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文档简介
辽宁省鞍山市铁西区2022〜2023学年上学期12月质量测试
九年级数学
注意事项:
1.本试卷共4页,总分150分,考试时间120分钟。
2.答题前,考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上。
3.考生务必将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:(3分*8=24分)
1.关于X的一元二次方程见2一4%+2=°有不相等的两个实数根,则加的值可能是()
A.0B.1C.3D.4
2.下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志,既是轴对称又是中心对称图形的是()
B.
厨余垃圾可回收物
FoodWasteRecyclable
\z
D/X
其他垃圾有害垃圾
HazardousWaste
ResidualWaste
3.将抛物线了=(x-1)2+2向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为
()
AJ=(X+2)2-2B.y=(x-4)2+6C.y=(x-3)2-2D.y=(x-3)2+2
4.如图,AABC中,ZACB=90°,ZCAB=50°.将AABC绕点8逆时针旋转得到△ABC',使点C
的对应点C'恰好落在边N8上,则NC4A'的度数是()
c
B.70°C.110°D.120°
5.某次聚会,每两个参加聚会的人都互相握了一次手,有人统计一共握了15次手.求这次聚会的人数是
多少?设这次聚会共有x人,可列出的方程为()
A.x(x+l)=15B.x(x-l)=15C.2x(x-l)=15D.-x(x-1)=15
2
6.如图,在O。中,BD直径,N8CE=55°,则NZ汨E等于()
A.55°B.50°C.35°D.45°
7.如图,点尸在平行四边形ABC。的边上,延长研交8的延长线于点区交AC于点O,若
迎*3,则竺=()
S&COEDF
123
A.2B.~C.—D.一
232
8.如图,在平面四边形"88中,BC=2AB=4,NA=60°,点M从/出发沿路径A-8运动,点N从
8出发沿路径B-C—£>运动,M,N两点同时出发,且点N的运动速度是点M运动速度的3倍,当“运
动到8时,M,N两点同时停止运动,若阳的运动路程为x,的面积为产则能反映y与x之间函
数关系的图象是()
AD
二、填空题(3分*8=24分)
9.已知关于x的二次函数丁=(〃2—1)/-%+加2—1的图象经过原点,则,〃的值为.
10.如图,在平面直角坐标系中,AABC与4)砂是以原点。为位似中心的位似图形,已知点C的纵坐
标为1,点尸的纵坐标为3,点E的坐标为(6,2),则点8的坐标是.
11.已知为,々是一元二次方程f一万一3=0的两根,则的值为.
12.平面内一点尸到0。上的点的最大距离是12,最小距离为8,则。。的半径为.
13.校运动会上,初三的同学们进行了投实心球比赛,实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物
线.如图建立平面直角坐标系.已知实心球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系是
124
y=--x2+—%+-.则该同学此次投掷实心球的成绩是m.
14.如图,中,ZACB=90°,NB=60°,BC=2cm,。为BC的中点,若动点E以Icm/s的
速度从/点出发,沿着的方向运动,设E点的运动时间为f秒(OW,<4),连接。E,当/=
秒时,以B、E、。为顶点的三角形与"SC相似?
15.已知二次函数>=+灰图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表:
…
X01234…
.・・・•・
y-3-4-305
请根据上表直接写出方程a^+bx+c=0(«*0)的解为.
16.如图,在正方形A8CO中,对角线AC,8D相交于点O,尸是线段。。上的动点(点厂不与点O,
。重合),连接CF,过点尸作尸GLC”分别交AC,A8于点H,G,连接CG交5。于点M,作
OE||C。交CG于点E,EF交AC于•点、N.有下列结论:①当BG=8M时,AG=^BG;②
CN2=BM2+DF2;③NGFM=NGCH时,CF?=CNBC;④也=空.其中正确的是_____
OMOC
三、解答题:(2个小题,每题8分,共16分)
17.(1)解下列一元二次方程:/一2氐+2=0;
3
(2)计算:2-2+cos60°-2sin245°+-tan2300-2sin30°.
