考点22三角函数的图象和性质9种常见考法归类（原卷版）

考点22三角函数的图象和性质9种常见考法归类考点一三角函数的定义域考点二三角函数的值域(最值〕〔一〕y＝Asin(ωx＋φ)型函数值域〔二〕二次函数模型〔三〕分式型〔四〕依据三角函数的值域〔最值〕求参数考点三三角函数的图象考点四三角函数的周期性考点五三角函数的单调性〔一〕求三角函数的单调区间〔二〕比拟三角函数值的大小〔三〕依据三角函数的单调性求参数考点六三角函数的奇偶性推断三角函数的奇偶性〔二〕依据奇偶性推断三角函数图象〔三〕依据奇偶性求函数值〔四〕依据奇偶性求参数考点七三角函数的对称性考点八三角函数的零点考点九三角函数性质的综合应用求三角函数定义域实际上是构造简洁的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．注：解三角不等式时要留意周期，且k∈Z不行以忽视．〔1〕分式：分母不能为零；〔2〕根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，〔如，只要求〕对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；〔假设偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求〕〔3〕零次幂：中底数；〔4〕对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；〔5〕三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为假设，那么2.求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型(1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域(2)形如y＝asinωx＋bcosωx＋k的三角函数,可设,逆用和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数型,再求值域(最值)；对于由两类函数作和、差、乘运算而得到的函数；例如①〔特殊的可先用和差角公式绽开化为y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式;②即逆用倍角公式化为y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式;进一步都可以转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后结合一次函数求最值。总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数型,再由三角函数的有界性得解.(其中为正弦或余弦函数,为常数)(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，当心定义域对值域的限制；对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。=(4)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设＝t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要留意的取值范围；对于由与〔〕作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。(5)形如分式型：等三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。①根本类型一:、型

方法一：反解，利用三角函数的有界性;方法二：别离常数法．

②根本类型二：型．转化为，再利用帮助角公式及三角函数的有界性求其最值；3.“五点法〞作图(1)在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象外形时，起关键作用的五个点是(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).(2)在确定余弦函数y＝cosx在[－π，π]上的图象外形时，起关键作用的五个点是(－π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1).4.周期函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，假如存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.5.三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}图象(一个周期)值域[－1，1][－1，1]R最值(k∈Z)当x＝eq\f(π,2)＋2kπ时，ymax＝1；当x＝－eq\f(π,2)＋2kπ时，ymin＝－1当x＝2kπ时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π时，ymin＝－1无函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性(k∈Z)对称轴：x＝kπ＋eq\f(π,2)；对称中心：(kπ，0)对称轴：x＝kπ；对称中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))无对称轴；对称中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))最小正周期2π2ππ单调性(k∈Z)单调递增区间[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)]；单调递减区间[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)]单调递增区间[2kπ－π，2kπ]；单调递减区间[2kπ，2kπ＋π]单调递增区间(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))奇偶性奇函数偶函数奇函数6.关于周期性的常用结论(1)并不是每一个函数都是周期函数，假设函数具有周期性，那么其周期不唯一.例如，2π，4π，6π，…以及－2π，－4π，－6π，…都是正弦函数的周期.同时，不是每一个周期函数都有最小正周期，如f(x)＝2(x∈R).(2)假如T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.(3)周期函数的定义域是无限集.(4)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.因此要讨论某周期函数的性质，一般只需要讨论它在一个周期内的性质.(5)最小正周期是指使函数重复消失的自变量x要加上的最小正数，是对x而言，而不是对ωx而言．7.求三角函数的周期，一般有三种方法定义法：直接利用周期函数的定义求周期．使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采纳取值进行验证的思路，特别适合选择题；公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|)，对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先将其化为y＝eq\r(a2＋b2)·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为eq\f(T,2)，相邻两对称中心间的距离也为eq\f(T,2),相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数取最值的点与其相邻的零点距离为.函数的对称轴肯定经过图象的最高点或最低点．(4)肯定值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加肯定值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加肯定值，其周期性不变，其它不定.如的周期都是,但的周期为，而，的周期不变.8.与三角函数的奇偶性有关的问题〔1〕对于函数〔A>0,ω>0〕：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数．〔2〕对于函数〔A>0,ω>0〕：时，函数为偶函数；时，函数为奇函数．9.与三角函数的单调性有关的问题〔1〕求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得．〔2〕当ω<0时，先利用诱导公式将变形为，将变形为，再求函数的单调区间．〔3〕当A<0时，要留意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆．10.三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.(3)假设是选择题利用特值验证排解法求解更为简捷．11.比拟三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比拟大小．12.对正弦函数、余弦函数最值的三点说明(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1．(2)函数y＝sinx，x∈D，(y＝cosx，x∈D)的最值不肯定是1或－1，要依靠函数定义域D来打算．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换〞，即令ωx＋φ＝Z，将函数转化为y＝AsinZ的形式求最值．13.正切函数单调性的三个关注点(1)正切函数在定义域上不具有单调性．(2)正切函数无单调递减区间，有很多个单调递增区间，在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，(eq\f(π,2)，eq\f(3,2)π)，…上都是增函数．(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))∪(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))∪…上是增函数．14.三角函数对称轴和对称中心的求解方法(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点．(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2ω)－\f(φ,ω)，0)).上述k∈Z.15.三角函数性质的综合探究函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)的综合应用时，可利用换元思想(令t＝ωx＋φ)，将ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sinx，x∈R(y＝tanx)的性质求解．对于y＝asinx＋bcosx型的函数，首先用帮助角公式将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式；假设弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式．考点一三角函数的定义域1．〔2023·全国·高三专题练习〕函数的定义域为________________．2．〔2023·全国·高三专题练习〕函数的定义域为______．3．〔2023·全国·高三专题练习〕函数的定义域是______.4．〔2023·全国·高三专题练习〕函数的定义域是____________．5．〔2023·全国·高三专题练习〕函数的定义域是〔

