工程测量第五章课件

工程测量主讲：蔡颖东北电力大学建筑工程学院第5章测量误差的基本知识第1节概述第2节测量误差的种类第3节衡量观测精度的指标第4节误差传播定律第5节等精度直接观测值的精度第6节不等精度直接观测值的精度

第7节第5章测量误差的基本知识重点：中误差的计算难点：误差传播定律第1节概述通过一定的仪器、工具和方法对某量进行量测，称为测量，测量获得的数据称为观测值。一、测量与观测值二、观测值的分类（一）等精度观测和不等精度观测；（二）直接观测和间接观测；（三）独立观测和非独立观测。第1节概述（一）测量误差的定义

内角和观测值：

3595900内角和观测值1800050观测值与真值之差，称为真误差。如:四边形内角和误差=－1′

三角形内角和误差=＋50″（二）测量误差的反映

测量误差通过“多余观测”产生的差异反映出来。三、测量误差及其来源第1节概述1.测量仪器2.观测者3.外界环境影响观测条件：仪器、观测者、外界环境统称为观测条件。（三）测量误差的来源第2节测量误差的种类测量误差可分为三类：1.粗差2.系统误差3.偶然误差。

1.粗差：

概念：也称错误

处理方法：剔除第2节测量误差的种类第2节测量误差的种类2.系统误差：在一定的观测条件下进行一系列观测，如果误差的符号与大小保持不变或按一定的规律变化，这类误差称为系统误差。如：i角误差、2C误差、指标差、度盘偏心差、标尺零点差、钢尺尺长误差、……特性：对测量成果的影响有累积性第2节测量误差的种类系统误差的处理方法：（一）加上改正数法（二）采取对称观测（盘左盘右观测、前后视距相等）（三）检校仪器工具第2节测量误差的种类3、偶然误差在一定的观测条件下进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号呈现出偶然性，即没有一定的规律，这类误差称偶然误差。如：气泡居中误差，估读误差，瞄准误差，环境影响。偶然误差的特性(参见表5-1)：（1）绝对值不超过一定的范围；（2）小误差出现的机率多于大误差；（3）正负误差出现机率大致相等；（4）当观测次数无限增多时，偶然误差的 平均值的极限趋向于0。

第2节测量误差的种类第2节测量误差的种类偶然误差分布曲线为正态分布。（见图5-2）第2节测量误差的种类偶然误差的处理:A、提高仪器的精度等级B、进行多余观测判断下列误差属性：钢尺尺长误差定直线误差水准尺倾斜误差水准管气泡居中误差读数误差水准仪i角误差照准目标误差对中误差竖盘指标差视准轴误差地球曲率和大气折光横轴误差瞄错目标读错数温度变化风大目标不稳定第2节测量误差的种类对某观测量进行观测时，为了避免错误提高精度往往要进行多余观测，通过多余观测可以剔除粗差。对于一组剔除了粗差的观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将系统误差控制在一定的范围内，然后根据偶然误差的特性对该组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估值，称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣，即评定精度。这项工作在测量上称为测量平差。第3节衡量观测值精度的指标精度:指一组观测量的精确程度.也就是误差分布的密集与离散程度。分布密集说明小误差多,观测质量较好，分散说明大误差多,观测质量低。第3节衡量观测值精度的指标评定观测值精度的指标 常用的有中误差、相对中误差、极限误差或容许误差四种。第3节衡量观测值精度的指标一、中误差

从图中看出，愈小，曲线愈陡峭，表示误差分布愈密集，精度越高，愈大，曲线愈平缓，表示误差分布愈离散。可见，的大小可反映误差分布的密集或离散的程度。△—真误差n—观测次数第3节衡量观测值精度的指标一、中误差

一般情况下，中误差越大，表示误差的离散性大，观测值精度越低，反之，精度越高。自乘求和平均开方第3节衡量观测值精度的指标1、已知真值的情况计算中误差

如：对一个三角形内角重复观测5次，观测结果如下：180°00′30″，179°59′36″，180°00′36″，179°59′18″，180°00′48″求观测值中误差。一、中误差第3节衡量观测值精度的指标

观测值 真误差△

△△

180°00′12″ ＋12″ 144″179°59′36″ －24 576180°00′30″ ＋30 900179°59′48″ －12 144180°00′06″ ＋06 36理论值:180° =1800 m=± =±19″(观测值中误差)第3节衡量观测值精度的指标

有些观测量的精度可以用中误差来评定，但有些观测量仅用中误差评定是不能反映出精度的高低的。如距离测量的精度，若测量100米和200米中误差都是±5㎝，但这两段距离的精度并不一样，显然，200米的精度优于100米精度。此时应用相对误差评定更为准确。200m

