浅谈数学模型的建立学士学位论文

江西师范大学科学技术学院2013届学士学位毕业论文前言数学模型是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。第一章，了解数学模型的概念、分类及思想方法。数学应用的基础是数学建模，因此培养学生数学模型思想是极其重要的。第二章，让学生了解并掌握数学模型的建立及基本思想、方法和步骤，能够把数学模型应用到生活中的实际问题中。第三章，以2011年数学建模C题为例帮助学生了解数学模型的建立、求解的过程。一、数学模型1.1数学模型的概念数学模型是用数学语言描述的一类模型,对研究对象的生命本质和运动规律进行具体的分析、综合，用适当的数学形式(如数学方程式、关系式、曲线图和表格等)来表达,并能依据构建的模型做出判断和预测。数学模型法是通过数学模型来揭示原形的形态、构建数学模型在解决生物某些学科中数学问题的作用主要体现在:一个复杂的问题借助数学模型能转变成一个数学问题，通过数学模型的逻辑推理、求解和运算，就能获得客观事物的有关结论，达到把客观事物转化成数学模型进行研究的目的。1.2数学模型的分类数学模型是对现实原型数量关系的一种摹写，而现实原型是非常复杂的，千差万别，在抽象数学模型时，根据问题的属性进行具体分析，可以得到不同类型的数学模型。客观事物一般分为三类现象:一类是必然现象，另一类是随机现象，还有一类是模糊现象。对这三类现象进行量的研究，相应地形成了三类数学模型，即确定性数学模型、随机性数学模型和模糊性数学模型。确定性数学模型，就是现实原型的变化规律服从确定的因果关系，从某时刻的运动状态可以推断出以后各个时刻的运动状态。抽象出来的模型是方程式、逻辑关系式等等。随机性数学模型。自17世纪中叶概率论问世以后，扩大了数学应用范围，丰富了数学方法的内容。用概率论与数理统计为工具来处理一类不确定现象和大数现象，从中得到统计性的规律。解决这样问题必须用随机变量来描述，即用概率论、数理统计、随机过程等研究不确定现象的数学理论和方法来处理。随机数学模型反映了偶然性与必然性的统一，从偶然性中发现必然性，总结出固有的规律，给出近似的量的描述。模糊性数学模型。人类的思维与行为常常具有模糊性，如日常人们用自然语言对话，在复杂多变的情况下作决策，对各种事物作综合评判或分类等等，都具有不精确的特点，但不影响事物的发生。为了研究人类思维与客观世界固有的模糊性，并使机器朝着人工智能方向发展，美国加里福尼亚大学查德(zaden)教授，在1965年提出了“模糊集合”(FuzzySets)概念。从此，一门研究事物模糊的新兴学科—模糊数学诞生了。1.3数学模型方法及其作用科学数学化就是把实践中提出的问题，利用数学理论和计算方法，给出正确的数学描述。运用数学方法解决自然科学、工程技术、经济科学、军事科学和管理科学中的实际问题，多数人认为其工作程序是：实际问题——数学化——数学模型——检验——应用。可见数学模型是用数学方法解决实际问题的重要环节，从实际问题中提炼数学模型就要用到数学模型方法。数学模型方法(mathematicalmodelmethod)简称MM方法。它是将研究的某种事物系统，采用数学形式化语言把该系统的特征和数量关系，抽象出一种数学结构的方法，这种数学结构就叫数学模型。一般地，一个实际问题系统的数学模型是抽象的数学表达式，如代数方程、微分方程、差分方程、积分方程、逻辑关系式，甚至是一个计算机的程序等等。由这种表达式算得某些变量的变化规律，与实际问题系统中相应特征的变化规律相符。一个实际系统的数学模型，就是对其中某些特征的变化规律做出最精炼的概括。目前，数学模型方法已经得到广泛的应用，成为探索客观规律不可缺少的认识手段，并成为理论思维的有效形式，在科学研究中发挥愈来愈重要的作用。其作用可概括为以下三个方面:第一，数学模型方法同其它数学方法一样为科学研究提供了简洁精确的形式化语言。利用该方法从实际事物系统中抽象出数学模型，都是用数学符号表示复杂现象的内在联系，这一套数学符号即为形式化语言。由于采用数学形式化语言，对问题的陈述、推理、计算，就能够大大简化和加速思维进程，揭示出事物的内在联系和运动规律，具有明显的简洁性和精确性。因此，自然科学、技术科学，乃至社会科学的一些定律和原理都尽量表示成简明的数学公式，即数学模型。