有限元程序设计方法

第2章有限元程序设计方法2.1程序基本框图1、输入基本数据（结构描述）：（1）控制数据：如结点总数、单元总数、约束条件总数等；（2）结点数据：如结点编号、结点坐标、约束条件等；（3）单元数据：如单元编号、单元结点序号、单元的材料特性、几何特性等；（4）载荷数据：包括集中载荷、分布载荷等。开始输入基本数据计算单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解方程组，输出结点位移计算单元应力，输出结果结束2、单元分析（1）各单元的bi,ci(i,j,m)，面积A；（2）应变矩阵[B]，应力矩阵[S]；（3）单元刚度矩阵[k]；（4）单元等价载荷列向量[F]。开始输入基本数据计算单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解方程组，输出结点位移计算单元应力，输出结果结束3、系统分析（1）整体刚度矩阵[K]的组装；（2）整体载荷列阵{P}的形成；[K]的存储；约束引入；求解总刚存贮全矩阵存贮法：不利于节省计算机的存贮空间，很少采用。K[i,j]对称三角存贮法：存贮上三角或下三角元素。半带宽存贮法：存贮上三角形（或下三角形）半带宽以内的元素。一维压缩存贮法：半带宽存贮中仍包含了许多零元素。存贮每一行的第一个非零元素到主对角线元素。等带宽形式UBWUBW行号1→IR

→N→1列号JC行号1→IR→N→1JC-(IR-1)方阵形式（1）半带宽存贮法方阵存贮和半带宽存贮地址关系存贮方式行号列号方阵存贮IRJC等带宽存贮IRJC-IR+1半带宽计算：设结构单元网格中相邻结点编号的最大差值是d，则最大半带宽为UBW：结点编号：欲使最大半带宽UBW最小，必须注意结点编号方法，使直接联系的相邻节点的最大点号差最小。例：计算下图半带宽。结点数N=91，总刚[K]中的元素总数为：82（91×2）×（91×2）=33124最大半带宽UBW=(7+1)×2=16，半带宽存储矩阵元素总数为182×16=2912，约方阵元素的8.8%。（2）变带宽存贮（一维压缩存贮）等带宽存贮虽然已经节省了不少内存，但认真研究半带宽内的元素，还有相当数量的零元素。在平衡方程求解过程中，有些零元素只增加运算工作量而对计算结果不产生影响。如果这些零元素不存、不算，更能节省内存和运算时间，采用变带宽存贮可以实现（也称一维数组存贮）。变带宽存贮编程技巧要求较高，程序较长。对称方阵形式的刚度矩阵[K]UBW=4顶线顶线以上零元素无须存贮，仅顶线以下元素。124610121618MAXA22一维数组[A]存贮刚度矩阵[K]

变带宽存贮：按列存贮方式。从左到右，逐列存放；对每一列，先存主对角线元素，然后由下而上顺序存放，直到顶线下第一个元素为止。为避免混淆，我们把存贮[K]的一维数组称为[A]。实现变带宽存贮的关键问题是：总刚中元素Kij在一维数组A中的地址是什么？为此，需要知道主元Kii在A中的位置和相应列高hj。(hj＝列号j-第1个非零元素的行号mj

＋1)主元位置：采用一个一维数组MAXA存主元在A中位置。MAXA=[1,2,4,6,10,12,16,18，22]。主元在一维数组[A]中的地址MAXA(J)数组MAXA的长度是[K]的行或列数加1（N+1）。[K]的任何一个主对角元在一维数组A中的地址：第j列主对角线元素Kjj在一维数组A中的地址等于前(j-1)列的列高之和加1，即主元地址：

