（）.（A）有最大值（B）有最小值（C）是增函数（D）是减函数答案1.B2.D3.4.A【设计意图】考察学生所学，检验知识漏洞。（七）布置作业——课后提高（1）基本作业：A层课本课本71页练习A2,3B层72页练习B4,5（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．（3）探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．【设计意图】通过基本作业，巩固学生本节课所学知识；通过拓展作业和研究作业，培养兴趣，提升素养。课后反思本节课我对《均值不等式》的教学是采用引导提问式的教学方式进行的，不是对学生进行知识的硬性灌输，而是通过问题的引入，问题的探究进行循序渐进式的引导式教学，让学生在研究问题的过程中体会知识的形成过程，在解决问题的过程中掌握知识的内容与实际应用，真正实现了以学生为主体的课堂教学。在教学设计上，也力求调动一切积极因素，尽最大的可能激发学生的学习兴趣。在教师的引导启发下，能使学生的思维真正的围绕“探究”步步深入，层层递进，能在最大限度上挖掘学生的学习潜能，也能更充分的体现学生学习的学习主体性。我认为本节课能达到以下教学效果：1、科学设置学习目标，教学目标是教学活动的出发点，也是教学活动的归宿，在教学活动中处于核心地位。教学目标是课堂教学的指挥棒，是所有教学行为的指路明灯，具有导向作用。本节课，我确定了三个学习目标。学习目标的细化，使学生明确本节课要做什么，怎样做，做到什么程度，而且我把三个目标简化在黑板上，适时回扣目标，本节课的三个学习目标全部达成。2、生活情境激发学生学习的兴趣，用赵爽弦图引入课题，通过均值不等式的探究过程增强了学生的自信心，更能帮助学生感受研究方法的思想渗透；3、通过具体实例的研究探讨，让学生通过动手操作，合作交流，使学生能自己主动的发现，理解并掌握均值不等式。4、精心设置问题串，教学中，我设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使他们经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方法。通过问题引领学生进行思考和剖析，培养学生分析问题,解决问题的能力,使学生充分体会自主探索获得知识的成就感。在教学过程中贯彻新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生品味知识的形成过程。5、均值不等式的的应用，尤其是例题和练习的具体感知更培养了学生分析、抽象、概括、逻辑推理的能力以及运用属性结合思想解决实际问题的能力；让学生自主探究，主动回答问题，班级学习气氛浓厚，多个问题出现几生抢答的良性竞争局面。鼓励学生讲解例题及练习，既培养了学生的能力，由提高了学习兴趣，让学生真正成为课堂的主人。6、多媒体的辅助教学恰到好处，更深层次的激发了学生的学习兴趣，有效突破学习的重难点，使问题的探究变得更加直观、形象、易懂，更有效的提高了课堂教学效率。不足之处：1、第四环节在均值不等式的应用处，速度控制不适合。2、虽然班级抢答、自主回答等学习气氛浓厚，但有的孩子由于种种原因没有参与进来，有的孩子一节课表现了多次，没有把机会让给其他孩子。后续改进：1、加强培养尖子生的带头作用，继续发展15人左右的答疑团队，让他们无论在课堂还是课下，都发挥自己的数学优势，带领组上其他学生的进步。2、加强基本功训练，提高语言的精炼与艺术性。学情分析从知识方面看：通过对必修五模块第一节不等关系与不等式的学习，以及学生在初中对一些不等式知识有一定的掌握，相关技能和能力有了一定的提高，均值不等式的推出及证明过程学生可顺利得出，但均值不等式的运用，以及公式的变形运是对学生的一个新的要求。因此，还需要学生有一个逐步熟悉的过程。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习，对学习有着较浓的学习兴趣。从能力上看，预测学生思维活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面，不够严谨，而且缺少系统的分析问题和解决问题的能力。从学生的思维特点看，不等式的成立，容易联系不等式的相关性质。不利因素是：本节课的重点讲均值不等式求最值，对等号是否成立，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用过程中更容易出错。所以我特意设置一个辨一辩的环节，借此引起学生的重视。从学生的不同层次来看学优生在公式推导和运用方面掌握的较好。因此组织了三次小组讨论，并且在当堂小测环节设置了A组和B组两组习题，让不同层次的孩子都有所收获。效果分析（1）从目标达成上看：学生在课堂上学习气氛热烈，兴趣浓厚，回答老师提问积极主动且正确率高，板演、上台展讲等环节，表现的也都很优秀，教师在课堂巡视时，发现除学案例题2的变式练习外，其它课堂练习完成情况很好。