如果不用形式化语言而用自然语言，不仅无法表达事物的复杂数量关系，就是最简单的数量关系也难以表达清楚。第二，数学模型方法为科学研究提供抽象思维能力。运用数学模型方法解决实际问题，研究者必须对事物系统进行具体分析，善于“去粗取精”、“化繁为简”,进行一系列抽象，得到一个既能反映问题本质特征，同时又是理想化、简单化的数学模型。提炼模型的操作过程实质上是一个科学抽象过程，由此反映这种方法所具有的抽象能力。实践使人们认识到，数学模型方法表现出一种抽象思维力量，熟练使用模型方法必须具有很强的抽象能力，要求精通数学抽象分析方法，如果失掉这种抽象认识手段，科学研究就会走进死胡同。第三，数学模型方法有着巨大的科学预见作用。利用模型方法得到数学模型，并在数学模型上展开数学推导、演算和分析，将研究对象做出正确的理论概括，由此得到的理论成果，便于做出科学预见，把握超出感性经验以外的客观世界。科学史上不少重大发现都是由数学方法与专业理论相结合而提出的。二、数学模型的建立及求解2.1数学模型的建立及建立的要求2.1.1数学模型的建立数学模型与现实原型是一种反映与被反映的关系。现实原型中包含着许多因素，这些因素是相互制约而且呈现着错综复杂的关系，如果从中概括出数学模型，必须首先对现实原型进行简化复杂因素，抛弃次要因素，考虑主要因素的工作与本质的联系，即主要因素的关系暴露出来，然后运用数学抽象分析方法，用形式化的数学语言对本质的联系进行描述[1]。具体说来，从实际问题中抽象出数学模型必须经过三个环节：第一，对一个实际问题系统首先分析主要关系结构的属性，即是确定性、随机性还是模糊性，从而确定数学模型的类别。第二，确定系统中主要因素的关系结构。在一个系统中要分辨出哪些因素是主要的，哪些因素是次要的，舍弃那些可以忽略不计的因素，并找出主要因素之间的制约关系。第三，进行数学抽象。对系统中的主要因素，区别为常量、变量、已知量和未知量，根据有关的数学理论，利用符号语言将主要关系表示成数学表达式，即为所求的数学模型[2]。2.1.2数学模型建立的要求一般地说，构造数学模型并不是一件很容易的事情，尤其是遇到复杂的实际问题，其难度就更大。从现实原型中构造数学模型，必须具备以下的能力：第一，洞察实际问题的能力。在日常学习中，要扎实地掌握自然科学、工程技术和社会科学各分支领域揭示出的法则和规律，具有丰富的跨学科知识。此外，还要多接触实际，深人到一些工作部门，培养发现关键问题的本领。第二，要有高超的抽象分析能力。我们将客观存在的事物及其运动形态称为实体。数学模型就是对实体特征和变化规律的一种定量抽象，这种抽象反映了人们对实体认识的深化和飞跃，它能更普遍、更集中、更深刻地描述实体的特征。建立数学模型的过程是一个不断抽象的过程，只有熟练地掌握抽象分析方法才能得心应手[3]。第三，运用数学工具的能力。在学习数学各分支学科时，应该注意多做应用问题的练习，这对提高数学抽象分析能力和运用数学工具能力是不可缺的基本训练。第四，实践验证的能力。从数学模型中求出数学解，要求能对数学解做出正确的解释和评价，由此对实际问题做出准确的判断和预见。数学模型是反映实体的主要特征，不是一切特征，所以模型不等于实体。抽象出的数学模型是否能精确地描述实体的主要特征，就要对模型的数学解进行考察。数学解若与实体误差较大，则需逐步改进数学模型，使其越来越准确地描述实体[4]。最后，直观地表述运用数学模型方法解决实际问题的思路，一般用框图表示如下:现实原则数学模型数学抽象逻辑推理返回解释实际问题解求数学解2.2数学建模的基本思想、方法和步骤2.2.1数学建模的基本思想真正意义上的实际问题的数学模型远比想象中的数学模型复杂的多。但是，无论是如何简单的数学模型，还是如何复杂的数学模型，它们在构建数学模型上的基本思路都是一致的。概括地说，构建数学模型的基本思路是：1）根据建立数学模型的目的和问题的背景，做出必要的简化和假设；2）用字母表示待求的未知量；3）利用物理的或其他的科学规律列出式子；4）求出数字上的解答；5）用解答解释原问题；6）用实际现象验证原答案。显示对象与数学模型之间的关系，可以用简单的循环图表示，见图表述、归纳数学模型显示对象验证求解、演绎现实对象的解答数学模型的解答解释所谓表述就是根据建模的目的和所掌握的信息，将实际问题翻译简缩成一个数学问题，并且用数学的语言确切地表达出来（即建模）。