青海省2022-2023学年数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在某次测量中得到样本数据如下：，若样本数据恰好是样本每个数都增加得到，则、两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数2．（）A．4 B． C．1 D．23．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为（）A．7 B．8 C．9 D．104．关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是()A． B． C． D．5．直线x+2y﹣3＝0与直线2x+ay﹣1＝0垂直，则a的值为（）A．﹣1 B．4 C．1 D．﹣46．如果全集，，则（）A． B． C． D．7．已知向量=(2，tan)，=(1，-1)，∥，则=()A．2 B．-3 C．-1 D．-38．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．9．（2018年天津卷文）设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A．6 B．19 C．21 D．4510．若满足约束条件，则的最小值是（）A．0 B． C． D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，点M为△ABC内切圆的圆心，过点M作动直线l与线段AB，AC都相交，将△ABC沿动直线l翻折，使翻折后的点A在平面BCM上的射影P落在直线BC上，点A在直线l上的射影为Q，则的最小值为_____．12．_____13．设，为单位向量，其中，，且在方向上的射影数量为2，则与的夹角是___．14．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表所示（单位：人）.参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230若从该班随机选l名同学，则该同学至少参加上述一个社团的概率为__________.15．已知点在直线上，则的最小值为__________.16．在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的面积18．在平面直角坐标系中，已知向量，．（1）求证：且；（2）设向量，，且，求实数的值．19．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB//平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）当为何值时，PB⊥AC？20．某专卖店为了对新产品进行合理定价，将该产品按不同的单价试销，调查统计如下表：售价（元）45678周销量（件）9085837973（1）求周销量y（件）关于售价x（元）的线性回归方程；（2）按（1）中的线性关系，已知该产品的成本为2元/件，为了确保周利润大于598元，则该店应该将产品的售价定为多少？参考公式：，.参考数据：，21．在中，，，的对边分别为，，，已知．（1）判断的形状；（2）若，，求．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

分别计算出、两个样本数据的众数、中位数、方差和平均数，再进行判断。【详解】样本的数据为：、、、、，没有众数，中位数为，平均数为，方差为，样本的数据为：、、、、，没有众数，中位数为，平均数为，方差为，因此，两个样本数据的方差没变，故选：D。【点睛】本题考查样本的数据特征，考查对样本数据的众数、中位数、平均数以及方差概念的理解，熟练利用相关公式计算这些数据，是解本题的关键，属于中等题。2、A【解析】

分别利用和差公式计算，相加得答案.【详解】故答案为A【点睛】本题考查了正切的和差公式，意在考查学生的计算能力.3、B【解析】试题分析：设该女子第一天织布尺，则，解得，所以前天织布的尺数为，由，得，解得的最小值为，故选B．考点：等比数列的应用．4、D【解析】

特值,利用排除法求解即可.【详解】因为当时，满足题意，所以可排除选项B、C、A，故选D【点睛】不等式恒成立问题有两个思路：求最值，说明恒成立参变分离，再求最值。5、A【解析】

由两直线垂直的条件，列出方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线与直线垂直，则满足，解得，故选：A．【点睛】本题主要考查了两直线位置关系的应用，其中解答中熟记两直线垂直的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6、C【解析】

首先确定集合U，然后求解补集即可.【详解】由题意可得：，结合补集的定义可知.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7、B【解析】

通过向量平行得到的值，再利用和差公式计算【详解】向量=(2，tan)，=(1，-1)，∥故答案选B【点睛】本题考查了向量的平行，三角函数和差公式，意在考查学生的计算能力.8、D【解析】对于选项A,因为，所以，所以即，所以选项A错误；对于选项B，，所以，选项B错误；对于选项C，，当时，，当，，故选项C错误；对于选项D，，所以，又，所以，所以，选D.9、C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.10、A【解析】可行域为一个三角形及其内部,其中，所以直线过点时取最小值，选B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、825【解析】

