线性代数与空间解析几何第四章习题课

第四章复习课返回n

维向量空间

(Rn

):n

维向量:(有序数组)a

=

(a1,

a2

,,

an

)n

维行向量a

的分量n

维列向量:

bn

b

=

b2

b1

实（复）向量:分量为实（复）数Rn

的子空间定义若f„VRn

,且"a，b˛

V

,k

˛

R,有a

+b˛

V

,

ka

˛

V

,则称V是Rn

的一个子空间.设a,b为两个已知的n维向量，集合V

=

{x

=

la

+

mbl,

m

˛

R}这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空间.l1

,l2,,lm

˛

R}V

=

{x

=

l1a1

+

l2a2

+

+

lm

am一般地，由向量组a1

,a2

,,am所生成的向量空间为V2

=

{x

=

m1b1

+

m2b2

+

+

msbs

m1

,

m2

,ms

˛

R}则V1

=V2

.设向量组a1

,,am与向量组b1

,,bs等价，记V1

=

{x

=

l1a1

+

l2a2

+

+

lm

am

l1

,

l2

,,

lm

˛

R}定义若存在数k1,k2,…,km

使得b

=

k1a1

+

k2a

2

++

kmam

,则称向量b

为向量组a1，a2，…，am的线性组合，或称b

可由a1，a2，…，am

线性表出.L(a1,a2,…,am):a1,a2,…,am

线性组合的全体.定理1

设

A

=(a1,

a2,

…,

an),

则下列命题等价：b˛

L(a1,

a2,

…,

an);AX

=b有解;R(

A)

=

R(

A).1o2o3o定义

(Ⅰ):

a1,a2,

…,

a

r

,(Ⅱ):b1,

b

2,

…,

bs

,若组(Ⅰ)中每一个向量都可由(Ⅱ)中的向量线性表出，则称组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出.若组(Ⅰ)与组(Ⅱ)可以互相线性表出，则称组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价.定义若存在不全为零的数x1,x2,…,xm使得x1a1+

x2a2+

…+

xmam

=

0(*)则称a1,a2,…,am

线性相关；否则，称a1,a2,…,am线性无关.定理2

设有m维向量组a1,

a2,

…,

an,

A

=(a1,

a2,

…,

an),则下列命题等价：a1,a2,…,an线性相关;AX

=0有非零解;R(

A)

<

n.1o2o3o推论1

向量个数

>向量维数

的向量组必线性相关.例设a1,a2

，a3

线性无关，证b1

=a1+a2

，b2

=a2+a3

,b3

=a3+a1线性无关.证

设

x1

b1

+

x2b2

+x3b3

=

0,即

x1

(a1+a2

)

+

x2

(a2

+a3

)

+

x3(a3+

a1)

=0.即

(x1+x3

)

a1

+ (x1

+x2

)

a2

+

(x2+

x3)

a3

=0.因为a1,a2

，a3线性无关，所以只有1

2

x2

+

x3

=

0

x

+

x

=

0

(*)

x1

+

x3

=

01

0

11

1 0

=

2

„

0,0

1

1所以(*)只有零解.

故

b1,

b2

,

b3

线性无关.定理3

若a1,

a2,

…,

am线性相关，则a1,

a2,

…,

am

,am

+1

,…,an

线性相关.定理4

a1,a2,…,am(m≥2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m

-

1个向量线性表出.定理5

若a1,

a2

,

…,

am

线性无关，

a1,a2

,

…,

am，b

线性相关，则b

可由a1,

a2

,

…,

am

线性表出，且表式惟一.定义设向量组T满足1o2o在T中有r

个向量a1,a2,…,ar

线性无关；T中任意r

+1个向量都线性相关；则称a1,a2,…,ar

是向量组T的一个最大无关组，数r

为向量组T的秩.最大无关组一般不惟一，秩是惟一的.若向量组线性无关，则其最大无关组就是它本身，秩=向量个数.向量组线性无关(相关)向量组的秩=(<)向量组所含向量个数.定理矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩.例求向量组a1=(1,2,0,3),

a2

=(2,-1,3,1),

a3

=(4,-7,9,-3)的秩和一个最大无关组，并判断线性相关性.解1T2T3TA=(a

,

a

,

a

)=

02

-1599

0-15-

7

fi

0

1

2

4

1

2

4-

1

-

5

3

3

3

1

3

0

-

500

=

B,

0

1

2

4

0

1

3

00

0fi

1

2

3a

,a

,a

线性相关.所以,秩(a1,a2,a3)=2<3,a1,a2为一个最大无关组.两向量组秩的关系：若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则组(Ⅰ)的秩r1≤组(Ⅱ)的秩r2.若组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价，则组(Ⅰ)的秩r1=组(Ⅱ)的秩r2.重要结论