所谓求解就是选择适当的数学方法求得数学模型的解答[5]。所谓解释就是将数学语言所表达的解答，翻译成关于现实对象的实际问题的解答。所谓验证就是显示对象的有关信息去检验所得到的解答，以便确认这个解答结果的正确性。2.2.2构建数学模型的方法建模方法大致可分为机理分析和统计分析两类。机理分析[6]是指人们根据客观事物的特征，分析其内部机理、弄清其因果关系，再在适当的简化假设下，利用合理的数学工具描述事物特征的数学建模方法。这时所建立的数学模型常常有明确的物理或现实意义。统计分析[7]是指通过测试得到一串数据，再利用数理统计的知识对这串数据进行模拟处理从而得到数学模型。也称这种方法为系统辨识[8]。这种建模方法一般适应社会实践形式的情形。2.2.3数学建模的一般步骤1）模型准备对于实际问题，为了解决问题的背景，掌握一定的信息，明确建模的目的，需要进行一些大量的调查和统计工作，尽量弄清显示对象的特征，初步确定运用哪一种类型的模型。2）模型假设模型假设是根据现实问题的特征和建模的目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，对问题做出合理的简化后，做出假设的过程，这个过程即是把实际问题提炼成数学问题的过程，假设不合理，将导致模型失败。因此，它要求操作者要有一定的相关的知识和丰富的判断力、想象力，善于抓住问题的主次，尽量将问题线性化，均匀化[9]。3）模型构成就是根据所做出的假设，分析现实对象的因果关系，利用现实对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量之间的关系，建立包含常量、变量等的数学模型。模型构造的原则是，尽量采用较为简单的模型。4）模型求解就是用数学的方法如解方程、解不等式、绘出图形、优化方法、逻辑运算、数值运算等求出数学模型。一般还要运用数学软件和计算机技术。5）模型分析就是对模型的解答进行数学上的分析，依据模型的结果做出决策、预报等，有时还需要进行误差分析。例如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析等。6）模型检验就是把数学上分析的结果与实际的现象、数据进行比较，以检验模型的合理性和实用性。若检验的结果与实际情况不相符合，就应该对模型进行修改或补充，并重新建立数学模型，这一步对于模型是否真的有用非常关键。有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意[10]。上述建模步骤可以表示为下图：模型假设模型构成模型准备模型求解模型分析模型检验模型应用2.2.4数学模型、建模与数学应用的关系数学模型是数学的数式、图表或算法等数学结构，数学建模是把要解决的实际问题表示为数学结构，它是数学应用的一个环节。数学应用是用建模方法，把实际问题转化为数学模型，然后用数学知识和方法对数学模型求解，最后用于实践中检验或解决实际问题，建模是数学模型与数学应用的桥梁。数学应用与现实生活联系密切，是实际问题的一个缩影。在解决实际问题时，可以实地考察，认真分析过程，达到全面理解实际问题的各个过程和各个方面，再把实际问题抽象概括，再从数学角度反映或近似反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述，这就是建立数学模型。三、数学模型的应用实例分析3.1以2011年数学建模C题为例的数学模型企业退休职工养老金制度改革摘要：养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我们对山东省职工历年平均工资数据和2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况进行数据分析，建立数学模型来研究我国的养老保险基金问题。问题一：通过数据分析，利用非线性函数进行数据拟合，统计表明得出拟合公式为（为年份），并进一步利用阻滞增长模型再次对数据进行非线性拟合阻滞增长模型函数公式为：（为达到饱和的平均工资）。