2
18.如图,NC=90°,NB=30°,BD=8,/ADC=45°,求AC的长.
四、解答题:(2个小题,每题10分,共20分)
19.已知:YA8CD的两边AB4)的长是关于x的方程f一〃a+〃?—i=o的两个实数根.
(1)当〃,为何值时,四边形A3CD是菱形?求出这时菱形的边长;
(2)若长为3,那么YA8CD的周长是多少?
20.如图,某地有一座圆弧形拱桥其圆心为O,桥下水面宽度A3为7.2m,拱高CO为2.4m.
(1)求拱桥的半径;
(2)夏季雨季来临时,当水面离桥顶C距离为1m时,就要禁止通行,某天暴雨后桥下水面宽度EE为
3m,请通过计算说明是否要禁止通行.
五、解答题:(2个小题,每题10分,共20分)
21.如图,三角形ABC是直角三角形,448=90。,点。为的中点,点。在84的延长线上,且
NDC4=NA8C,点E在。。的延长线上,且BE_LDC.
ns2
(2)若==二,BE=3,求A8的长.
OD3
22.某同学对函数>=办2+匕凶的图像和性质进行探究,探究过程如下,请帮他补充完整.
(1)自变量X的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
X......-5-4-3-2-1012345......
y......50-3-4-30-3-4-305......
其中,a-,b—.
(2)根据表中数据,请画出该函数图像;
(3)观察函数图像,写出y随x增大而增大的自变量x的取值范围;
(4)探究与应用:写出关于x的方程以2+"W=x的解.
六、解答题:(2个小题,每题10分,共20分)
23.如图,已知等边AABC,以AB为直径与边AC相交于点。.过点。作垂足为
E;过点E作垂足为尸.
(1)求证:OE是。。的切线;
(2)若EF=26,求直径AB的长.
24.千山风景区是鞍山著名旅游景点,景区研发一款纪念品,每件成本为30元,投放景区内进行销售,若
每件售价为35元,每天可售出9()件,销售一段时间后,决定涨价,经调研发现每涨1元销售量就会减少
2件,物价部门规定单价不低于成本且不高于54元,设售价为x元/件,销售量为y件.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)设每天所获利润为印元,当销售单价为多少元时,每天获利最大?最大利润是多少元?
七、解答题:(1个小题,12分)
25.在矩形ABC。中,点E是8C边上一动点,连接AE,过点8作于点G,交CO边于点
F.
(1)当矩形ABC。是正方形时,以点F为直角顶点在正方形A8CD的外部作等腰直角三角形连
接印.请直接写出AE与EH之间的数量关系.
(2)如图2,48=3,BC=2,以况和所为邻边作平行四边形BE//,请探究线段AE与团之间
数量关系,并说明理由.
(3)在(2)的条件下即AB=3,BC=2,若M是E/的中点,连接GM,求GM的最小值.
八、解答题(1个小题,14分)
26.已知抛物线经过点(2,-3),它的对称轴为直线x=l,且函数有最小值为-4.
(1)求抛物线解析式;
(2)若抛物线与x轴的交点为4B(/在2左侧),与y轴的交点为C,点P在第四象限的抛物线上,连
2
接0P交BC于点。,当AOCP的面积为△COD面积的§时,求出此时点尸的坐标.
(3)点。是线段OC上的动点,直接写出8。+等。。的最小值.
参考答案
一、选择题:(3分*8=24分)
1.关于x的一元二次方程的2-4了+2=°有不相等的两个实数根,则加的值可能是()
A.0B.1C.3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程有不相等的实根,则根的判别式大于零,且二次项系数不能为零,由此即可求解.
【详解】解:一元二次方程m/一4》+2=0有不相等的两个实数根,
(-4)2-4mx2>0,
8/7?<16.
加<2且加。0.
故选:B.
【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数,掌握一元二次方程的定义,根的判别式是解题
的关键.