设A,

B分别为m×r,

r

×n矩阵，证明R(AB)≤min{R(A),

R(B)}.定理1

设R(A)=r<n,则AX=0有基础解系且所含向量个数为n-r,即dimW=n-r,这里n为方程组未知数个数.例求方程组的通解1

2

3

42x

+

4

x

+

8

x

+

2x

=

0

x1

+

2x2

+

4

x3

+

x4

=

00

3解

1

2

4

1A

=

2

4

86

2-

3

0

1

2

42fi

0

0

00

-10

0

0-

30fi

01

3x1

+

6

x2

+

2x3

=

02

40

-100

01

1R(

A)

=

2

<

n

=

4,

n

-

R(

A)

=

2,为求通解，可进一步化为

00

00

0

0

0

0

1241

120

00-10-

3

fi

00110

3

5

-

1

得同解方程组41

21035x3

=

-

x4

x

=

-2x

+

1

x(x2,x4为自由未知量)基础解系为

1

x

=

0

0

0

x

=

1

,

-

2

10

-

3

1521方程组通解为X

=

k1x1

+

k2x2

,

k1

,

k2

˛

R.例解1

2

3x2

+

2x3

=

23x

+

2x

+

x

=

13x1

+

x2

+

x3

=

5解

0

1A

=

3

2

013fi

0

0

020-

2fi

01

1

5

1

1

1

5

1

0

-1

32

1

-1

-

2

1

21

2

0

0

0

0R(

A)

=

R(

A)

=

2

<

n

=

3,有无穷多解2

3=

2

-

2x

x得同解方程组

x1

=

3

+

x3(1)求非齐次的特解:取x3=0,

得h0

=(3,2,0)T取x3=1,

得x

=(1,-2,

1)T(2)求导出组的基础解系:AX

=b

的通解为：X

=

h0

+

k

x

,

k˛R1.证证明R(AT

A)=R(A).设A为m

·

n矩阵,x为n维列向量.若x满足Ax

=0,则有AT

(Ax)=0,即思考题(

AT

A)

x

=

0;若x满足(AT

A)x

=0,则xT

(AT

A)x

=0,即(Ax)T

(Ax)=0,从而推知Ax

=0.综上可知方程组Ax

=0与(ATA)x

=0同解,\

n

-

R(

A)

=

n

-

R(

AT

A)因此

R(

AT

A)

=

R(

A).4

3

x

-

x

=

0已知四元齐次方程组(I

):

x1

+x2

=0

及另一(k1

,

k2

˛

R).四元齐次方程组(II

)的通解为T

Tk1

(0,1,1,0)

+

k2

(-1,2,2,1)问(I

)与(II)是否有非零公共解?若有,求出来;若没有,说明理由.2.解将(II

)的通解代入(I

)得1

2

2

k

+

2k

-

k

=

0-

k2

+

k1

+

2k2

=

0

k1

=

-k2

.故(II

)与(I

)的公共解为T

T

Tk1

(0,1,1,0)

+

k2

(-1,2,2,1)

=

k2

(-1,1,1,1)所有非零公共解为k(-1,1,1,1)T

(k

„

0).方程组Ax

=b的三个解向量h1

,h2

,h3满足设A是m

·

3矩阵,且R(A)=1.如果非齐次线性

3

1

1

0

-

1

1

h1

+h2

=

2,

h2

+

h3

=

-

1,

h3

+h1

=

0

求Ax

=b的通解.3.无关的解向量.

A是m

·

3矩阵,R(A)=1,\Ax

=0的基础解系中含有3

-1

=2个线性令h1

+h

2

=a,h

2

+h

3

=b,h

3

+h1

=c,则

1

2

01

-

3

2h

3

=

2

(b

+

c

-

a)

=

-

3

2,1

1

5

2

1

0

h1

=

2

(a

+

c

-

b)

=

3

2,

h

2

=

2

(a

+

b

-

c)

=

1

2

,解方法1

1

-

2h1

-h

2

=

1

,

2

1

h1

-h

3

=

3为Ax=0的基础解系中的解向量.故Ax

=b的通解为3

-

2

2

1

2