2019年高考数学一轮复习第四单元导数及其应用高考达标检测十三极值最值两考点利用导数巧推演理

2019年高考数学一轮复习第四单元导数及其应用高考达标检测十三

极值最值两考点利用导数巧推演理一、选择题.函数八%)=。2-1)2+2的极值点是( )A.x=1 B.x=-1C.%=1或—1或。 D.x=0解析：选CV»=x4-2x2+3,由f(x)=4x3—4x=4x(%+l)(x—1)=0,4导x=0 %=1 %=-1,又当XV—1时，/(x)<0,当-1<X<O时，/(x)>0,当0<¥<1时，/(x)<0,当%>1时，f(x)>0,・・・％=0,1,-1都是外)的极值点.2.已知函数外)=%3+4%2+云-42-74在1=1处取得极大值10,贝哈的值为()A.—x B.—22 2C.-2或一耳 D.2或一5解析：选A由题意知，f(x)=3x2+2ax+bf/(1)=0,小)=10,3+2a+Z?=0, \a=-2, f«=—6,即《 解得｛, 或1Cl+«+Z?—«2—7«=10, [/?=1 \b=9,a=-6, a2经检验70满足题意，故石=-13.(XX•浙江瑞安中学月考)已知函数"X)=X3+Zu2+c%的图象如图所示，则在十必等于()2 一4解析：选C由图象可知府)过点(1,0)与(2,0),看,%是国数八%)的极值点，因此1+Z?+c=0,8+4。+2c=0,解得》=-3,c=2,所以4%)=%3—3%2+2%,所以了(%)=3%2—6%+2.%1,X2是方程/(%)=3%2-6%+2=0的两根，2 48因此％i+4=2,%1%2=弓，所以曰+%夕=(%1+%2)2—2%1%2=4_§=?4.已知齿数«¥)=%3+奴2+云+°,%6[-2,2]表示的曲线过原点，且在％=±1处的切线斜率均为－1，有以下命题：CDA%)的解析式为：八%)=%3-4%,%G[-2,2];②/(%)的极值点有且仅有一个；O%)的最大值与最4'值之和等于零.其中正确的命题个数为()A.0 B.1C.2 D.3解析：选C/(x)=3x2+2ax+b,因为国数八%)=%3+以2+云+c,%6[-2,2]表示的曲线过原点，且在％=±1处的切线斜率均为-1,f1=3+2a+b=—1, a=0,所以/-1=3-2a+b=-l, 解得《》=4,、c=0, lc=0,则“¥)=%3-4%, [-2,2],故①正确；/(%)=3%2—4,令))=0,解得户±乎0—2,2],易知，％=±233均为函数的极值点，故②错误；易知函数f(X)=x3-4x…曰-2,2]是奇函数，所以最大值与最小值之和为0,故③正确.因此，正确命题的个数为2,故选C.X 3.(xx-长沙二模)已知函数f(x)=X2^3>0)在[1,+◎上的最大值为¥，则a的值为()Aa/3-1 B.4C.4 D.；3+1一，,， , x，- a—x2解析：选A 由fx）=x2=，得f（x）= x2+〃2，x2।a x2।a2当a>1时，若x>\:a，则f(x)<0,fx)单调递减，若1<x<」a,则f(x)>0,fx)单调递增，故当x=、a时，函数fx)有最大值表=苧，得。=4<1,不合题意；当a=1时，函数fx)在[1,+◎上单调递减，最大值为4)=2，不合题意；当0Va<1时，函数fx)在[1,+◎上单调递减，此时最大值为八1)=上=苧，得aa十1j=白-1,符合题意.故a的值为%石-1,选A..已知直线11:y=x+a分别与直线12：y=2(x+1)及曲线C:y=x+lnx交于A,)5两点，则A,5两点间距离的最小值为(3小 一B.C竽 D.3陋y=x+a,解析：选D由c1得A3—2,2。—2),y=2x+1,[y=x+a,由《i得5®,a+e〃)，y=x+mx,\AB\=7_Qa—a+2_2+[~+a—2a—2~]2=啦(e〃—«+2),令且(。)=5-。+2,则g'(q)=ea—l,g(o)在(一*0)上递减，在(0,+刈上递增，所以g(。)在«=0处取得最〃'值g(0)=3,所以A,3两点间距离的最小值为二、填空题.若函数八%)=2%2-In%在其定义域的一个子区间(左-1,左+1)内存在最小值，则实数k的取值范围是 .解析：因为八%)的定义域为(0,十⑹，1 qX/(x)=4x--由/(%)=0,

