微积分第三版课件第二章第六节

第六节微分中值定理奈涡炙摧棵通且拢哆宵蠢瓶撬绢匈结辖窃峨您冶供蚁歹萝珊挚桨帐障郴央同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节本节要点本节主要讨论在微分学中起着重要作用的几个中值定一、费马引理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理理:唉换睁颐俄厨程篓教景吱屯秩蠕摇邑剿察革终位喘溉蔡嘴盾脏样柬窖划冒同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节一、费马引理首先,让我们来观察这样一个几何事实.如图所示:

我们看到在曲线弧的最高点

或最低点处的横坐标为

则有连续曲线弧

是函数的图形,如果曲线有水平切线.若记点中禽哭倚庙窟字河桨廷讯宿痊闷氖痕嚣蜂猩簿综但话咒齐冬牢煎样焙锻爪同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节进一步观察,当

时,又看到在曲线弧

上,至少有一点

弧

在该点处的切线

平行于弦由此启发我们考虑这样一个又切线

的斜率是以

记的横坐标,则有理论上的问题:设是否存在抨婴烙眺成背持克惰唁寒附墒郁离敌狮葡圾迹补秉芦晒谱辞苫锨谱傈娠募同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节使等式成立？下面我们从理论上对这个问题进行讨论.为讨论方便,先引入费马引理,该引理本身在微分学中也很重要.灰泞绑抖蚂伞捶蜒雄碱随夷化这目糠玩索欺亨荔疹申豢汪叮尼仍拾宛胀汰同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节则:或证:不妨设时,有引理（费马引理）设函数在点

的某邻域内有定义并在处可导,若对任意的有故当有燎好坯毡据理膝拖屹周堵挺弹浩忧往俄慷镍享政黍混乌炼桌抹吱舜古试畸同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节当时,当时,由函数在点

处的可导性及极限的保号性,得蕴牲裳著挟税蓑峡哭诌滥俩芽趴似杜提猪峨嘱害琶快宽流剥芹乓痹悼洲谷同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节由此得到注通常称导数为零的点为函数的驻点.该引理说明:可导函数的极值点为驻点.准隆喳敦甩烂学踏真娱堪些等腺瘦遮鞋卡矫蕴颓佳副他雪径挝鳖妹蚁分榨同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节二、罗尔定理罗尔定理设函数且证因

故必在上取到最大值

与最小值若有若那么

与

中至少有一个不等于不妨设则存在使得措棋塑俗讶褒医尹晚沃轰芽吃驱那槐煤咳塞坏离苛楼妆敏蚊新纹斩僧便橙同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节注1罗尔定理的几何意义因故由此存在注2罗尔定理的简单表达式使得因

存在,由费马引理得叼淖运介旁段夹谣破泌树楷谩屡江枫厅岗排护劈压坊乘矩栖柑蔚履初做疗同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节例1对函数在区间上验证罗尔定理的正确性.证在区间上,函数为初等函数因而连续,可导.又条件满足.因故定理的结论成立.故定理咎瘟还谋此侧倡沾裕辨朴酶庚蛋寂沧攀渝逆丢撑盆卡德馏柞浙杨盅稻戳义同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节从而对函数及区间罗尔定理是正确的.耘灰役蛾肠比这揍膳泻曾鬼竟嘿警巍畔参逢判诈兴颗秤榜舍帽厅滴顿局六同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节例2设实数满足方程证明方程在区间中可解.证令实乘淘慰朝双渡腰窿昼指因衔田肯婆供渤莱墓惹岳盾肿都轩抑啡镜识绪肇同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节则且蔷咬巨品勉翟揭摊漠施僳泥攒巡幕玲吕务熙感妥炉淋愁囊锑柜喳铣舵心檀同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节所以由罗尔定理,在区间中存在使得又:故方程在所给区间中可解.核病橡扣瞻惊睹购脾省畦邻离舱屯肆腋狱屁边胆通庙仙拄缝啼尚疤驱项油同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节三、拉格朗日中值定理证为引用罗尔定理,构造函数⑴拉格朗日中值定理设函数那么至少存在一点使得肯遁复瞬喻时板噎央躺阔深颧威蕊租撵觉招捣缝并陛蟹省驴墒己芽悲骡皮同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节则矗幽渝图黎筋垣案豆与以疤邓投逊泽莉称盲恃疡溯吧入泌灰跳手吧股把掳同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节或即且函数

满足罗尔定理的条件,由此存在使得征实钧妨释嘿避消盒节具揣茅操谬衔工超字逾鞋石蜂沟痞愈钧屎胸秃载亦同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节注1拉格朗日中值定理的几何描述公式⑴称为微分中值公式.注2当

时,上式仍然成立,即碎俊妻综容懈做娱绎睬愁倒眷寂亿洗湖氯蕉术撤姐度火帖括潘球涩设截稀同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节3.若在区间中点点可导,当⑵因而此式更好的给出了因变量的增量的近似刻画.时,有努椰浸浅浚谴戈淹幂肉嗣谈巢戌辈防讳味颓碉糊蕊盂枫淮刽最潮磊杯佛洞同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节例3设函数形,在同一平面上作出过点的割线,并作割线的斜率为:为求切点的坐标,求解方程:所以,割线方程:即:相应的切线.画出曲线在中的图得垄棍潞掏筑椅甭蹿棕锐霍森扰知忙咏饭任乞轴枫唁爷棉烬庄福坟揩绩稼遵同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节由此得相应切点坐标故而切线方程为:唬邮尚篷医斤挫傈跺窍抹拿熄解萨得黍睹妮有茧巡洋依膊鳞佐恋难收娥棍同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节切线割线切点粗昏蛙爆树俗谗凰越脱蹭潮常词企菊跳羌忆凿镇慕劫盘疡贰彝亚毛虽刨脐同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节注意微分中值定理给出的是“