〕A． B．C． D．6．〔2023·全国·高三专题练习〕函数的定义域是________.考点二三角函数的值域(最值〕〔一〕y＝Asin〔ωx＋φ〕型函数值域7．〔2023·上海·高三专题练习〕函数，，那么函数的值域为______．8．〔2023·全国·高三专题练习〕函数的最大值为________，最小值为________.9．〔2023·甘肃酒泉·统考三模〕假设函数的最小值为，那么__________．10．〔2023·全国·高三专题练习〕在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.，那么的取值范围是〔

〕A． B． C． D．11．〔2023·江西·校联考模拟猜测〕是函数的最大值，假设存在实数使得对任意实数总有成立，那么的最小值为〔

〕A． B． C． D．12．〔2023·河北·统考模拟猜测〕如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为_________．13．〔2023·四川自贡·统考一模〕函数在的最大值为7，最小值为3，那么ab为〔

〕A． B． C． D．〔二〕二次函数模型14．〔2023·全国·高三专题练习〕函数的最小值为______．15．〔2023·全国·高三专题练习〕函数的最小值是〔

〕A． B． C． D．16．〔2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟猜测〕函数的值域是___________.17．〔2023·江西鹰潭·贵溪市试验中学校考模拟猜测〕函数的值域为__________．18．〔2023·全国·高三专题练习〕假设方程在内有解，那么a的取值范围是______．19．〔2023·全国·高三专题练习〕函数的最大值为〔

〕A． B．3C． D．420．〔2023·全国·高三专题练习〕函数的值域为_____________．〔三〕分式型21．〔2023·全国·高三专题练习〕求函数的最大值及最小值．22．〔2023·四川达州·统考二模〕假设，，那么实数m的取值范围是______.〔四〕依据三角函数的值域〔最值〕求参数23．〔2023·全国·高三专题练习〕函数，的值域为，那么实数的取值范围为〔

〕A． B． C． D．24．〔2023·四川泸州·统考模拟猜测〕函数，假设不等式对任意的恒成立，那么实数的取值范围为___________.25．【多项选择】〔2023·全国·高三专题练习〕假设函数在区间的最大值为2，那么的可能取值为〔

〕A．0 B． C． D．26．〔2023·全国·高三专题练习〕假设函数在区间上的最大值是，那么〔

〕A．2 B．1 C．0 D．27．〔2023·上海·高三专题练习〕假设函数〔常数〕在区间没有最值，那么的取值范围是__________.28．〔2023·上海·高三专题练习〕，函数在区间上有唯一的最小值2，那么的取值范围为______________．29．〔2023·全国·高三专题练习〕函数在内恰有两个最小值点，那么ω的范围是〔