2.下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志,既是轴对称又是中心对称图形的是()
厨余垃圾可回收物
FoodWasteRecyclable
\z
伞D/X
其他垃圾有害垃圾
HazardousWaste
ResidualWaste
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断,轴对称图形沿一条轴折叠180。,被折叠两部分能完全重合:
在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180度,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫
做中心对称图形.
【详解】A.是轴对称图形,不是中心对称图形,A选项错误,所以A选项不符合题意;
B.不是轴对称图形,不是中心对称图形,B选项错误,所以B选项不符合题意;
C.不是轴对称图形,不是中心对称图形,C选项错误,所以C选项不符合题意;
D.是轴对称图形,是中心对称图形,D选项正确,所以D选项符合题意.
故选D.
【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形,解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的概念.
3.将抛物线^=(x-1)2+2向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为
()
A.y=(x+2)2-2B.y=(x-4)2+6C.y=(x-3)2-2D.y=(x-3)2+2
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移抛物线解析式的变化原则:“上加下减,左加右减”,即可得到答案.
【详解】根据题意得,
平移后的解析式为:y=(x-l+3)2+2-4,
即y=(x+2)2—2.
故选:A.
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知''上加下减,左加右减”的原则是解答此题的关
键.
4.如图,中,ZACB=90°,NC钻=5()°.将绕点8逆时针旋转得到△ABC',使点C
的对应点C恰好落在边AB上,则NC4A'的度数是()
【答案】D
【解析】
【分析】由直角三角形两锐角互余求出/A8C的度数,根据旋转可得NA'84=NABC=40。,
A!B=AB,得NK4A=70。,即可得到NC4A'的度数.
【详解】解:•.♦NACB=90°,NC4B=50°,
/.ZABC=900-ZCAB=90°-50°=40°,
・•・将"SC绕点8逆时针旋转得到△ABC,使点C的对应点C恰好落在边AB上,
AZABA=ZABC^4O°,AB=AB,
ZBAA'=ZBA'A=gx(180。-40°)=70°,
ZCAA'=ZBAA'+ZCAB=70°+50°=120°,故D正确.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,直角三角形的性质,解决本题的关键是掌握旋
转的性质.
5.某次聚会,每两个参加聚会的人都互相握了一次手,有人统计一共握了15次手.求这次聚会的人数是
多少?设这次聚会共有x人,可列出的方程为()
A.x(x+l)=15B,x(x-l)=15C.2x(x-l)=15D.^x(x-l)=15
【答案】D
【解析】
【分析】可设参加会议有X人,每个人都与其他(X-1)人握手,共握手次数为gx(x-l),根据一共握了15
次手列出方程即可.
【详解】解:设参加会议有x人,依题意得,
-x(x-l)=15,
2
故选:D.
【点睛】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题,得到总次数的等量关系是解决本题的关键.
6.如图,在。。中,BD为直径,NBCE=55°,则功BE等于()
A.55°B.50°C.35°D.45°
【答案】C
【解析】
【分析】根据同弧(等弧)所对圆周角相等,由此可求出NBDE的度数,由8。为直径,可求出NBE。,
根据直角三角形两锐角互余即可求解.
【详解】解:•••30为直径,
ZBED=90°,即&BED是直角三角形,
ABCE=NBDE=55°,
ADBE=90°-55°=35°,
故选:C.
【点睛】本题主要考查圆周角的性质,直角三角形的性质,掌握圆的基础知识,直角三角形的基础知识是
解题的关键.
7.如图,点尸在平行四边形A3C£>的边上,延长所交8的延长线于点区交AC于点。,若
%4AF
--则
一
9一-
%。
小
123
A.2B.~C.—D.一
232
【答案】A
【解析】
S4AB2
【分析】根据平行四边形ABCD中,AB〃CD可得,"OBsMOE,再根据f四=弓,得出——
)△COE"CE3
AR2AF
从而得出一=一,再利用防,求出一的值.
DE1FD
【详解】解:在平行四边形ABC。中,
OAB^CD,AB//CD.