MAXA(j+1)=MAXA(j)+hj（2-1）式中，j=2，3，…，N；hj——刚度矩阵[K]第j列的列高。MAXA(1)=1，MAXA(2)=2Ki,j在一维数组[A]中的地址AIJ记Ki,j在一维数组A中的地址为AIJ。则由下图可知，AIJ=MAXA[J]+J–I（2-2）其中，I=mj，mj+1，…，J。图5-12j列第i行顶线下第j列MAXA(J)(j-i)个元素AIJ第j行A中地址Kj,jKi,jKmj,j[K]中地址mj4、头引入救约束身条件手算遇时采型用去行猜列法，而域计算厘机编沈程时菠采用乘大铃数法。即铜：指织定结风点位良移对餐应的忆主对籍角元舰素乘走上一建个大臭数误，同被时将划{P矩}中夜对应形元素绘换为圆结点杨位移裳指定著值与扒扩大叫了的谣主对弟角线途元素浪的乘徐积筹。5、盯线性澡方程找组求寒解求解可方法岗常用堡：G扛AU锯SS挪消元诱法，屯QR匪分解却法等躲。其嚷程序尤在一习些专凉著中触列出锦（例遣如见象：徐饱士良写编。惧FO森RT洞RA悦N常烟用算白法程仙序集桂。清域华大赔学出失版社凶）。肌在此老不作殊详细鸦介绍跟。6、同单元滔应力节点元位移刺求单怪元应普力。墨首先谅整体逼节点鹊位移轨变换翼成单伙元节惕点位秤移，朽然后数再用会物理条方程扩求单四元应申力。2.财2缎提计高计托算精闷度的禾方法（1沈）劣计算隔结果念的整俭理计算捎结果氧包括住位移中和应波力两题个方片面。培在位免移方瘦面，贤一般姻无须协进行农整理帮工作僻。应距力结戒果则竟需要椒整理篮。通咬常认某为计筑算出盗的应蝴力是释三角恭形单熔元形宇心处尸的应时力。爷而相致邻单励元之步间的太应力讯存在挂突变驾，甚栏至正孤、负颤符号引都不茶相同链。为斯了由凑计算逆结果佳推算窜出结窑构内宰某一赖点的钥接接仗实际仿的应挪力，译必须荡通过有某种平均计算利。通专常可狭采用两单多元平诱均法劲或绕段结点挑平均笼法。平均其法整领理单基元应父力边界郑上：葡采用攻两单肌元平扬均法，即经把两样个相服邻单炮元中漠的常荣应力突加以他平均俘，用天来表班示公崇共边券界中技点处议的应西力。节点据上：移采用帆绕结绑点平胶均法，即慈把环米绕某曲一结悠点的削各单骄元常椒应力北加以秃平均驾，用嘴以表彼示该葱结点软的应荐力。国在内浆结点宿效果越较好风，而在在边恨界结拳点可宿能很灭差，压一般项改为呢应由场内结职点的常应力窝外推潜计算遍出来蓄。（2垄）网孔格的呆细分通过庆网格咽的细基分，择使每泄个单姜元的抽面积灰缩小跃，那误么尽陶管每鼻个单乳元是悔应变蒜、常德应力铲单元元，仍评可较尾好地忘反映遣结构络中的插应力顶变化虚，使诞得到垫的解费答收藏敛于翼问题耽的精长确解妄。（3吨）网返格合丈理布幻玉局根据鸦应力先梯度丧使网稀格的绩布局泼合理姑化。持即在职梯度聚大的作区域享网格厅密些验，梯滨度小贵的区震域应陶稀些消。密寸、稀凉网格清之间浓应逐柏步过类渡。带圆作孔方便板的育网格真划分（4世）改圣用高逗阶单衔元受集典中力醉的悬催臂梁秒，采胖用1帅28亦个三怕结点倒三角辞形常驻应变锯单元梁，以润及3鬼个八证结点耕四边棉形高电阶单范元结较果。可见歇，采大用高谦阶元掩的计挠算精库度比强常应甚变元侍高得摇多。2.系3氧有限拣分析烘软件1、否三角迁形单覆元分蚁析程犹序设蚕计教材漏P.舟26徐程序息FE凳M1刻。2、赶AN仗SY敌S软坑件结构披、热兆、流敞体、女电磁慰学、拦声学爹等通炕用分初析软气件。3、央SA沃P2鸭00电0软基件土木摄结构任分析书软件锻。2.妻4跪算尽例分宝析算例芝1：对角回受压纪的正纲方形唤薄板联，载蜓荷沿构厚度任均匀离分布边，为松2N任/m元。由族于对姜称性圣，取烂1/乔4部党分作拨为计榆算对真象，仇试用厉有限载元程腰序进窑行计施算。2N/m2N/m2m2mxy算例继2：简支伤梁，生梁高衰3m挂,跨系度1养8m毁，厚差度1激m，判承受酿均布哨荷载副10池N/盏m2。已齿知按平握面应挠力问置题进眼行计乌算。18m3mxy网格糟划分考察点y(m)-1.25-0.75-0.250.250.751.25有限元结果19711436-36-114-197弹性力学结果22513444-44-134-225误差28208-8-20-28考察点y(m)-1.25-0.75-0.250.250.751.25有限元结果16.231.237.233.720.73.6弹性力学结果10.926.734.634.626.710.9误差5.34.52.6-0.9