〕A． B．C． D．考点三三角函数的图象30．〔2023·全国·高三专题练习〕函数.(1)利用“五点法〞完成下面的表格，并画出在区间上的图象；(2)解不等式.31．〔2023·辽宁丹东·统考二模〕函数，．(1)假设为的最小正周期，用“五点法〞画在内的图象简图；(2)假设在上单调递减，求．32．〔2023·全国·学中学校联考二模〕设，函数的最小正周期为，且图象向左平移后得到的函数为偶函数.(1)求解析式，并通过列表､描点在给定坐标系中作出函数在上的图象；(2)在锐角中，分别是角的对边，假设，求的值域.33．〔2023春·江西宜春·高三江西省宜春中学校考阶段练习〕如下图，函数〔且〕的图像是〔

〕．A． B．C． D．34．〔2023·广东·高三专题练习〕函数局部图象如下图，那么函数的解析式可能为〔

〕A． B． C．D．考点四三角函数的周期性35．〔2023·全国·高三专题练习〕以下四个函数中，周期为π的是〔

〕A． B．C． D．36．〔2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模〕函数的最小正周期为〔

〕A． B． C． D．不能确定37．〔2023·全国·高三专题练习〕函数的最小值和最小正周期分别是〔

〕A．， B．， C．， D．，38．〔2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试〕函数，那么“〞是“的最小正周期为2〞的〔

〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件39．〔2023·北京东城·统考二模〕函数在一个周期内的局部取值如下表：那么的最小正周期为_______；_______．40．〔2023·安徽马鞍山·统考三模〕记函数的最小正周期为，假设，且，那么〔

〕A． B． C． D．41．〔2023·山西·校联考模拟猜测〕函数的最小正周期为T，且，假设的图象关于直线对称，那么〔

〕A． B． C． D．42．〔2023秋·江苏泰州·高三统考期末〕函数，假设，，的最小正周期，那么的值为〔

〕A． B． C． D．43．〔2023春·山西晋城·高三校考阶段练习〕函数图象的对称中心到其相邻对称轴的距离为，那么在上的值域为〔

〕A． B． C． D．44．〔2023秋·山东东营·高三东营中学校考期末〕函数，为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点．假设，那么的解析式为________．45．〔2023·河南·校联考模拟猜测〕函数，周期为，且，那么实数的最小值为_______.〔用弧度制表示〕考点五三角函数的单调性〔一〕求三角函数的单调区间46．【多项选择】〔2023·辽宁朝阳·朝阳高级中学校考模拟猜测〕以下函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是〔

〕A． B．C． D．47．〔2023·全国·高三专题练习〕函数的一个单调递增区间是〔

〕A． B． C． D．48．〔2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试〕函数在上的单调递增区间为______.49．〔2023·全国·高三专题练习〕函数，假设恒成立，且，那么的单调递增区间为〔

〕A．〔〕 B．〔〕C．〔〕 D．〔〕50．〔2023·全国·高三专题练习〕函数.(1)求的最小正周期；(2)求的单调增区间；(3)函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围；51．〔2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模〕向量，其中，假设函数的最小正周期为.(1)求的单调增区间；(2)在中，假设，求的值.〔二〕比拟三角函数值的大小52．〔2023·云南昆明·统考模拟猜测〕，，，那么〔

〕A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b53．〔2023·陕西商洛·统考三模〕，那么〔

〕A． B．C． D．54．〔2023·全国·高三专题练习〕设，，，那么〔

〕A． B． C． D．55．〔2023·河南·模拟猜测〕，，，，那么a，b，c，d的大小关系是〔

〕A． B． C． D．〔三〕依据三角函数的单调性求参数56．〔2023·天津·统考二模〕假设函数在区间上具有单调性，那么的最大值是〔

〕A． B． C． D．57．〔2023·江西赣州·统考二模〕假设函数在上单调，且满意，那么〔

〕A． B． C． D．58．〔2023·全国·高三专题练习〕函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围为〔