□ZABO=NE,NBAO=NECO,
□△AOBSZXCOE,
ES^COE9
AB2
----——
CE3
DCE=CD+DE=AB+DE,
AB2c
□——=一=2,
DE1
口ZAFB=NEFD,
□AABFS^DEF,
AFAB3
-----==2>
FDDE
故选A.
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.
8.如图,在平面四边形N8CD中,BC=2AB=4,ZA=60°,点M从工出发沿路径A—8运动,点N从
8出发沿路径B-C—O运动,M,N两点同时出发,且点N的运动速度是点"运动速度的3倍,当"运
动到8时,M,N两点同时停止运动,若用的运动路程为无,的面积为y;则能反映y与x之间函
数关系的图象是()
【答案】C
【解析】
【分析】过点N作;VE_LZ8交射线于E,根据四边形"8为平行四边形,求出NO/8=NN8E=60。,
根据求出N8NE=90O-NN8E=30。,分两段,当点N在8c上时,求出
y=;BM.NE=g(2—x)•乎》=手》一苧九2(o<xwg}当点N在CO上,点N到的距离,
过点C作。交射线48于F,求出y=gBM-NE=;(2-x)x2jJ=26一Jit(gvxW2),然
后对各选项进行分析即可.
【详解】解:过点N作/VEL48交射线43于E,
"/四边形ABCD为平行四边形,
C.AD//BC,
NDAB=NNBE=60。,
■:NELAB,
ZBNE=90°-ZNBE=30°,
分两段,当点N在8c上时,AM=x,BN=3AM=3x,
・l131
・・BE=—BN——,
22
3x丫373
:.NEZBM-BE?=(3x)2+=------X»
5,2
3百3百2
x=------X---------X
24
当点N在C£)上,点N到AB的距离,过点C作CFLAB交射线AB于F,
,:NELAB,CFVAB,CD//AB,
・・・ZNEF=ZCFE=ZENC=90°,
・・・四边形NEFC为矩形,
:・CF=NE,
在RfABCF中,BC=4fZBCF=900-ZCBE=30°,
/.BF=—BC=2,
2
:«F=S]BC2-BF2=V42-22=273>
y=g8M.NE=g(2—x)x2G=26—瓜(g<xV2
...点N在8c上是开口向下的抛物线,点N在8上是一次函数,
A.图像是两个一次函数的联合,故选项A不合题意;
B.点N在8c上时函数图像是一次函数,点N在C。上函数图像是开口向上的抛物线,故选项B不合题
意;
C.点N在8c上时函数图像是开口向下的抛物线,点N在8上函数图像是一次函数,故选项C合题
忌;
D.点N在8c上时函数图像是开口向下的抛物线函数,点N在8上函数图像是开口向上的抛物线,故
选项D不合题意.
故选择C.
【点睛】本题考查平行四边形性质,二次函数,一次函数,图形动点问题,30。张角三角形性质,勾股定
理,三角形面积,掌握平行四边形性质,二次函数,一次函数,图形动点问题,30。张角三角形性质,勾股
定理,三角形面积是解题关键.
二、填空题(3分*8=24分)
9.已知关于x的二次函数)=(租—1"2—x+M—l的图象经过原点,则"?的值为.
【答案】-1
【解析】
【分析】根据函数图象经过原点,把(0,0)代入函数表达式,即可求出〃,的值,再根据二次函数的定义,排
除不符合题意的〃7的值即可.
【详解】解:把(0,0)代入>=(加一1卜2-》+加2_1得:0=加2_[,
解得:叫=1,加2=一1,
>=(〃?-1)%2-》+加2-1为二次函数,
m-10,即加。1,
AM=-1,
故答案为:-1.
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的定义,图象经过原点时
x=0,y=O,是本题的关键.
io.如图,在平面直角坐标系中,“WC与江冰是以原点。为位似中心的位似图形,已知点c的纵坐
标为1,点尸的纵坐标为3,点E的坐标为(6,2),则点8的坐标是.
