上海市12校联考2023年高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是（）A．函数的最小正周期是 B．图像关于直线对称C．函数在区间上单调递减 D．图像关于点对称2．等差数列中，已知，则()A．1 B．2 C．3 D．43．在数列中,,则数列的前n项和的最大值是（）A．136 B．140 C．144 D．1484．光线自点M（2，3）射到N（1，0）后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为（）A． B．C． D．5．向量，，若，则实数的值为A． B． C． D．6．甲、乙两名同学八次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为（）A．85，85 B．85，86 C．85，87 D．86，867．连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次，若前4次出现正面朝上，则第5次出现正面朝上的概率是（）A． B． C． D．8．若实数，满足不等式组则的最大值为（）A． B．2 C．5 D．79．设，则的大小关系为（）A． B． C． D．10．在中，若°，°，．则=A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知三棱锥的外接球的球心恰好是线段的中点，且，则三棱锥的体积为__________.12．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为.13．已知与的夹角为求=_____．14．已知等比数列、、、满足，，，则的取值范围为__________．15．如图，已知扇形和，为的中点.若扇形的面积为1，则扇形的面积为______.16．已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形半径为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18．近日，某地普降暴雨，当地一大型提坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝而每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为元，且渗水面积以每天的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积，该部门需支出服装补贴费为每人元，劳务费及耗材费为每人每天元．若安排名人员参与抢修，需要天完成抢修工作．写出关于的函数关系式；应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用）19．如图是某设计师设计的型饰品的平面图，其中支架，，两两成，，，且．现设计师在支架上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为，且与长成正比，比例系数为（为正常数）；在区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为，且与的面积成正比，比例系数为．设，．（1）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（2）求的最大值及相应的的值．20．某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2m2，可做A、B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3m2，可做A、B的外壳分别为6个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小．21．某运动爱好者对自己的步行运动距离（单位：千米）和步行运动时间（单位：分钟）进行统计，得到如下的统计资料：如果与存在线性相关关系，（1）求线性回归方程（精确到0.01）；（2）将分钟的时间数据称为有效运动数据，现从这6个时间数据中任取3个，求抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的概率．参考数据：，参考公式：，．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据三角函数的图象平移关系求出的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，对于,函数的最小正周期为，所以该选项是正确的；对于，令，则为最大值，函数图象关于直线，对称是正确的；对于中，，则，，则函数在区间上先减后增，不正确；对于中，令，则，图象关于点对称是正确的，故选．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键．2、B【解析】

已知等差数列中一个独立条件，考虑利用等差中项求解.【详解】因为为等差数列，所以，由，,故选B.【点睛】本题考查等差数列的性质，等差数列中若，则,或用基本量、表示，整体代换计算可得,属于简单题.3、C【解析】

可得数列为等差数列且前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，可得前8或9项和最大，由求和公式计算可得．【详解】解：∵在数列中,，

，即数列为公差为−4的等差数列，

，

令可得，

∴递减的等差数列中前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，

∴数列的前8或9项和最大，

由求和公式可得

故选：C．【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的判定，属基础题．4、B【解析】试题分析：点关于轴的对称点，则反射光线即在直线上，由，∴，故选B.考点：直线方程的几种形式.5、C【解析】

利用向量平行的坐标表示，即可求出．【详解】向量，，，即解得．故选．【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示．6、B【解析】

根据茎叶图的数据，选择对应的众数和中位数即可.【详解】由图可知，甲同学成绩的众数是85；乙同学的中位数是.故选：B.【点睛】本题考查由茎叶图计算数据的众数和中位数，属基础计算题.7、D【解析】

抛掷一枚质地均匀的硬币有两种情况，正面朝上和反面朝上的概率都是，与拋掷次数无关.【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，有正面朝上和反面朝上两种可能，概率均为，与拋掷次数无关.故选：D.【点睛】本题考查了概率的求法，考查了等可能事件及等可能事件的概率知识，属基础题.8、C【解析】

利用线性规划数形结合分析解答.【详解】由约束条件，作出可行域如图：由得A(3,-2).由，化为，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最大值为5.故选C.【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.9、B【解析】

不难发现从而可得【详解】,故选B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．10、A【解析】∵在△ABC中,A=45∘,B=60∘，a=2，∴由正弦定理得：.本题选择A选项.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据题意得出平面后，由计算可得答案.【详解】因为三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，所以和都是直角三角形，又因为，所以，，又，则平面.因为，所以三角形为边长是的等边三角形，所以.故答案为：【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱锥与球的组合，考查了三棱锥的体积公式，属于中档题.12、70【解析】设高一、高二抽取的人数分别为，则，解得.【考点】分层抽样.13、【解析】

