2022年广东省中山市纪中三鑫双语学校高二数学理期末试题含解析

2022年广东省中山市纪中三鑫双语学校高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，则为（

）A

4

B

－4

C

D

参考答案：正解：D。

特例法：当直线垂直于轴时，注意：先分别求出用推理的方法，既繁且容易出错。2.下面叙述正确的是A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法、分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的参考答案：A略3.若|，且，则与的夹角是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：4.

集合，是的一个子集，当时，若有，且，则称为的一个“孤立元素”，那么中无“孤立元素”的4个元素的子集的个数是（

）

A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：C略5.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：D【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y的最小值．【解答】解：满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数z=5x+y过点A（1，0）时z取得最大值，zmax=5，故选D．6.命题：“对任意的x∈R，”的否定是

（

）A、不存在x∈R，

B、存在x∈R，x2-2x-3≤0C、存在x∈R，x2-2x-3＞0

D、对任意的x∈R，x2-2x-3＞0参考答案：C7.某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是()A. B. C. D.参考答案：A【分析】分别计算每个销量对应的利润，选出日利润不少于96元的天数，再利用排列组合公式求解.【详解】当时：当时：当时：当时：日利润不少于96元共有5天，2天日利润是97元故故答案选A【点睛】本题考查了频率直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力.8.用反证法证明命题“若则、全为0”（、），其反设正确的是(

)A．、至少有一个为0B．、至少有一个不为0C．、全不为0D．、中只有一个为0参考答案：B略9.设点A（3，﹣5），B（﹣2，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．k≥1或k≤﹣3 B．﹣3≤k≤1 C．﹣1≤k≤3 D．以上都不对参考答案：A【考点】直线的斜率．【分析】利用斜率计算公式及其意义即可得出．【解答】解：kPA==﹣3，kPB==1．∵直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是k≥1或k≤﹣3．故选：A．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.，为两个互相垂直的平面，、b为一对异面直线，下列条件：①//、b；②⊥、b；③⊥、b；④//、b且与的距离等于b与的距离，其中是⊥b的充分条件的有（

）

A．①④

B．①

C．③

D．②③

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线与x轴交于P点，与双曲线:交于A、B两点，则=

▲

.参考答案：12.长方体三个面的面对角线的长度分别为3,3，那么它的外接球的表面积为_______．参考答案：13.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.参考答案：14.已知满足，若目标函数的最大值为10，则的最小值为____________．参考答案：5考点：线性规划试题解析：作可行域：当目标函数线过B时，目标函数值最大，为解得：m=5.所以所以的最小值为：故答案为：515.设、是平面直角坐标系（坐标原点为）内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，且，，则的面积等于

.

参考答案：16.如图在正三角形中，，，分别为各边的中点，，，，分别为、、、的中点，将沿、、折成三棱锥以后，与所成角的大小为__________．参考答案：解：将沿，，折成三棱锥以后，点，，重合为点，得到三棱锥，∵，分别为，的中点，∴侧棱，∴与所成的角即是与所成的角，∵，∴与所成角的大小为．17.．求值

.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知正项数列{an}满足，数列{bn}的前n项和Sn满足．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn．参考答案：（1）.（2）.试题分析：(1)由题意结合所给的递推公式可得数列是以为首项，为公差的等差数列，则，利用前n项和与通项公式的关系可得的通项公式为.(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列的前项和.试题解析：（1）因为，所以，，因为，所以，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，当时也满足，所以（2）由（1）可知，所以.19.袋中有大小相同的红球和白球各1个，每次任取1个，有放回地摸三次．（Ⅰ）写出所有基本事件；（Ⅱ）求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率；（Ⅲ）求三次摸到的球至少有1个白球的概率．参考答案：3．（I）（红，红，红），（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．试题解析：（I）所有基本事件：（红，红，红），（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白）共8种．（Ⅱ）记“三次摸到的球恰有两次颜色相同”为事件A：则Ａ所包含的基本事件为（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），共６种，所以P(A)＝；（Ⅲ）记“三次摸到的球至少有1个白球”为事件Ｂ：则Ｂ所包含的基本事件为（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白），共７种，所以P(Ｂ)＝．考点：列举法计算基本事件及事件发生的概率．【解析】略20.（本题满分10分）已知函数的图像过点P（-1，2），且在点P处的切线的斜率为－3．(1)求函数的解析式；

(2)求函数的单调递增区间．参考答案：解：（1）,

（1分）由题意有，

（3分）

（5分）

（6分）

(2)令，（7分）

得或，

（9分）的递增区间是．

（10分）略21.如图，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F．(1)求证：BC⊥平面PAC．(2)求证：PB⊥平面AEF．(3)若AP=AB=2，试用tgθ(∠BPC=θ)表示△AEF的面积、当tgθ取何值时，△AEF的面积最大？最大面积是多少？参考答案：证明：

(1)∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC又BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC……（4分）∴BC⊥AF，又AF⊥PC，BC∩PC=C∴AF⊥PB，又PB⊥AE，AE∩AF=A∴PB⊥平面AEF．……（4分）……（4分）略22.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式其中为常数。己知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克