吉林省长春市市威特中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

吉林省长春市市威特中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在正三棱柱中，，点、分别是棱、的中点，若，则侧棱的长为（

）． A． B． C． D．参考答案：B取的中点，连接，，，设侧棱的长为，则根据题意可得：，解得，，即，故选．2.已知双曲线(，)的左、右焦点分别为、，以、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为 A． B． C．

D．参考答案：C3.在复平面内，复数z=1﹣2i对应的点的坐标为（）A．（1，2） B．（2，1） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）参考答案：C【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出；【解答】解：复数z=1﹣2i对应的点的坐标为（1，﹣2），故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．4.点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点,且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B5.已知函数满足，且的导函数，则的解集为A.

B.

C.

D.参考答案：D设, 则，，对任意，有，即函数在R上单调递减，则的解集为，即的解集为，选D.6.在的展开式中，各项系数和是A.0

-

B.1

C.16

D.256参考答案：A解：令X=1时可得即各项系数和是0.7.设集合P={1，2，3，4}，，则P∪Q=

A． B．{3,4}

C．{1,2,5,6}

D．{1,2,3,4,5,6}参考答案：D略8.函数的最大值与最小值之和为

(A)(B)0(C)－1(D)参考答案：A9.若全集U=R，集合M={x|﹣x2﹣x+2＜0}，N={x|x﹣1＜0}，则如图中阴影部分表示的集合是（）A．（﹣∞，1] B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣2，1）参考答案：B【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合M中，但不在集合N中．又M={x|﹣x2﹣x+2＜0}={x|x＜﹣2或x＞1}，N={x|x﹣1＜0}={x|x＜1}，∴图中阴影部分表示的集合是：（?RN）∩M={x|x≥1}∩{x|x＜﹣2或x＞1}={x|x＞1}，故选B．10.下列说法错误的是

(

)A．命题“若，则”的否命题是：“若

，则”B．如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题.C．若命题：，则；D．“”是“”的充分不必要条件；参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则；.参考答案：3,略12.已知，，若，则的取值范围为

．参考答案：13.若函数在内有极小值，则实数的取值范围是

参考答案：略14.双曲线：的右焦点在直线：上，右顶点到直线的距离为，则双曲线的渐近线方程为

．参考答案：15.已知函数f（x）＝若f（f（0））＝4，则实数＝

.参考答案：216.设全集，集合，，则=

▲

，=

▲

，=

▲

．参考答案：=，=，=．17.已知平行四边形ABCD中，AB=AC，，则此平行四边形面积的最大值为_____．参考答案：12【分析】如图所示，设AB=x,则，OB=3,先求出，再求出平行四边形的面积S的表达式，再利用换元和二次函数的图像和性质求函数的最大值.【详解】如图所示，设AB=x,则，OB=3,所以，所以，由题得.由题得平行四边形的面积S=设,所以当t=时，故答案为：12【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（16分）已知数列{an}的各项均为非负数，其前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有

．（1）若a1=1，a505=2017，求a6的最大值；（2）若对任意n∈N*，都有Sn≤1，求证：．参考答案：【分析】（1）由题意知an+1﹣an≤an+2﹣an+1，设di=ai+1﹣ai（i=1，2，…，504），可得d1≤d2≤d3≤…≤d504，且d1+d2+d3+…+d504=2016，可得=，即可得出．（2）若存在k∈N*，使得ak＜ak+1，则由，得ak+1≤ak﹣ak+1≤ak+2，因此，从an项开始，数列{an}严格递增，可得a1+a2+…+an≥ak+ak+1+…+an≥（n﹣k+1）ak，可得矛盾，因此以{an}不可能递增，即只能an﹣an+1≥0．令bk=ak﹣ak+1，（k∈N*），由ak﹣ak+1≥ak+1﹣ak+2，得bk≥bk+1，bk＞0，进而得出．【解答】解：（1）由题意知an+1﹣an≤an+2﹣an+1，设di=ai+1﹣ai（i=1，2，…，504），则d1≤d2≤d3≤…≤d504，且d1+d2+d3+…+d504=2016，∵=，所以d1+d2+…+d5≤20，∴a6=a1+（d1+d2+…+d5）≤21．（2）证明：若存在k∈N*，使得ak＜ak+1，则由，得ak+1≤ak﹣ak+1≤ak+2，因此，从an项开始，数列{an}严格递增，故a1+a2+…+an≥ak+ak+1+…+an≥（n﹣k+1）ak，对于固定的k，当n足够大时，必有a1+a2+…+an≥1，与题设矛盾，所以{an}不可能递增，即只能an﹣an+1≥0．令bk=ak﹣ak+1，（k∈N*），由ak﹣ak+1≥ak+1﹣ak+2，得bk≥bk+1，bk＞0，故1≥a1+a2+…+an=（b1+a2）+a2+…+an=b1+2（b2+a3）+a3+…+an，=…=b1+2b2+…+nbn+nan，所以，综上，对一切n∈N*，都有．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.求同时满足下列条件的所有的复数z,(A)z+∈R,且1<z+≤6；(B)z的实部和虚部都是整数。参考答案：解：设z=x+yi,(x,y∈R),则z+=x(1+)+y(1－)i.∵z+∈R,

∴y(1－)=0.∴y=0,或x2+y2=10.又1<z+≤6,∴1<x(1+)≤6.当y=0时,

可以化为1<x+≤6,②当x<0时,x+<0,当x>0时,x+≥2>6.故y=0时,无解.当x2+y2=10时,

可化为1<2x≤6,即<x≤3.∵x,y∈Z,故可得z=1+3i,或1－3i,或3+i,或3－i略20.已知的三个内角对应的边长分别为，向量与向量夹角余弦值为。（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）外接圆半径为，求范围．

参考答案：(1)，，，，，由，得，即……7分（2），又，，所以又正弦定理可知：==，所以。……14分

略21.如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点。该四棱锥的正（主）侧图和侧（左）视图如图2所示。（I）证明：∥平面；（II）证明：平面平面。参考答案：【知识点】线面平行面面垂直G4G5（I）略；（II）略．（I）证明：取PC中点Q，连结EQ，FQ．由正（主）视图可得E为PD的中点，所以EQ∥CD,,又因为AF∥CD,AF=CD,所以AFE∥Q,AF=EQ,所以四边形AFEQ为平行四边形，所以AE∥FQ．因为,所以直线AE∥平面PFC;（II）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD,因为面ABCD为正方形，所以AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD，因为，所以CD⊥AE,因为PA=AD，E为PD中点，所以AE⊥PD,所以AE⊥平面PCD．因为AE∥FQ，所以FQ⊥平面PC