浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校高三数学理联考试题含解析

浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆的离心率为，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则b=（）A．8 B．6 C．5 D．4参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率公式和椭圆的定义，可得a=6，结合a，b，c的关系，解得b．【解答】解：由题意可得e==，由椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，可得2a=12，即有a=6，c=2，b==4，故选：D．【点评】本题考查椭圆的离心率公式的运用，以及定义的运用，考查运算能力，属于基础题．2.设复数z满足z（1+i）=|﹣i|（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的代数运算法则，求出z的值，再判断复数z在复平面内对应点的位置．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|﹣i|（i是虚数单位），则z====1﹣i∴复数z在复平面内对应的点Z（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．3.方程2x=2﹣x的根所在区间是（）A．（﹣1，0） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）参考答案：D【考点】函数的零点．【分析】利用函数零点的判定定理即可判断出．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣2，则f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（1）=2+1﹣2=1＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数f（x）在区间（0，1）上必有零点，①又∵2x＞0，ln2＞0，∴f′（x）=2xln2+1＞0，∴函数f（x）在R上单调递增，至多有一个零点．②综上①②可知：函数f（x）=2x+x﹣2在R有且只有一个零点x0，且x0∈（0，1）．即方程2x=2﹣x的根所在区间是（0，1）．故选D．【点评】熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键．4.设，若函数有大于零的极值点，则

(

)

(A)a>-3

(B)a<-3

(C)

(D)参考答案：D5.已知集合,,则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：本题考查集合的补集、交集运算,考查运算求解能力.因为,,所以.6.已知，那么(

)A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】二倍角公式；诱导公式.

C6

C2

【答案解析】C

解析：因为，所以，即，故选C.【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x值.7.已知命题p1：函数在R上为增函数，p2：函数在R上为减函数，则在命题和中，真命题是A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.直线，圆，直线与圆交于两点，则等于

（

）A．2

B．3

C．4

D．参考答案：A9.若则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1 D．S3<S2<S1参考答案：B略10.已知x，y满足条件，若z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则实数m的值为（）A．1或﹣B．1或﹣2C．﹣1或﹣2D．﹣2或﹣参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分mBC）．由z=mx+y得y=﹣mx+z，即直线的截距最大，z也最大．若m＞0，目标函数y=﹣mx+z的斜率k=﹣m＞0，要使z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则直线z=mx+y与直线x﹣y+1=0平行，此时m=﹣2，若m＜0，目标函数y=﹣mx+z的斜率k=﹣m＜0，要使z=y﹣mx取得最大值的最优解不唯一，则直线z=mx+y与直线x+y﹣2=0，平行，此时m=﹣1，综上m=﹣2或m=1，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知A.

B.

C.

D.参考答案：D12.在△ABC中，A＝30°，BC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，△BCD的面积为4，则AC的长为__________．参考答案：略13.已知和是定义在R上的两个函数，则下列命题正确的是(A)关于x的方程恰有四个不相等实数根的充要条件是(B)关于x的方程恰有四个不相等实数根的充要条件是m∈[0，1](C)当m=l时，对成立(D)若成立，则参考答案：D14.已知，则

．参考答案：由已知-sinα=-2cosα，即tanα=2，则sin2α+sin2α=.

15.2008年高考福建省理科数学第11题是：“双曲线（）的两个焦点为、，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B。若将其中的条件“”更换为“，且”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是

参考答案：16.已知函数，若在区间(1,+∞)上函数f(x)的图象恒在直线的图象的下方，则实数a的取值范围是__________．参考答案：【分析】先把图象位置关系转化为不等关系，即，然后利用导数求解最值可得.【详解】设，由题意可知，在区间上恒成立；，当时，，，所以为增函数，所以有，即；当时，总存在，使得，即为减函数，不合题意；综上可得.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数图象之间的位置关系，通常是转化为不等关系，求解最值，侧重考查数学建模的核心素养.17.已知A，B，C，D四点都在球O的球面上，若球O的表面积为16π，则三棱锥A一BCD的体积是________.参考答案：2【分析】由球的表面积求球的半径，利用直角三角形计算AB长，可得AB恰为球的直径，可得AD长，得到，推证平面,利用三棱锥的体积公式计算可得.【详解】因为球的表面积为，所以球的半径为，又，，，可得，故为球的直径，所以，由勾股定理得，在三角形中，，所以，又，所以平面，又在三角形中，，所以，所以三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积是2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(12分)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝＋6x的图象关于y轴对称．(1)求m、n的值及函数y＝f(x)的单调区间；（6分）(2)若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．（6分）参考答案：(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①…由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得＝3x2＋2mx＋n，………………2分则g(x)＝＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)的图象关于y轴对称，所以－＝0，解得m＝－3.代入①得n＝0.于是＝3x2－6x＝3x(x－2)．………4分由>0得x>2或x<0，故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；………5分由<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．………6分(2)由(1)得＝3x(x－2)，令＝0得x＝0或x＝2.………………7分当x变化时，，f(x)的变化情况如下表：