结果如下图：指数函数图像阻滞增长模型函数图像问题二：根据问题一中所得函数，估计2011－2035的社会平均工资，利用附件2的数据分析计算年龄段缴费指数，进而得出总缴费指数和平均缴费指数，根据上述数据，结合附录2中提供的养老金计算方法，计算出该企业职工不同类别人员的养老金替代率，结果见下表：缴费年龄段30-5530-6030-6540-5540-6040-65替代率0.270.350.420.220.290.36问题三：利用工资增长的指数模型，提出指数化工资理论，实现不同年度之间货币的换算。在此基础上提出平衡指数，通过平衡指数来反映社会养老保险基金收支平衡问题。并计算该企业职工不同类别人员的平衡指数，结果如下：缴费年龄段30-5530-6030-65平衡指数0.648250.5753080.355385问题四：针对既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡。考虑到通过更多年龄段的职工工资替代率和养老保险基金收支平衡的结果分析得出：我们可以采取以下措施：（1）计发月数的合理化；(2)调整征缴率；（3）延长职工退休年龄；（4）增加覆盖率。关键词：养老金，缴费指数，总缴费指数，平均缴费指数，平衡指数，养老金保险基金，替代率，指数化工资，社会统筹账户，个人账户。一、问题重述养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金（28%）。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.。替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴纳养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴纳养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。二、模型的假设1、假设男女职工按照统一年龄退休不存在提前退休情况2、假设职工60岁以后的缴费指数趋于平稳，为一个定值3、假设每个年龄段的工资为职工月收入范围的平均值4、假设每个人的替代率是不变的5、假设个人账户自设立之日起就委实账并在管理费用为零条件下实现保持增值6、假设考虑期间年利率为3%保持不变7、假设只考虑养老金的主观因素，不考虑客观因素8、假设中国的经济短期内不会发生剧烈的动荡。三、符号说明及名词解释符号符号说明各年龄段的平均工资企业的平均工资缴费指数替代率各年龄段的养老金退休前的工资总缴费指数第j年的缴费指数平均缴费指数第i年指数化工资个人工资年平均工资平均指数化工资基金缴费收总入货币折算率基金发放总支出平衡指数H指数化货币总缴费指数等于每年的缴费指数之和：（为第年的缴费指数）；平均缴费指数是指参加养老保险社会统筹人员历年缴费指数的平均值：(n为缴费年数)；指数化工资是不同年度之间的货币转换（这里以退休前一年的工资为参考值），指数化货币=个人工资退休前的工资/年平均工资：。平均指数化工资是指缴费期间指数化工资的平均值，即（指缴费年限）。平衡指数是指各年龄段职工退休后领取的养老保险总基金与退休前缴纳的总资金的比值，用来反映社会养老保险基金收支平衡问题。覆盖率：社会养老保险覆盖的面积，即参与养老保险职工的人数与城镇就业人员总数的比值。缴费率：养老金征缴税与参与养老保险职工的工资总额的比值。四、模型的建立与说明（一）问题一1.1问题的分析根据附表一给出的数据，先对数据进行处理制成图表一如下：1.2模型的建立与求解模型一通过上面图表的分析得出：曲线的增长接近于指数函数和二次函数的图形，采用matlab来拟合指数函数y=和二次函y=（a）指数增长模型记时刻t的年平均工资为，将视为连续、可微函数。记初始时刻（）的人口为，假设平均工资增长率为常数。考虑到+时间内平均工资的增量，显然有（1）令，得到满足微分方程（2）由这个方程很容易解出（3）(b)利用回归方程求出指数函数的回归系数：非线性回非线性回归确定回归系数的命令：[beta，r，J]=nlinfit（x，y，’model’,beta0）残差Jacobian矩阵是事先用m-文件定义的非线性函数估计出的回归系数输入数据x、y分别为矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x为n维列向量。