【解析】
【分析】根据两个三角形的位似比即可求得点B的坐标
【详解】c"BC与ADE尸是以原点。为位似中心的位似图形,且点C的纵坐标为1,点尸的纵坐标为
3,
□△A8C与△£>瓦'的位似比为:1:3,
:点后的坐标为(6,2),
□点8的坐标为:件|}I]。[]
故答案为:.
【点睛】此题主要考查了求位似图形的对应坐标,熟练掌握两个位似图形对应点坐标之间的关系是解题的
关键.
II.已知X”毛是一元二次方程为2一%一3=0的两根,则为2+2的值为.
【答案】4
【解析】
分析】把X1代入得X;-X,-3=0,整理得X:=再+3,再把X:=%+3整体代入为2+刍可得%+9+3,
即可进行解答.
【详解】解:是一元二次方程f一%一3=0的根,
*,•—%]—3=0,整理得=玉+3,
巴xj=芭+3代入x;+%得百+X2+3,
b
X]+W==1,
a
xj+x,=占+x?+3=1+3=4;
故答案为:4.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系,解题的关键是掌握使方程
bc
左右两边相等的X的值是方根的解,一元二次方程百+%=-一,
12.平面内一点P到。。上的点的最大距离是12,最小距离为8,则。。的半径为.
【答案】2或10##10或2
【解析】
【分析】由于点P与。。的位置关系不能确定,故应分两种情况进行讨论.
【详解】解:设。。的半径为厂,
当点P在圆外时,用三12-上812;
2
12+X
当点P在。。内时,r□一万一E0.
综上可知此圆的半径为2或10.
故答案为:2或10.
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系,解答此题时要注意进行分类讨论,避免遗漏.
13.校运动会上,初三的同学们进行了投实心球比赛,实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物
线.如图建立平面直角坐标系.已知实心球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系是
_____m.
【答案】10
【解析】
【分析】求出当y=0时,X的值即可.
184i,s4
【详解】解:把y代入y=-----%2H—XH得:----X~H—=0,
1515315153
整理得:/一8》—20=0,
解得:%!=10,x2=-2(舍),
故答案为:10.
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用,解题的关键是理解题意把函数问题转化为方程问题.
14.如图,RtZ\ABC中,ZACB=90°,NB=60°,BC=2cm,。为BC的中点,若动点E以lcm/s的
速度从4点出发,沿着Af3的方向运动,设E点的运动时间为f秒(OW,<4),连接。E,当,=
秒时,以8、E、。为顶点的三角形与相似?
【答案】2或3.5
【解析】
【分析】求出AB=23C=4cm,分两种情况:口当=ZACB=90°时,DE//AC,
^EBD^/XABC,得出AE=BE=』A8=2cm,即可得出f=2s;□当ND£B=ZACB=90。时,证出
2
/\DBE^^ABC,得出N3£)E=NA=30。,因此BE=』6。=」cm,得出AE=3.5cm,f=3.5s;即可
22
得出结果.
【详解】解:□/ACB=90°,ZABC=60°,
□ZA=30°,
□AB=2BC=4cm,
分两种情况:
□当N££>5=N4CB=90。时,
DE//AC,/\EBD^/\ABC,
□。为3c的中点,
0BD=CD=-BC=lcm,£为的中点,AE=5七=2AB=2cm,
22
□£=2s;
口当=NAC3=90。时,
□ZB=ZB,
□ZBDE=ZA=30°f
aBE=-BD=-cm,
22
□AE-AB-BE-3.5cm,
口r=3.5s;
综上所述:当以B、D、E为顶点的三角形与44BC相似时,,的值为2或3.5;
故答案为:2或3.5.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30。角的直角三角形的性质等知识;掌握相似
三角形的判定方法是解题的关键,注意分类讨论.
15.已知二次函数卜=以2+次+c(a,0)图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表:
……
X01234
y•••-3-4-305・・・
请根据上表直接写出方程⑪2+乐+c=o(a,o)的解为
【答案】%=-1,々=3
【解析】
【分析】由表格信息可知,二次函数的对称轴为x=l,当x=3时,函数值为零,根据函数的对称性,即可
求解.