人1一2k—\<\<k+1,

据题意2解得1<^<|.答案:[1,D.已知函数以)=＞噂+111%),若％=2是国数外)的唯一一个极值点，则实数上的取值范围为解析：/(%)=%2日一2%门

X4ex〜 x-iex设g(%)="(x>0),贝Ug<%)= " ,A 人/・・・gQ)在(0,1)上单调递减，在(1,+s)上单调递增.••6(%)在(0,十℃)上有最小值，为g(l)=e,结合g(%)=：与,=上的图象可知，要满足题意，只需依e.•X答案：(一叫e]9.(xx•湘中名校联考)已知函数g(%)=。一%21<X<e,e为自然对数的底数与h(x)=en%的图象上存在关于％轴对称的点，则实数a的取值范围是 解析：由题意，知方程％2—o=21n%,即—Q=21n%—%2在Y，e_|上有解.设f(x)=2lnx-x2,则f(x)=~-2x=- - .x x易知xe1,1)时，f(x)>0,x6［1,e］时f(x)<0,所以函数fx)在［±1)上单调递增，在［1,e］上单调递减，所以于(x)极大值=f(1)=-1，又于:e)=2-e2,/0=-2-5，f:e)fe)，所以方程-Q=2lnx-x2在1,e上有解等价于2-e2<-«<-1,e所以a的取值范围为［1,e2-2］.答案：［1,e2-2］三、解答题--x3+x2,x<1,.已知函数fx)={i1aInx,x>1.⑴求f(x)在区间(-*1)上的极小值和极大值点；(2)求fx)在［-1,e］(e为自然对数的底数)上的最大值.解：(1)当x<1时，f(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),2令f(x)=0,解得x=0或x=3.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：x(一*0)0I。.3)23(3,1)f(x)0+0f(x)极小值极大值2故当x=0时，函数f(x)取得极小值为八0)=0,函数f(x)的极大值点为x=3.「2) 「一2'(2近当-1<x<1时，由(1)知，函数f(x)在［-1,0］和仁，1)上单调递减，在［0,3