〕A． B． C． D．59．〔2023·湖南长沙·长郡中学校考一模〕函数的一条对称轴为，且在上单调，那么的最大值为_________.60．〔2023·全国·高三专题练习〕函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，那么的取值范围是〔

〕A． B． C． D．61．〔2023·全国·高三专题练习〕假设函数在上单调，且在上存在最值，那么的取值范围是〔

〕．A． B．C． D．62．【多项选择】〔2023·山西运城·统考三模〕函数，满意，，且在上单调，那么的取值可能为〔

〕A．1 B．3 C．5 D．763．〔2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模〕函数在上存在零点，且在上单调，那么的取值范围为〔

〕A． B． C． D．64．〔2023·全国·高三专题练习〕假设函数在上为增函数，那么实数的取值范围为〔

〕A． B． C． D．65．〔2023·全国·高三专题练习〕函数在是减函数，那么实数的取值范围是〔

〕A． B． C． D．66．〔2023·河北·统考模拟猜测〕函数在区间上不单调，那么的最小正整数值为〔

〕A．1 B．2 C．3 D．4考点六三角函数的奇偶性推断三角函数的奇偶性67．〔2023·北京西城·统考二模〕函数．那么“〞是“为偶函数〞的〔

〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件68．〔2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟猜测〕以下函数，在定义域内既是奇函数又是增函数的为〔

〕A． B． C． D．〔二〕依据奇偶性推断三角函数图象69．〔2023春·吉林白山·高三统考期中〕函数的图象可能为〔

〕A． B．C． D．70．〔2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第学校校考二模〕函数的图像大致是〔

〕A． B．C． D．71．〔2023·全国·高三专题练习〕函数的图象可能是〔

〕A． B．C． D．72．〔2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末〕我国闻名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形很多时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休〞．函数的局部图像大致为〔

〕A． B．C． D．〔三〕依据奇偶性求函数值73．〔2023·宁夏银川·校联考二模〕函数，假设，那么〔

〕A． B．0 C．1 D．74．〔2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟猜测〕函数，假设，那么〔

〕A． B． C． D．〔四〕依据奇偶性求参数75．【多项选择】〔2023·浙江·校联考二模〕函数为奇函数，那么参数的可能值为〔

〕A． B． C． D．76．〔2023·贵州贵阳·校联考模拟猜测〕使函数为偶函数，那么的一个值可以是〔

〕A． B． C． D．77．【多项选择】〔2023·全国·高三专题练习〕设函数，假设函数为偶函数，那么的值可以是〔

〕A． B． C． D．78．〔2023·江西·统考模拟猜测〕将函数的图像沿轴向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于轴对称，那么的最小值为〔

〕A． B． C． D．79．〔2023春·四川成都·高三校联考期末〕函数是偶函数，那么______．考点七三角函数的对称性80．【多项选择】〔2023·湖北·统考模拟猜测〕函数满意，那么〔

〕A．的图象关于直线对称B．在区间上单调递增C．的图象关于点对称D．将的图象向左平移个单位长度得到81．〔2023·山西大同·统考模拟猜测〕函数且满意，那么的最小值为〔

〕A． B． C．1 D．282．〔2023·全国·高三专题练习〕函数的图象关于直线对称，那么以下说法正确的选项是〔

〕A．是偶函数 B．的最小正周期为2πC．在区间上单调递增 D．方程在区间上有2个实根83．〔2023·全国·高三专题练习〕设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，那么的取值范围为〔

〕A． B． C． D．84．〔2023·河南·校联考模拟猜测〕函数的图象在内有且仅有一条对称轴，那么的最小值为〔

〕A．0 B． C．1 D．85．【多项选择】〔2023春·山西·高三校联考阶段练习〕函数的图象在区间上有且仅有三个对称中心，那么〔

〕A．的取值范围是B．的图象在区间上有2条或3条对称轴C．在区间上的最大值不行能为2D．在区间上为增函数86．【多项选择】〔2023春·安徽池州·高三池州中学校考阶段练习〕函数在区间上有且仅有3条对称轴，给出以下四个结论，正确的选项是〔

〕A．在区间上有且仅有3个不同的零点B．的取值范围是C．的最小正周期可能是D．在区间上单调递增考点八三角函数的零点87．〔2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习〕函数在上零点的个数为〔

〕A．3