【详解】解:据题意得,当x=0时,丁=-3;当x=2时,y=-3,
.•.对称轴为x=l,
当x=3时,y=0,根据函数关于对称轴对称可知,
当%=—1时,y=o,
,方程以*+〃x+c=O(a/O)的解为X]=-1,々=3,
故答案为:X]=—1,X,=3.
【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程解的综合,掌握二次函数图像的性质解一元二次方程
是解题的关键.
16.如图,在正方形A8CO中,对角线AC,8D相交于点O,尸是线段。。上的动点(点尸不与点O,
。重合),连接。尸,过点F作FGLCE分别交AC,A8于点“,G,连接CG交BD于点作
OE||C。交CG于点MEF交AC于点、N.有下列结论:①当=时,AG=^BG;②
CHOF
CN2=BM2+DF2;③NGFM=NGCH时,CF?=CNBC;④——=—.其中正确的是______
OMOC
(填序号).
【答案】①②③
【解析】
【分析】①正确.利用面积法证明——AG=——AC=后r-即可.
BGBC
②正确.如图中,过点〃作于P,于。,连接..想办法证明CM=C尸,再利
用相似三角形的性质,解决问题即可.
③正确.如图中,将ACBM绕点c顺时针旋转90°得到Acrw,连接fw.则cw=cw,
BM=DW,NMCW=90°,ZCBM=ZCDW=45°,证明=利用勾股定理,即可解决
问题.
④错误.假设成立,推出NO"/=NOOW,显然不符合条件.
【详解】解:①如图,过点G作GT_L4C于7.
:"BGM=NBMG,
ZBGM=ZG4C+ZACG,/BMG=ZMBC+/BCM,
•••四边形ABC。是正方形,
:.ZGAC=ZMBC=45°,AC=42BC>
ZACG=ZBCG,
•;GBLCB,GTVAC,
:.GB=GT,
BG2BCGBBC1
n^BCG
SjCGAGi.ACGTAC夜
2
AG=y/2BG)故①正确,
②如图,将ACBM绕点C顺时针旋转90°得到ACDW,连接fW.则cw=cw,
BM=DW,ZMCW=90°,ZCBM=ZCDW=45°,
,:FG=FC,NGFO=NFCN,4FGM=4CFN=45°,
^FGM^^FN,
FM=CN,
ZFCG=AFCW=45°,CM=CW,CF=CF,
.-.△C/W^ACFWCSAS),
FM^FW,
•/ZFDW=ZFDC+ZCDW=450+45°=90°,
FW2=DF2+DW2,
CN2=FM2=BM2+DF2.故②正确,
③如图,过点M作"于P,M0_LA8于0,连接■.
•:4OFH+ZFHO=90°,ZFHO+ZFCO=90°,
/OFH=/FCO,
■:AB=CB,ZABF=ZCBF,BF=BF,
:.AABF冬ACBF(SAS),
:.AF=CF,ZBAF=ZBCF,
•.•NCFG=NCBG=90。,
:.NBCF+NBGF=180。,
■.•ZBGF+ZAGF=180°,
ZAGF=ZBCF=ZGAF,
AF=FG,
FG=FC,
..ZFCG=ZBC4=45O,
ZACF=NBCG,
-,-MQ//CB,
NGMQ=NBCG=NACF=NOFH,
NMQG=ZFOH=90°,FH=MG,
:.^FOH^MQGCAAS),
:.MQ=OF,
:NBMP=NMBQ,MQ^AB,MPIBC,
:.MQ=MP,
:.MP=OF,
ZCPM=ZCOF=90°,ZPCM=ZOCF,
:.ACPM%COF(AAS),
:.CM=CF,
•;0E//AG,OA=OC,
EG=EC,
•.•△尸CG是等腰直角三角形,
ZCFN=45°,
:"CFN=/CBM,
ZFCN=ZBCM,
.△BCMSAFCN,
.CMCB
"~CN~'CF'
:,CF2=CBCN,故③正确,
OHOF一
④假设——=——成立,
OMOC
'.■ZFOH=ZCOM,
.△FOHs^cOM,
:.NOFH=/OCM,显然这个条件不成立,故④错误,
故答案为:①②③.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,等腰直角三角形的性质,正
方形的性质,旋转的性质,勾股定理等等,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
三、解答题:(2个小题,每题8分,共16分)
17.(1)解下列一元二次方程:X2-2V5X+2=0;
3
(2)计算:2-2+cos60°-2sin245°+-tan2300-2sin30°.