递增.因为f-1)=2,f2)=27,f(0)=0,所以f(x)在［-1,1)上的最大值为2.②当1<x<e时，f(x)=aInx,上单调当a<0时，f(.x)<0;当4>0时，"¥)在［1,e］上单调递增，则八%)在口，e］上的最大值为/(e)=a故当a>2时，八%)在［-1,e］上的最大值为a;当a<2时，»S［-1,e］上的最大值为2..设/数1%)=3%2—(a+1)%+aln%,a>0.(1)求函数f(%)的单调区间；(2)讨论函数f(%)的零点个数.解：(1)函数f(%)的定义域为(0,+s),「y a%2—a+1%+a%一a%一1,八、因为f(%)=%—(a+1)+；= " = " (%>0),% % %①当0Va<1时，令f(%)<0,得a<%<1;令f(%)>0,得0V%<a或%>1,所以函数f%)的单调增区间为(0,a)和(1,+^),单调减区间为(a,1).%—12②当a=1时，f(%)= 7 次恒成立，%所以函数f%)的单调增区间为(0,+s),无减区间.③当a>1时，令f(%)<0,得1<%<a;令f(%)>0,得0V%<1或%>a,所以函数f%)的单调增区间为(0,1)和(a,+s),单调减区间为(1,a).(2)由(1)可知，①当0va<1时，函数f%)的单调增区间为(0,a)和(1,+到，单调减区间为(a,1),所以f%)极大值=f(a)=—2a2—a+aIna<0,f%)极小值=f(1)=—2—a<0,注意到f(2a+2)=aln(2a+2)>0,所以函数f%)有唯一零点.②当a=1时，函数f%)在(0,+到上单调递增，一一，3又注意到f(1)=—2<0,f(4)=ln4>0,所以函数f%)有唯一零点.③当a>1时，函数f%)的单调增区间为(0,1)和(a,+W,单调减区间为(1,a),所以f%)极大值=f(1)=—2—a<0,f%)极小值=f(a)=—2a2—a+aIna<0,注意到f(2a+2)=aln(2a+2)>0,所以函数f%)有唯一零点，综上，函数f%)有唯一零点..已知函数f%)=ln%+%2—a%(aGR).⑴当a=3时，求函数f%)的单调区间；3(2)若函数f%)有两个极值点%1,%2,且%1G(0,1］,证明f%1)—f%2)>—4+ln2.々■ri 1 2x2—ax+1八斛：f(x)=~+2x-a= ~ (X>O).(1)当a=3时，/(x)=2x2—3x+1x令f(x)=0,X

或1-=%得所以当0<x<2或x>1时，f(x)>0;当2<X<1时，/(x)<0.1所以函数fx)的单调递增区间为(。，2)和(1,+^),单调递减区间为(2,1).(2)证明：由于f(x)有两个极值点x1,x2,a1所以x1+x2=2,x]•x2=2,即2(x1+x2)=a则2x2—ax+1=0有两个不相等的实根，1,x2=2x；,所以f(x1)—f(x2)=lnx1+x2—ax1—Inx2一x2+ax2=lnx1—ln2x~+a(x1—x2)—a(x1—x2)=2lnx1—x2+41^+ln2(0<x1皿设F(x)=2lnx—x2+己+ln2(0<x<1),। 2 1贝uFQ)=x—2x—2x3=2x2—122x3 <0,所以F(x)在(0,1]上单调递减， 3所以F(x)>F(1)=—4+ln2,一~、 3即f(x1)—f(x2巨一4+ln2.1.若函数fx)=x3+ax2+bx的图象与x轴相切于点(c,0),且f(x)有极大值4,则c=()A.一3—1C.1B.D.3解析：选D求出导数f(x)=3x2*+2ax+b—a土、:a2—3b由f(xx)=0可得x= 3 ,,—a—a2—3b3 ,—a+a2—3b3 ,所以函数f(X)在一哈+川上是增函数，,在一a—\Ja2—3b

3上是减函数，,—a+a2—3b3 ,_fl-\-yla2—3b易知c，0,且3 =c,因为国数府)=心+am+bx的图象与％轴相切于点(c,0),了

fC所以C=3c2+2ac+Z?=0,

=C3+qc2+bc=0,_ a一解得c=—2，所以a2=4b,贝幅户一a—'a2—3b a34,3当a>0时，一a—a .一一.—2=%不符合题意；当a<0时，—a—a—6<c，33又因为fx)有极大值4,a6a6所以3+ax। a2月Jx=4,解得a=—6,贝Uc=3.2.已知函数f(x)=2x2+(1—m)x+lnx.⑴若函数f(x)存在单调递减区间，求实数m的取值范围;(2)设x-x2(x1<x2)是函数fx)的两个极值点，若mg,求f(xJ-fx2)的最小值.解：(1)因为f(X)=2x2+(1—m)x+lnx,1x2+ 1—mx+1所以f(x)=x+1—m+x= x又因为f(x)<0在(0,+划上有解，令g(x)=x2+(1-m)x+1,因为g(0)=1>0,m—1口需，亍>0,八而、/=1—m2—4>0,解得《m>1