beta=[474.283,0.1327];故回归系数：a1=474.283,b1=0.1327.(c)利用p=polyfit(x1-1978,x2,2)计算出二次函数的系数：a2=48.6,b2=-731.45,c2=2808.0298(d)把指数函数和二次函数绘制成图表二如下：指数函数(1)：二次函数(2)：通过比较发现指数函数图像更接近于图表一的图像，并得出指数函数的表达式为：y=474.283*exp(0.1327*(x-1978))。由于职工每年的平均工资增长的图像更接近于指数函数图像，故利用指数函数的表达式y=474.283*exp(0.1327*(x-1978))来预测出从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。由于职工每年的平均工资按指数分布递增，模型预测的平均工资可以得到较好的结果。但是长期来看，指数模型不能描述、也不能预测较长时间的平均工资演变过程。考虑到人口变化、经济因素、自然资源等因素对平均工资的阻滞作用，并随着平均工资的增加，阻滞作用越来越大。为此建立阻滞增长模型分析平均工资增长问题：模型二阻滞增长模型阻滞作用体现在对年平均工资增长率的影响上，使得随着平均工资的增长而下降。若将表示为的函数，则它应是减函数。于是方程（2）写作（4）对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即：（5）引入为平均工资的饱和值，当=是职工的年平均工资不再增加，即增长率，带入（5）式得，于是（5）式为（6）将（6）式代入方程（4）得（7）由上述计算公式得出阻滞增长模型方程，并以为横坐标、为纵坐标绘制成图表及相应的表格：年份平均工资年份平均工资年份平均工资年份平均工资年份平均工资201137831.8201673453.42021142615.32026276898.42031537619.4201243200.4201783876.92022162853.52027316192.42032613911.5201349330.9201895779.72023185963.62028361062.42033701030.1201456331.320191093722024212353.22029412299.82034800511.4201564325.220201248922025242487.72030470808.22035914109.9结论：随着时间的增长职工的年平均工资呈指数化无止尽的增长，但由于阻滞的作用，随着t的增长，职工的年平均工资会达到一个饱和值，进而趋于一个稳定的值，不再增加。(二)问题二2.1问题分析根据附件二取各年龄段月工资收入范围的平均值作为每年龄段的平均工资见下表，由企业的平均工及各年龄段的平均工资可以得出缴费指数：。缴费工资的计算：由企业和个人缴纳的费用组成。按照规定，企业缴费不超过工资总额的20%，个人缴费为工资的8%，养老保险总缴费率不超过28%。月缴纳养老保险费=企业缴纳的社会统筹基金+个人缴纳的个人账户基金=月工资总额×（企业缴费率+个人缴费率）。再利用缴费指数得出该企业职工不同类别人员的养老金替代率，替代率是指职工刚退休的养老金占退休前工资的比例：（为不同年龄段的养老金，W为退休前工资）。取平均值的数据如表所示：年龄段月收入范围（元）1000-14991500-19992000-24992500-29993000-34993500-39994000-49995000-8000平均工资1250175022502750325037504500650020-24岁职工数741652616100025-29岁职工数36829442630030-34岁职工数03283952462035-39岁职工数011748336164240-44岁职工数004386552113345-49岁职工数033232644118450-54岁职工数07232944218355-59岁职工数061727377702.2模型的建立与求解引入总缴费指数、平均缴费指数和指数化后工资，其中：总缴费指数等于每年的缴费指数之和：（为第年的缴费指数）；平均缴费指数是指参加养老保险社会统筹人员历年缴费指数的平均值：(n为缴费年数)；指数化工资是不同年度之间的货币转换（以退休前一年的工资为参考值），指数化货币=个人工资退休前的工资/年平均工资：。