偏导数-教学讲解课件

第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导数

第九章一、偏导数定义及其计算法引例:研究弦在点x0

处的振动速度与加速度,就是中的x固定于求一阶导数与二阶导数.x0处,关于

t

的将振幅定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:同样可定义对y

的偏导数若函数z=f(x,y)在域D

内每一点

(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数

,记为或

y

偏导数存在,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x

轴的斜率.在点M0处的切线是曲线对y轴的斜率.函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!例1.求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.例2.设证:例3.

求的偏导数.(P65例4)解:求证偏导数记号是一个例4.已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D

内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数

.按求导顺序,有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y

的一阶偏导数为例5.求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及例如,二者不等例6.证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n

元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)证:令则则定理.令同样在点连续,得内容小结1.偏导数的概念及有关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续

混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)练习解答提示:P130题5总习题P130题5,6即x＝y＝0时,P130题6(1)(2)作业P691（4）,（6）,（8）；3；5；

6（3）；7；8；9（2）

第九章*二、全微分在数值计算中的应用应用第三节一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容:一、全微分的定义全微分一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D

的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D

内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D

内可微.yBxAD+D(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续偏导数存在函数可微即定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x的偏增量因此有反例:函数易知

但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.所以函数在点可微.注意到,故有推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:

可知当*二、全微分在数值计算中的应用1.近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)半径由20cm增大解:

已知即受压后圆柱体体积减少了

例3.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm

,则高度由100cm减少到99cm

,体积的近似改变量.

求此圆柱体例4.计算的近似值.解:设,则取则yfxffyxD+D+»)2,1()2,1()2,1(分别表示x,y,z的绝对误差界,2.误差估计利用令z的绝对误差界约为z的相对误差界约为则特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数例5.利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：故绝对误差约为又所以S的相对误差约为计算三角形面积.现测得例6.在直流电路中,

测得电压U=24伏,解:由欧姆定律可知(欧)所以R

的相对误差约为0.3+0.5R

的绝对误差约为0.8

0.3;定律计算电阻R

时产生的相对误差和绝对误差.相对误差为测得电流I=6安,相对误差为0.5,=0.032(欧)=0.8

求用欧姆小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续3.微分应用•近似计算•估计误差绝对误差相对误差练习1.P130题1(总习题九)函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.2.选择题

答案:也可写作:当x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03

时△z=0.02,dz=0.03

3.P130题74.设解:利用轮换对称性,可得(L.P245例2)注意:x,y,z

具有轮换对称性

答案:

作业

P75题1(3),(4);3;5.已知在点(0,0)可微.备用题