±5㎝100m

±5㎝ABCD二、相对误差第3节衡量观测值精度的指标二、相对误差

绝对误差（中误差，真误差）的绝对值与相应观测量的比值，化成分子为一的形式，叫作相对误差（相对中误差，相对真误差）。用K表示。

相对误差分母越大，k值越小，精度越高反之，精度越低。第3节衡量观测值精度的指标

往返丈量一段距离，往测得250.015m,返测得250.005m.求这段距离丈量的相对误差?解:D平=250.010m,往返较差m=0.01m,

则相对误差

K=1/(250.01/0.01)=1/25000二、相对误差第3节衡量观测值精度的指标三、极限误差\容许误差

因此，测量上一般取

或第4节误差传播定律误差传播:直接观测量的误差以一定的方式传递给间接观测量。误差传播定律：是指各观测值中误差与函数中误差之间的关系。

Z=f(x1,x2,…xn)广泛用来计算和评定函数值（间接观测量）的精度。第4节误差传播定律如：三角形内角和W=A＋B＋C

而A、B、C的观测都是有误差的，它们的误差引起内角和W也有误差，但函数的误差并不是简单的和关系。ABCMNh1h3h5h2h4hn第4节误差传播定律设函数Z=f(x1,x2,…xn),x1,x2,…

xn为独立观测值，——误差传播定律x1,x2,…

xn的中误差为m1,m2,

…mn,那么函数Z的中误差mZ呢？第4节误差传播定律应用3）将系数代入误差传播定律即可求得函数值中误差：式中，就是误差传播定律中的系数。求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：1）按问题的要求写出函数式：2）对函数式全微分，得出关系式：第4节误差传播定律例：某建筑场地已划定为长方形，独立地测定其长和宽分别为a=30.000m、b=15.000m,其中误差分别为ma=±0.005m、mb=±0.003m，求该场地面积A及其中误差mA。1、列出函数关系式，并求函数值：2、对函数表达式取全微分：3、求函数值中误差：解：第4节误差传播定律表5-2简单函数式的中误差计算公式1）倍数函数 Y=kX

函数中误差my=kmx

2）和差函数 Y=X1±X2±

X3±

X4±…±Xn

函数中误差my2=m12＋m22＋

m32＋

m42＋

…＋mn2

3）线性函数Y=k1X1±k2X2±k3X3±k4X4±……±knXn

函数中误差：my2=（k1m1）2＋（k2m2）2

＋（k3m3）2

＋（k4m4）2

＋……＋（knmn）2

若为等精度观测，则m1=m2=m3=m4=mn=m第4节误差传播定律

应用误差传播定律的注意事项：应用误差传播定律计算函数中误差时，应注意，列出的函数式，变量之间必须是相互独立的，否则不能套用函数中误差公式。第4节误差传播定律1、对一段距离S进行等精度观测n次，每次观测中误差均为mS，求平均值中误差MS=？第4节误差传播定律2、设对某三角形三个内角进行观测，A角的中误差为±30″，B角中误差为±20″，C角中误差为±10″，求三角形的内角和的中误差m=？解：内角和W=A+B+CmW2=mA2+mB2＋mc2=302+202+102=1400″mW=±37.4″第4节误差传播定律3、对一个三角形观测了其中、两个角，测角中误差分别为

±3.5″，±6.2″，按公式=180°-

-求得另一个角。试求角的中误差m第4节误差传播定律4、，观测值D=225.85m±0.06m，

，求的中误差

第5节等精度直接观测值的最或是值一、求最或是值

对一个量进行等精度重复观测n次,假设真值为X，则每一次的真误差为

第5节等精度直接观测值的最或是值当观测次数n趋于无穷时,平均值趋于真值.也就说当不知道真值时，取观测值的算术平均值为最或然值(即最可靠值),代替真值。但由于n不可能是无限大,所以平均值不等于真值,而是接近真值.

第5节等精度直接观测值的最或是值

二、评定精度改正数 观测值中误差平均值中误差（一）观测值的中误差

第5节等精度直接观测值的最或是值（二）算术平均值的中误差

如果是等精度观测,每个观测值的中误差都是一样的,根据误差传播定律可得算术平均值的中误差M.说明平均值中误差比观测值中误差提高了 倍,但当n大于20后,提高不明显。

第5节等精度直接观测值的最或是值归纳观测精度评定:1、观测值中误差公式：m=±

2、平均值中误差公式：M=±m/=

计算举例

观测值或是误差VVV中误差351828351825351826351822351824＋30＋1－3－190191观测值中误差m=±m=±=2.23″或是值中误差M=m/M=2.23/=1″X=351825=0=20

第5节等精度直接观测值的最或是值若不知道真值,则用平均值作为似真值,v表示似真差(最或是误差，改正数),

用似真差计算相对中误差公式：

第5节等精度直接观测值的最或是值2、不知道真值,求观测值中误差的计算 如对一角度进