2021年辽宁省抚顺市辽宁华丰化工厂中学高三数学理模拟试卷含解析

2021年辽宁省抚顺市辽宁华丰化工厂中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（） A．2=1 B．2=1 C．2=2 D．2=2参考答案：D【考点】圆的标准方程． 【专题】计算题；直线与圆． 【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程． 【解答】解：由题意知圆半径r=， ∴圆的方程为2=2． 故选：D． 【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题． 2.已知两条直线

：y=m和：y=（m＞0），与函数的图像从左至右相交于点A，B，与函数的图像从左至右相交于C,D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，的最小值为

A．

B．

C．

D．参考答案：B3.已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形参考答案：C【考点】等差数列的通项公式；三角形中的几何计算．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】利用等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，即可判断出结论．【解答】解：A：对任意的d，假设均存在以l1，l2，l3为三边的三角形，∵a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，∴a2+a3＞a1，a3+a1=2a2＞a2，而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0，因此不一定存在以为l1，l2，l3三边的三角形，故不正确；B：由A可知：当a1﹣d＞0时，存在以为l1，l2，l3三边的三角形，因此不正确；C：对任意的d，由于a3+a4，＞a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3＞0，a2+a3﹣a4=a1＞0，因此均存在以l2，l3，l4为三边的三角形，正确；D．由C可知不正确．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：B考点：充分条件与必要条件当时，，当时，，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选B5.已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为 （

） A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（） A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由题意可得：b=c，所以a=，进而求出椭圆的离心率． 【解答】解：由题意可得：以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点， 所以b=c， 所以a=， 所以离心率e=． 故选B． 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．特别是椭圆定义的应用． 7.某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗原料1千克，原料2千克；生产乙产品1件需消耗原料2千克，原料1千克；每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗，原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（

）A．

1800元

B．2400元

C.2800元

D．3100元参考答案：C8.已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84参考答案：B考点： 等比数列的通项公式．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．分析： 由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．解答： 解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B点评： 本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．9.设复数z满足z?i=2015﹣i，i为虚数单位，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限

B．第二象限 C．第三象限D．第四象限参考答案：C分析： 化简复数为a+bi的形式，即可判断复数所在象限．解答： 解：复数z满足z?i=2015﹣i所以z===﹣1﹣2015i．复数对应点为：（﹣1，﹣2015）在第三象限．故选：C．点评： 本题考查复数的基本运算，考查计算能力．10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，点D是边BC的中点，且，则△ABC的面积为（

）A. B. C.或 D.或参考答案：D【详解】由题可知，，则，或.因为，所以，即，当时，，所以的面积为；当时，，所以的面积为.故答案为：D.【点睛】这个题考查了三角函数两角和差公式的逆用，以及向量的模长的应用，三角函数的面积公式的应用，题型比较综合.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，角所对的边分别为，向量与向量相互垂直。若，则的值为

参考答案：12.在等比数列{an}中，an＞0(n∈N﹡),且,,则{an}的前6项和是 .参考答案：63在等比数列中，，所以，又，所以，，所以.13.在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P为矩形ABCD内一点，则使得?≥1的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】将矩形放在坐标系中，设P（x，y）利用向量的数量积公式，作出对应的区域，求出对应的面积即可得到结论．【解答】解：将矩形放在坐标系中，设P（x，y），则A（0，0），C（2，1），则?≥1等价为2x+y≥1，作出不等式对应的区域，为五边形DCBE，当y=0时，x=，即E（，0），则△ADE的面积S=××，则五边形DCBE的面积S=2﹣=，则?≥1的概率P=，故答案为．14.已知函数的图象由的图象向右平移个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则=

.参考答案：函数的图象在轴右侧的第一个对称轴为，所以。关于对称的直线为，由图象可知，通过向右平移之后，横坐标为的点平移到，所以。15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

，表面积为

．参考答案：

16.已知双曲线垂直，则a=

参考答案：答案：5617.若二项式展开式中项的系数是7，则=

▲

．参考答案：二项展开式的通项为，令得，，所以，所以的系数为，所以。所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；（2）（ⅰ）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．参考答案：（1）平均数．前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35．（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，故所求概率．（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．19.如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.（1）求的方程；（2）是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.

参考答案：20.已知函数，（，）．（1）当时，求函数的极小值点；（2）当时，若对一切恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）当时，，则．当时，，所以在上单调递增，故无极值点；当时，由，得，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．所以的极小值点为．（2）当时，可化为，即，令，则．当时，对于一切，有，，所以恒成立．下面考虑时的情况．当时，对于一切，有，，所以恒成立，所以在上是增函数，所以，符合题意；当时，，，由零点存在性定理可知，一定存在，使得，且当时，，所以在上单调递减，从而有：时，，不符合题意．综上可知，的取值范围是．21.已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）若f′（﹣1）=0，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）上均单调递增，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）结合已知中函数的解析式及f′（﹣1）=0，构造方程求出a值，进而分析出函数的单调性后，求出函数的极值和端点对应的函数值，比照后可得答案．（II）若f（x）在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）上均单调递增，则f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0对（﹣∞，﹣2]恒成立且f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0对[2，+∞）恒成立，解不等式组可得答案．【解答】解：（I）∵f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），∴f′（x）=2x（x﹣a）+（x2﹣4）又∵f′（﹣1）=﹣2×（﹣1﹣a）+（1﹣4）=0，∴a=∴f（x）=（x2﹣4）（x﹣），∴f′（x）=2x（x﹣）+（x2﹣4）=3x2﹣x﹣4令f′（x）=0，解得x=﹣1，x=，当x∈[﹣2，﹣1]时，f′（x）≤0恒成立，f（x）为减函数当x∈[﹣1，4/3]时，f′（x）≥0恒成立，f（x）为增函数，当x∈[4/3，2]时，f′（x）≤0恒成立，f（x）为减函数又∵f（﹣2）=0，f（﹣1）=，f（）=﹣，f（2）=0可以得到最大值为，最小值为﹣（II）∵f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），∴f′（x）=3x2﹣2ax﹣4，依题意：f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0对（﹣∞，﹣2]恒成立，即2ax≤3x2﹣4∴a≥又∵y=在（﹣∞，﹣2]上为增函数，故x=﹣2时，取最大值﹣2，所以a≥﹣2f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0对[2，+∞）恒成立，即2ax≤3x2﹣4∴a≤又∵y=在[2，+∞）上为增函数，故x=2时，取最小值2，所以a≤2故a的取值范围为[﹣2，2]．【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度较大．22.如图，在棱柱ABC﹣A1B1C1中，点C在平面A1B1C1内的射影点为的A1B1中点O，AC=BC=AA1，∠ACB=90°．（1）求证：AB⊥平面OCC1；（2）求二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出CO⊥A1B1，A1C1=C1B1，C1O⊥A1B1，从而A1B1⊥平面CC1O，再由A1B1∥AB，能证明AB⊥平面CC1O．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CO为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．【解答】证明：（1）∵点C在平面内的射影点为A1B1的中点O，∴CO⊥A1B1，∵AC=BC，∴A1C1=C1B1，∵O为A1B1的中点，∴C1O⊥A1B1，∵C1O∩CO=O，∴A1B1⊥平面CC1O，∵A1B1∥AB，∴AB⊥平面