学案例题2的变式练习，学生根据老师的提示，重新作答，也很好的完成。根据上面检测，前2个目标至少40人达成，第3个目标38人达成，很好的完成了预设目标。（班级43人）（2）从重、难点突破上看：均值不等式能运用好的关键是认准均值不等式成立的条件，以及什么样结构的式子适合用均值不等式求最值。对于学生来说，能一眼看到定值的还可以应付，稍微复杂或定值不太明显的题目，学生还是缺少一定的认识。这方面的练习要强化一些。因此我在教学中着力在这儿做文章，舍得花时间营造知识形成过程的氛围，通过问题串引导学生，突破学生学习的障碍点．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，引导学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。通过我的合理有效的问题串的引导，学生通过小组合作探讨，比较顺利得辨别出均值不等式的使用环境，轻松突破本节课的重、难点。（3）从课堂观察量表上看：观课中老师使用了课程观察量（附件1），共有10名数学教师进行观课，有1名教师给打了99分，6名教师给打了98分，3名教师给打了97分，平均得分为97.8分，平均得分比较高，说明总体效果较好。从课程观察量表各项得分上看，教师的课堂设计和课堂处理都达到了很好的评价，学生的参与度非常高、学生间的合作与小组间的合作很强、学生的思维状态很活跃，学习的效果较好。（4）从课堂检测批改情况来看：课堂小测批改情况是：全班共43人，全对的有38个同学，有4个同学错在B组练习。从这个结果可以看出，本节课学生基本掌握了所学内容，完成了学习任务。从上面的分析知，本节课所授内容基本与预设效果一致，评略得当，重点突出，难点突破。在问题的引入、讲解及应用的处理方法、时间安排都把握的比较好，能够引导学生积极主动地探索，使学生学习兴趣浓厚，自主高效地完成课堂学习。根据课堂检测和课后反馈练习的批改情况，可以看出学生对公式的运用非常好，完整地实现了教学目标。附件1：课堂教学质量评价量表授课教师：________课题：____________________评价者：________评价项目评价指标权重得分教的方面59分教学目标10分1．目标切合教材要求和学生实际52．情知和行为目标结合和谐，可操作，能落实33．目标对不同层次学生有不同的达标要求2教学内容6分4．知识正确，容量适当，学生能接受25．把握教材内在联系和重点突破26．以教材为例，训练学生能力，指导学法2教学过程8分7．教学活动每一节流程结构合理，体现教学思路与学生思维，心理协调，有利于学生认知结构的建立48．结构流程有利于学生参与学习实践29．教学节奏密度适当，时空分配合理110．具有本学科课型特点1教学手段10分11．教法注意提示认知规律和学法指导412．情景创设恰当、有效213．问题系列设计严谨，情知有机交融、和谐314．教法体现对学生能力的培养，情感的激发1教学调控效果检测8分15．对学生信息及时反馈，有效纠正，完成教学任务216．精心安排有层次性、针对性和开放性的练习活动217．以师之情唤生动情，师生和谐平等218．给学生一定消化思考的余地，课业负担合理，轻负高效2教师素质12分19．教态大方自然，语言准确简炼；演示操作规范，指导得法；板书科学、工整、美观520．运用直观教具、现代教学媒体等，使用正确熟练，合理优化521．善于组织教学，能随机调整2教学特色5分22．在课堂结构创设学境、教法和媒体运用等方面有独特创举，效果显著5学的方面41分参与状态15分23．全员参与第23项至27项只能选择其中一个分数等级1524．有个别学生不参与1225．有10%左右的学生不参与1026．有20%左右的学生不参与727．1/3以上的学生不参与3交往6分28．有多边、丰富、多样的信息联系629．课堂上的人际交往有良好的合作氛围5思维状态12分30．敢于提出问题、发表见解531．问题与见解有挑战性与独创性532．能联系实际举一反三展开创造2情绪状态8分33．有适度的紧张感和愉悦感234．能自我控制与调节学习情绪235．入境生情，意志得以锻炼236．情感共鸣的表露自然、明显2综合评价评语教材分析本节是高中人教B版《数学》必修5第三章不等式第二节的内容。本节内容的教学需要两个课时，这是第一课时。高中数学不等式是初中不等式知识的完善和提升，更是高等数学的基础，起着承前启后的作用．高中不等式与其他知识联系紧密，具有工具性功能．

高中数学课程标准加强了不等式知识与实际生活的联系，力求体现数学来源于现实的真谛，教学中也更为突出不等式在解决实际问题中的工具作用．均值不等式的两个作用非常重要：第一是证明不等式。第二个作用是求最值。用来求最值时三个条件缺一不可，这是学生掌握的重点也是用均值不等式解决实际问题的易错点。教学重点：理解均值定理并运用其解题。教学难点：均值不等式成立的三个条件，也是学生用均值不等式解决实际问题的易错点。难点突破方法：①多观察、勤类比、善归纳、重建构②题组引路、逐层深化、归纳总结、明确要点课后练习