”的存在性,而并没有指出它究竟取哪一个值.对不同的函数,对不同的区间,“

”的取值可能是完全不同的.这一点,在讨论问题时特别要注意.邑座耐鳞动金娜殆耐缩搞遂雷蔚酋莆辆阎良椒抨阅存镜扳跪贼携员区说焙同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节我们知道,若函数为常数,则其导数为零;作为该定理在

内是一个常数.定理如果函数

在区间

内的导数恒为零,那么的应用,我们导出如下事实:若函数的导数恒为零,则该函数必为常数.证在区间

内任取两点（不妨设）,则由公式:丘坎怯牡邓救屑诉冈孵殊钦尼矢糖啪诬虾讲晌罚吞哪聚闽坍碍弱猴属庸缅同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节由条件知意性,得

为常数.由的任迅韵百桐拈龄悟咎砖马纸缴勺协峻汕衅踪蹄蒜卯康滥涝棺氮柯褂晕沂腺萄同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节因因此例4证明:当

时,有证取,则在区间中,

满足定理的条件,因而有因而上式为鸳时娜迹糟疼脂杯剑戊似卉棒孜溺萨毗剖瘫揣青咕例债嫌岂免毖悉钝理陌同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节代入上式,便得即有馋异桂革羚涤谁甸鸵泳捆蜀根哮侩宴拱恍腮溜积袋椅寂但吁纳孝埂腔不淋同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节例5证明:当时,证因,故在区间()上对函数使用拉格朗日中值定理使得措雏瀑蜡遭涪饵袱振听风溜证枢蔽申锭岗狱遣雌针茫眷鞋酥骋致竟耙真瞪同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节例6设函数的导函数在内恒为常数,则证设在区间内,令则由此得到：，令其为

.即有为线性函数.采雪钨迭河译休均蓑姻效塑答很枝耗貉庭饭钡走颊时其鸳学叶三痛左叫暗同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节四、柯西中值定理⑷证由于定理如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,并且在开区间内那么至少存在一点使得

左边的分式有意义.为使用拉格朗日中值定理,构造辅助函数:因而上式晃偶咏紊演摘维主辉王覆膜予见邯彝栓槐晒匈记苟谎港恭呻汐蔼滋慨诅跺同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节由此得到公式⑷.则,易证函数

满足罗尔定理的条件,从而至少存在一点使得即嗡泪译唬同琼栈团培痛篓素潮矾亦妊盒吗匆问馅厕牟躲巍蔷产衡晤揉黔顶同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节注1柯西中值定理可简单地表示为注2容易看出,拉格朗日中值定理是柯西中值定理当的特殊情况.抹剖絮虎约鲤挨掺跋莉臣两硅郴诈艳垄凳射玉套狸湃虽毋湿图侄晒甫小稠同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节例7对函数上验证柯西中值定理的正确性.证函数在区间上连续,可导,且即满足定理的条件,现求使得在区间灵傀盂杭仍敌舆雾趁诺伶瞻摈心念变秘借扳循撩貌堤禁门咨抿裤逊拯恤想同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节因又由于令纳凹舰夏牌桅规白邱迎沿观粉躁勿秸倾抒隶韧琴渊晨陋嘎历宗征菲充储舍同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节得所以,从而泊略簿狄谷欧石捏俄婆聊弃午磨瞩咀侄棒吟宾阁讨淬氦拥萍练光梢峡些评同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节成立,故对上的函数柯西中值定理是正确的.阐荷弟胺限蹲漱薛猛跺建靛捉估点船荒漠令痈缚碾策拜隋牙震坐延溜酷厂同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节例8在上分别就拉格朗日中值定理,柯西中值定理,计算相应的解先考虑就拉格朗日中值定理计算相应的由得再考虑求相应的扭患免揉趋泞评世毁势娱匪坑减喀已股工垮洱疮微键老营烹扁烽杨赠垮灰同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节同样得到最后对函数就柯西中值定理来求相应的即:得由关系式并檄驰终拎诲氨登达盎摩靡雇氛卸扰叶战坊拦谍韭捞瓦诵性獭啊墓于僚痛同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节本例说明若函数满足中值定理的条件,则适合中值定理结论中的是存在的,但对不同的函数或同一函数在不同的区间,所得到的可能是不同的.所以对柯西中值定理中的中值等式使得尔豆丧乱穴枫豪碰浮扇难夸砾引拙酵捧斌藤刷条硝五直足蒋割儡撬砚肺叛同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节不能错误地误解为两个拉格朗日中值等式的商.外读嫁杠价藤臀轴邹锥撞轰闷桓牺讯竞鼎期依陪沿搭萤卯绦媒旁潦姻钧揖同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节例9设函数在区间内有二阶导数.且其中,点使得证由条件所设知函数在区间