平均指数化工资是缴费期间指数化工资的平均值，即。个人账户养老金采取完全累加模式（10），假设职工的初始工作的年龄为A，退休年龄为B岁，平均工作年限为N，并引入平均余命V，则有N=B-A，设个人账户缴费率为T以及初始缴费年W，个人账户投资收益率为R，职工的平均工资增长率为G，R与G保持不变，个人账户养老基金经投资运营并实现保值增值。由指数函数可得平均工资：对其求导并运用麦克劳林展开式求得：即。则职工在退休时的养老金积累的年末值为：假设个人替代率m在一定时期保持不变，则领取的养老金即为P；通过对比，若资金收益率与工资增长率相等即（R=G）时，则有个人缴费率表达式：根据问题一预测出的平均工资的指数函数我们得出2000-2034年的平均工资如表五：年份个人工资年份个人工资年份个人工资年份个人工资年份个人工资20009005.694200724752.33201468900.4120211797692028433274.9200110283.67200828264.87201584970.62022205279.52029494759.8200211743200932275.86201697028.562023234410.22030564969.8200313409.42201040522.692017110797.62024267674.72031645143.2200415312.31201146273.162018126520.62025290985.22032736693.8200518982.54201252839.662019144474.82026332278.12033841236.1200621676.32013603382020157428.72027379430.82034960613.7（1）由缴费指数：计算得出每年龄段的缴费指数如图六：岁数段缴费指数20-24岁0.7025-29岁0.8430-34岁1.0235-39岁1.1140-44岁1.2245-49岁1.3250-54岁1.2655-59岁1.20

（2）替代率是指职工刚退休的养老金占退休前工资的比例：。替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。为了得到替代率还应计算个人工资、指数化工资、统筹账户、个人账户、个人账户（含收益）、个人账户养老金、上年度平均工资、平均指数化工资、基础化养老金、养老金。个人工资:=；指数化工资：；统筹账户:*0.2；每年个人账户:*0.08；每年个人账户（含收益）:**0.08（m表示从缴费到结束的是时间差）；个人账户养老金:(a为计发月数)；平均指数化工资：（为第年的指数化工资）；养老金=基础养老金+个人账户养老金缴费年龄段30-5530-6030-6540-5540-6040-65个人账户养老金1163.283283.397647.03488.791081.652603.85上年度月平均工资17696.134358.3266709.294694.289114.317696.1平均指数化工资21029.240896.4879469.125946.0911392.8721943.16基础养老金4840.6611288.2225585.95798.032050.724954.9养老金6003.9414571.6133232.971286.813132.367558.76再由替代率的计算公式得出替代率见图七：结论：由图六和图七可知缴费指数随年龄的递增呈先递增后递减的趋势；相同年龄开始缴费，缴费时间越长养老金越多、养老金替代率越高。相同年龄开始缴费，退休年龄的不同对养老金替代率的变化不大。不同年龄开始缴费，退休年龄相同的情况下，缴费时间越长，养老金替代率越高。（三）问题三3.1问题的分析根据问题二中的数据得知不同的缴费时间段对应不同的养老金替代率和文中给出的附件3，利用工资增长的指数模型，提出指数化工资理论，实现不同年度之间货币的换算，得出指数化工资；为了计算缴存的养老保险基金与领取的养老金之间的收支平衡关系，提出平衡指数理论，通过平衡指数来反映社会养老保险基金收支平衡问题。