2
【答案】(1)—V5+5/3,X2=5/5—^3;(2)——
【解析】
【分析】(1)用配方法求解即可;
(2)先求出负整数累,再根据将特殊角度是锐角三角函的混合运算进行计算即可.
【详解】(1)解:/一2氐=一2,
X?—+5=3,
^x—y/5^=3,
X-y[5=±5/3,
x,—>/5+yfifx)=^5-A/3;
丫3
(2)解:原式='+■!■—2xV2出
+—XY_XI
422222
7~T7
1-131,
二——I-----2x——I--x-----1
42223
++
422
3
4
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和特殊角度的锐角三角函数混合运算,解题的关键是熟练掌握解
一元二次方程的方法和步骤,熟记各个特殊角度的锐角三角函数值.
18.如图,NC=90°,N3=30°,BD=8,ZADC=A5°,求AC的长.
【答案】4>/3+4
【解析】
【分析】解RtA4)C得出。C=AC,设AC=x,在RtZXABC中,m^itanB=—.即可求解.
BC3
【详解】解:□NC=90°,/ADC=45°,
AC=DC,
设AC=x,在中,tanfi=—,
BC3
即一%=走,
8+x3
解得:x=4>/3+4,
即AC=4百+4.
【点睛】本题考查了解直角三角形,掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键.
四、解答题:(2个小题,每题10分,共20分)
19.已知:YABC。的两边AB,AO的长是关于x的方程f一〃a+〃Li=o的两个实数根.
(1)当机为何值时,四边形ABCO是菱形?求出这时菱形的边长;
(2)若A8的长为3,那么YA3CD的周长是多少?
【答案】(1)当机为2时,四边形ABC。是菱形;1
(2)8
【解析】
【分析】(1)利用菱形的性质及根的判别式,可得出关于小的一元二次方程,解之可求出,”的值,将用的
值代入原方程,解之即可得出方程的解,即菱形的边长;
(2)将x=3代入原方程,可求出机的值,进而可得出原方程为-4x+3=0,利用根与系数的关系,可
求出43+4)的长,再利用平行四边形的周长计算公式,即可求出YA8CD的周长.
【小问1详解】
「YABC。为菱形,
口关于x的方程V-〃a+加一1=0有两个相等的实数根,
□A=(-w)?-4xlx(/?7-l)=(m-2)'=0,解得:网=,〃2=2,
口当,“为2时,四边形ABC。是菱形.
将力=2代入原方程得V_2x+1=0,即(x—I)?=0,
解得:X1=W=1,
□这时菱形的边长为1.
【小问2详解】
将x=3代入原方程得32—3m+m—1=0,解得:m=4,
口原方程为%2-4%+3=0,
又口YA3CD的两边AB、A£>的长是关于x的方程f一小+加一1=0的两个实数根,
□AB+AD=4,
「YABCD的周长是2(43+AD)=2x4=8.
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、配方法解一元二次方程、平行四边形的性质以及菱形
的判定与性质,解题的关键是:(1)利用菱形的性质及根的判别式A=0,求出,”的值;(2)利用根与系
数的关系,找出/W+4)的长.
20.如图,某地有一座圆弧形拱桥其圆心为。,桥下水面宽度A8为7.2m,拱高CO为2.4m.