x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)＋0－0＋f(x)增函数极大值减函数极小值增函数…………9分由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．………………12分

19.已知函数f（x）=lnx﹣ax．（1）当a=1时，求f（x）的最大值；（2）试讨论函数y=f（x）的零点情况；（3）设ak，bk，…（k=1，2，…，n）均为正数，若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，求证：…≤1．参考答案：考点：根的存在性及根的个数判断；不等式的证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）利用导数研究函数的单调性，可得函数f（x）=lnx﹣ax在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，故fmax（x）=f（1）．（2）由y=f（x）=0可得lnx=ax，故函数y=f（x）的零点个数即为y=lnx与y=ax的交点的个数．结合图象可得，当a≤0或a=时，y=f（x）有1个零点；当0＜a＜时，y=f（x）有2个零点；当a＞时，y=f（x）没有零点．（3）由（1）可得，当x∈（0，+∞）时，lnx≤x﹣1，可得lnak＜ak﹣1，故bk?lnak＜bk（ak﹣1）=bk?ak﹣bk．可得ln+ln+…+ln＜a1b1+a2b2+…+anbn﹣（b1+b2+…+bn），再由已知条件证得…≤1成立．解答： 解：（1）当a=1时，f′（x）=﹣1，当x＞1时，f′（x）＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0．故函数f（x）=lnx﹣ax在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．故fmax（x）=f（1）=ln1﹣1=﹣1．（2）由y=f（x）=0可得lnx=ax，故函数y=f（x）的零点个数即为y=lnx与y=ax的交点的个数．结合图象可得，当a≤0时，f（x）的零点个数仅有一个．当a＞0时，令f′（x）=﹣a=0，可得x=．由于当x＞时，f′（x）＜0，当0＜x＜时，f′（x）＞0．故f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．故fmax（x）=f（）=﹣lna﹣1．故当﹣lna﹣1＞0时，即0＜a＜时，y=f（x）有2个零点；当a=时，y=f（x）有1个零点；当a＞时，y=f（x）没有零点．综上可得，当a≤0或a=时，y=f（x）有1个零点；当0＜a＜时，y=f（x）有2个零点；当a＞时，y=f（x）没有零点．（3）由（1）可得，当x∈（0，+∞）时，lnx≤x﹣1．∵ak，bk都是正数，∴lnak＜ak﹣1，∴bk?lnak＜bk（ak﹣1）=bk?ak﹣bk．∴ln+ln+…+ln＜a1b1+a2b2+…+anbn﹣（b1+b2+…+bn）．又因为a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，∴ln+ln+…+ln≤0，即ln（?…）≤0，故…≤1．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，利用导数研究函数的单调性，用放缩法证明不等式，属于中档题．20.在平面直角坐标系中，直线与曲线（为参数）相交于，两点，求线段的长.参考答案：曲线的普通方程为.联立解得或所以，，所以.21.抛物线在点，处的切线垂直相交于点，直线与椭圆相交于，两点．（Ⅰ）求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离；（Ⅱ）设点到直线的距离为，试问：

是否存在直线，使得，，成等比数列？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（I）抛物线的焦点，

………1分椭圆的左焦点，

………2分

则．

………3分（II）设直线，，，，，由，得，

………4分故，．

由，得，故切线，的斜率分别为，，

再由，得，

即，

故，这说明直线过抛物线的焦点．

………7分由，得，,即．

………8分于是点到直线的距离.

………9分由，得，

………10分从而，