如果平衡指数，说明职工领取的养老金超出了实际领取的养老金，则会出现养老金空缺：如果平衡指数1，说明职工领取的养老金低于实际领取的养老金，则会导致养老金过剩。3.2模型的建立与求解建立养老基金收支平衡模型建立基本养老保险收入与支出模型，首先要确定缴费时间段。缴费时间段是指为了进行基金收支平衡分析，而人为假定的缴费时间段，在此期间内，对基金的收入与支出进行分析，并明确在此期间政府应该承担的责任。设定缴费时间段为n年，为了便于汇总，将每年的基金收入与支出均按照指数化工资理论折算到缴费时刻结束，且规定基金的收入与支出也均按照指数化工资理论折算在当年年末。按现行养老保险基金收支办法,我们建立基本模型。第一步:进行假设①养老基金收入中不包括财政补贴,只考虑影响收支的相关参数;②不考虑通货膨胀率;③为使不同年份社会养老负担均衡化,设定平衡的缴费时间段为年;④不考虑提前退休,中途退保等人口变动因素。第二步：建立模型基金缴费总收入模型将缴费时间段中的每年基金缴费收入全部体现到缴费时刻结束，基金缴费总收入为，缴费率为c=0.28、银行年利率为r=0.03、个人工资为，货币折算率为，缴费时间段为的函数。职工第i年缴费工资为职工第i年缴费工资的收益 第i年缴费收入折算到缴费时刻结束第年为：基金缴费收总入为缴费时间段基金缴费总收入30-55278247930-60911820830-6539275290基金发放支出模型为了便于比较，将领取养老保险基金期间每年基金发放支出也全部折算到领取时间结束时，基金发放支出，货币折算率为，替代率为，领取养老保险基金时间段的函数。职工第j年领取养老保险基金为职工第j年领取养老保险基金折算到领取时刻结束第年为：基金发放总支出为领取时间段基金发放总支出55-75180376760-75524577865-7513957849平衡指数是指各年龄段职工退休后领取的养老保险总基金与退休前缴纳的总资金的比值，根据这个定义，由基金缴费总收入模型和基金发放支出模型得出：平衡指数。由平衡指数公式得出各年龄段职工的平衡指数如下表：各年龄段职工平衡指数30-550.64825930-600.57530830-650.355385由上面的替代率和平衡指数来计算不同类别的职工人员应该要领取多少年的养老金才能使其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡，所要领取养老金的年限（Z）为：设从m岁开始缴费，n岁结束缴费，k为活命岁数的平均期望值，T为替代率，p为平均缴费指数，又由平衡指数的计算公式：平衡指数=各年龄段职工退休后领取的养老保险总基金/退休前缴纳的总资金的比值即：=，令平衡指数时，得出收支平衡的年限为：计算结果见下表：年龄段替代率平衡指数收支平衡的年限领取养老金到达的岁数30-550.2695460.6482530.852294648630-600.3833850.57530826.072990478630-650.4151470.35538528.1384976993结论：不同类别的职工人员领取养老金到75岁，缴费年限越长，平衡指数越低，其领取的养老金远低于其缴存的养老保险基金，说明我国的养老金替代率还过低，没有达到平衡目标。我们由问题二还可以计算出从40岁开始缴费的平衡指数、收支平衡的年限和领取养老金到达的岁数，数据见下表：年龄段替代率平衡指数收支平衡的年限领取养老金到达的岁数40-550.2175580.81767224.459685557940-600.2863960.61370624.441670778440-650.3534230.40716924.5598265189把以上两个表格数绘制成图如下：根据上图可以知道40-55年龄段的职工缴费时间最短而平衡指数最大与1最近，而30-65年龄段段的职工缴费时间最长却小。所以我们可以知道适当的减短缴费时间来提高平衡指数。（四）问题四要在达到目标替代率的前提下实现养老基金收支平衡,而其中最为关键的是提养老基金覆盖率和征缴率以及严格控制退休年龄和养老金支付水平。从增收来看,由于目前总体缴费率28%已经达到较高水平,上调的可能性应该不大;工资增长率由于受经济社会发展及职工工作年限的限制,属于外生变量,难以调控;而养老基金增值率因为受到投资政策的影响,本身的调控难度也很大。