由题意可得：，结合向量的运算法则和向量模的计算公式可得的值.【详解】由题意可得：，则：.【点睛】本题主要考查向量模的求解，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14、【解析】

设等比数列、、、的公比为，由和计算出的取值范围，再由可得出的取值范围.【详解】设等比数列、、、的公比为，，，，所以，，，.所以，，故答案为：.【点睛】本题考查等比数列通项公式及其性质，解题的关键就是利用已知条件求出公比的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.15、1【解析】

设，在扇形中，利用扇形的面积公式可求，根据已知，在扇形中，利用扇形的面积公式即可计算得解．【详解】解：设，扇形的面积为1，即：，解得：，为的中点，，在扇形中，．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．16、2【解析】

将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.【详解】圆心角为扇形的面积为故答案为2【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

(1)先根据已知求出公差d,即得的通项公式；（2）先证明数列是等比数列，再利用等比数列的前n项和公式求．【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知得，则，将代入并化简得，解得，（舍去）．所以．（2）由（1）知，所以，所以，所以数列是首项为2，公比为4的等比数列．所以．【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法，考查等比数列性质的证明和前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18、（1）（2）应安排名民工参与抢修，才能使总损失最小【解析】

（1）由题意得要抢修完成必须使得抢修的面积等于渗水的面积，即可得，所以；（2）损失包＝渗水直接经济损失+抢修服装补贴费+劳务费耗材费，即可得到函数解析式，再利用基本不等式，即可得到结果．【详解】由题意，可得，所以．设总损失为元，则当且仅当，即时，等号成立，所以应安排名民工参与抢修，才能使总损失最小．【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及基本不等式求最值的应用，其中解答中认真审题是关键，以及合理运用函数与不等式方程思想的有机结合，及基本不等式的应用是解答的关键，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．19、（1）（）；（2），的最大值是.【解析】试题分析：（1）运用题设和实际建立函数关系并确定定义域；（2）运用基本不等式求函数的最值和取得最值的条件.试题解析：（1）因为，，，由余弦定理，，解得，由，得．又，得，解得，所以的取值范围是．（2），，则，设，则．当且仅当即取等号，此时取等号，所以当时，的最大值是．考点：阅读理解能力和数学建模能力、基本不等式及在解决实际问题中的灵活运用.【易错点晴】应用题是江苏高考每年必考的重要题型之一，也是历届高考失分较多的题型.解答这类问题的关键是提高考生的阅读理解能力和数学建模能力，以及抽象概括能力.解答好这类问题要过:“审题、理解题意、建立数学模型、求解数学模型、作答”这五个重要环节，其中审题关要求反复阅读问题中提供的一些信息，并将其与学过的数学模型进行联系，为建构数学模型打下基础，最后的作答也是必不可少的重要环节之一，应用题的解答最后一定要依据题设中提供的问题做出合理的回答，这也是失分较多一个环节.20、甲、乙两种薄钢板各5张，能保证制造A、B的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．【解析】

本题可先将甲种薄钢板设为x张，乙种薄钢板设为y张，然后根据题意，得出两个不等式关系，也就是3x+6y≥45、5x+6y≥55以及薄钢板的总面积是z=2x+3y，然后通过线性规划画出图像并求出总面积z=2x+3y的最小值，最后得出结果．【详解】设甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则可做A种产品外壳3x+6y个，B种产品外壳5x+6y个，由题意可得3x+6y≥455x+6y≥55x≥0,y≥0，薄钢板的总面积是可行域的阴影部分如图所示，其中l1：3x+6y=45、l2：因目标函数z=2x+3y在可行域上的最小值在区域边界的A5此时z的最小值为2×5+3×5=25即甲、乙两种薄钢板各5张，能保证制造A、【点睛】（1）利用线性规划求目标函数最值的步骤①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直角坐标系中的任意一条直线l；②平移：将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数l和可行域边界的斜率的大小比较；③求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．（2）用线性规划解题时要注意z的几何意义．21、（1）（2）【解析】

（1）先计算所给数据距离、时间的平均值，，利用公式求，再利用回归方程求.（2）由（1）计算的个数，先求从6个中任取3个数据的总的取法，再计算抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的取法，利用古典概