以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设直线l的斜率为k，用k表示出|PQ|，|AQ|，利用基本不等式得出答案．【详解】过点M作△ABC的三边的垂线，设⊙M的半径为r，则r2，以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则M（2，2），A（0，8），因为A在平面BCM的射影在直线BC上，所以直线l必存在斜率，过A作AQ⊥l，垂足为Q，交直线BC于P，设直线l的方程为：y＝k（x﹣2）+2，则|AQ|，又直线AQ的方程为：yx+8，则P（8k，0），所以|AP|8，所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝8，所以，①当k＞﹣3时，4（k+3）25≥825，当且仅当4（k+3），即k3时取等号；②当k＜﹣3时，则4（k+3）23≥823，当且仅当﹣4（k+3），即k3时取等号.故答案为：825【点睛】本题考查了考查空间距离的计算，考查基本不等式的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12、【解析】

将写成，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为，利用二倍角公式可变为，由可化简求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.13、【解析】

利用在方向上的射影数量为2可得：，即可整理得：，问题得解.【详解】因为在方向上的射影数量为2，所以，整理得：又，为单位向量，所以.设与的夹角，则所以与的夹角是【点睛】本题主要考查了向量射影的概念及方程思想，还考查了平面向量夹角公式应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题.14、【解析】

直接利用公式得到答案.【详解】至少参加上述一个社团的人数为15故答案为【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.15、5【解析】

由题得表示点到点的距离，再利用点到直线的距离求解.【详解】由题得表示点到点的距离.又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且.【点睛】本题主要考查点到两点间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16、.【解析】

设由，求出点轨迹方程，可判断其轨迹为圆，点又在直线，转化为直线与圆有公共点，只需圆心到直线的距离小于半径，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.【详解】设，，，，整理得，又点在直线，直线与圆共公共点，圆心到直线的距离，即.故答案为:.【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

(1)根据正弦定理把题设等式中的边换成相应角的正弦,化简整理可求得,进而求得;(2)根据余弦定理得,结合求得的值,进而由三角形的面积公式求得面积.【详解】（1）根据正弦定理,又,．（2）由余弦定理得:,代入得,故面积为【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）根据向量的坐标求出向量模的方法以及向量的数量积即可求解.（2）根据向量垂直，可得数量积等于，进而解方程即可求解.【详解】（1）证明：，，所以，因为，所以；（2）因为，所以，由（1）得：所以，解得．【点睛】本题考查了向量坐标求向量的模以及向量数量积的坐标表示，属于基础题.19、（1）见解析；（2）见解析【解析】

1）连结BD交AC于O，连结EO,由EO//PB可证PB//平面EA．（2）由侧面PAD⊥底面ABCD，，可证，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．（3）设N为AD中点，连接PN，则，可证PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．【详解】（1）连结BD交AC于O，连结EO,因为O，E分别为BD.PD的中点,所以EO//PB,,所以PB//平面EAC．（2）正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．（3）设N为AD中点，连接PN，则．又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB为PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x,由,得∽，解之得：,所以，当时，PB⊥AC．【点睛】本题综合考查线面平行的判定，线面垂直的判定，及探索性问题找异面直线垂直，第三问难度较大，需要把异面直线垂直转化为射影垂直，即共面垂直问题．20、（1）；（2）14元【解析】

（1）由表中数据求得,结合参考数据可得.再代入方程即可求得线性回归方程.（2）设售价为元,代入（1）中的回归方程,求得销量.即可求得利润的表达式.由于周利润大于598元,得不等式后,解不等式即可求解.【详解】（1）由表可得,因为,由参考数据,,所以代入公式可得,则,所以线性回归方程；（2）设售价为元,由（1）知周销量为,所以利润,解得,因为,则.所以为了确保周利润大于598元,则该店应该将产品的售价定为14元.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法和简单应用,一元二次不等式的解法,属于基础题.21、（1）为直角三角形或等腰三角形（2）【解析】

（1）由正弦定理和题设条件，得，再利用三