(1)求拱桥的半径:
(2)夏季雨季来临时,当水面离桥顶C距离为1m时,就要禁止通行,某天暴雨后桥下水面宽度E/为
3m,请通过计算说明是否要禁止通行.
【答案】(1)3.9m
(2)禁止通行,理由见解析
【解析】
【分析】(1)连接。8,根据垂径定理和勾股定理求解;
(2)连接OF,根据垂径定理可得Gb=」EF=1.5m,在Rtz^OEG中,根据勾股定理得
2
OG=y/OF2-GF2=3,6m-则CG=OC—OG=0.3<1,即可判断出答案・
【小问1详解】
如图,连接。8,
,/OC1AB,
二。为A3中点,
AB=7.2m,
BD=—AB=3.6m,
2
又,••CD=2.4m,
设05=CC=rm,则OD=(r—2.4)m,
在Rt/OD中,根据勾股定理产=(r-2.4)2+3.62,
解得r=3.9,
拱桥的半径为3.9m;
【小问2详解】
连接。尸,
OCA.EF,
;.G为EF中点,
*.*EF=3m,
GF=-EF=1.5m,
2
■:OF=3.9m,
在Rtz^OEG中,OG=^OF2-GF2
=,3.92-1.52
=3.6m,
/.CG=OC-OG=3.9-3.6=0.3<1,
•••要禁止通行.
【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用,正确的做出辅助线是解决本题的关键.
五、解答题:(2个小题,每题10分,共20分)
21.如图,三角形A8C是直角三角形,ZAC6=9()。,点。为AB的中点,点。在84的延长线上,且
NDC4=NABC,点E在。。的延长线上,且
BECE
(1)求证:
~BD~~CD
ns2
(2)若匕=±,BE=3,求AB的长.
OD3
【答案】(1)证明过程见详解
【解析】
【分析】(1)如图所示(见详解),连接OC,可知OC=Q4=03,NOCD=90P,可证△DCO,
由此即可求解;
⑵由(1)可知器=/=器V且岩=|,②=04,可求器总BD,°3的长,由
此即可求解.
【小问1详解】
证明:连接OC,
DB
VZACB=90°,。为AB中点,
OC=OA=OB,
:.ZOCB=ZOBC,
ZACO+ZOCB=90°,
ZDCA^ZABC,
:.NDCA+ZACO=90°,即NOCD=90°,
BE工DC,
:.ZBEC=90°,
QZOCD=ZBEC,
:.OC//BE,
CEOB
:.公DCOs公DEB,—=——,
CDOD
BEOC
BD-OD
OC=OB,
BECE
BDCD
【小问2详解】
2
—,OB=OA,
3
OB2
BEOCOB2
由(1)知:
BD~OD~OD3
BD3
BE=3,
OB2
---=一,OB+OD=BD,
OD3
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质,中点的性质,相似三角形的判定和性质,掌握直角三角形,中
点,相似三角形的判定和性质是解题的关键.
22.某同学对函数>=办2+匕凶的图像和性质进行探究,探究过程如下,请帮他补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
X......-5-4-3-2-1012345......
y......50-3-4-30-3-4-305......
其中,a=,b=.
(2)根据表中数据,请画出该函数的图像;
(3)观察函数图像,写出y随X增大而增大的自变量X的取值范围;
(4)探究与应用:写出关于x的方程必:2+可乂=》的解.
【答案】(1)a=l,b=~4
(2)见解析(3)-2<x<0^x>2
(4)x=-3或x=0或x=5
【解析】
【分析】(1)任意取两对x、y的值代入解析式中,求出〃、b的值即可;
(2)以表中x、y对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点,用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数
y^ax2的图像;
(3)观察函数图像找出y随x增大而增大的自变量x的取值范围—2WxWO或尤22;
(4)画出函数y=区与y=x的图像,观察图像,得到关于x的方程加+0凶=%的解x=—3,
或元=0,或%=5.
【小问1详解】
将(1,一3),(4,0)代入y=⑪2+。国,
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