从现形式来说是可行的有：调整征缴率，延长职工退休年龄，覆盖率，养老金支付水平和调整计发月数等方面入手。（1）调整计发月数，由附录3提供的个人账户养老金计发月数表可知，计发月数只与退休时间有关，跟缴费年限无关，所以建立完善的参保缴费的激励约束机制，将缴费年限长短和缴费数额的多少与职工退休待遇水平直接挂钩，形成多工作、多缴费、多得养老金的新机制。职工退休时上年度省在岗职工月平均工资与本人指数化月平均缴费工资之和的平均值作为计发基数，缴费每满1年发给1％，上不封顶；职工退休时领取个人账户养老金的月标准为个人账户累计储存额除以计发月数（计发月数是根据职工退休时城镇人口平均预期寿命、本人退休年龄、利息等因素确定）。如我们可以将月计发月数调整为下表：退休年龄计发月数退休年龄计发月数20-4022320-6012530-4023330-6013920-5018020-658630-5019530-6510120-5516020-704530-5517030-7056（二）从退休者个体的微观层面来看,个人账户缴费率使个人账户积累额远远不能满足平均余命期间的支付,将不利于老年退休群体自身的终生纵向收入再分配,这一群体的晚年生活水平极易迅速下降甚至导致其沦为贫困人口。从社会经济效应的宏观角度来看,这将严重影响退休人口的心理期望、弱化人们的生存安全感,构成威胁社会稳定的潜在因素之一,同时还可能极大地瓦解和动摇全体国民对养老保险体制改革的信心,削弱人们参与养老保险的积极性,不利于改革的顺利推进和社会经济的长期可持续发展。综上所述,在较短时间内，依据平均余命调整养老金个人账户缴费率十分必要,深入探讨这一论题具有重要的理论价值和现实意义。（三）延长退休年龄也会从两方面影响基金:一是缴纳保费时间增长,增加基金收入;二是领取养老金时间推晚,减少养老金支出。我国规定,男60周岁,女55周岁退休。2000年中国60岁男性人口平均余命为16.8岁,55岁女性人口的平均余命分别为23.3岁，女性平均寿命要比男性高。人的平均寿命还在增长，目前中国人口的平均寿命是71.8岁，到2050年，中国人口的平均预期寿命可以达到85岁。现阶段人口老龄化加快，支付养老保险时间逐渐增长，使养老金支出不堪重负。综上所述，要达到目标代替率，延迟退休年龄从长远来说是非常可行的，特别是延长女性的退休时间。现在假设还是由30、40岁开始缴费，延长缴费时间来考虑达到目标替代率和基金收支平衡问题,得出下表的结果：年龄段替代率平衡指数收支平衡的年限领取养老金到达的岁数30-700.6293740.994823668209040-700.7105131.0287378191585（四）增加覆盖率，增加新涌入人群，鼓励民众参保。在短时间内缓解人口老龄化加大的影响，使得替代率达到目标值，同时达到收支平衡。国家拿出部分财政收入支持养老保险，维护社会的稳定，使养老保险支付水平提高到较高水平。五、误差分析问题一中的只是山东省的大概情况，但由于地区的差异，会存在一定的差别，所以那指数函数只能大概的预测出中国未来经济的发展，不能完全从中得出答案。问题二中男女职工按照统一年龄退休不存在提前退休情况，不考虑男女的退休及工资，都只是考虑主观因素，不考虑客观的。职工60岁以后的缴费指数趋于平稳，为一个定值；问题三中也只是考虑在一般情况下的情形。随着时代的发展，人口老龄化日剧加重，要考虑各方面的因素来维持缴纳养老基金与所得养老金的平衡。假定年利率为3%保持不变。六、模型评价本模型主要企业退休职工养老金制度的改革问题。在解决题目给出的四个问题的时候，我们分别运用了微分方程，阻滞分析，非线性回归方程建立模型解决对未来中国经济发展和工资增长的形势，计算平均缴费指数，总缴费指数，可比货币，替代率，完成收支平衡分析，并据此提出我们的观点。总的来说，完成了题目说提出的问题，并建立了比较完善的数学模型。但我们知道，用山东省的情况来描述中国的状况，缺乏普遍性。只能代表一部分人群，而不能代表更广大人民的平均工资；若采取大样本容量则工作量较大。其中可能存在一定的客观因素，这些都会对结果产生一定的影响。该模型在有些方面并不适用，因此该模型不是最优的，还需对其进行优化处理。外加不考虑提前退休情况和各种不同情况人群的养老保险状况，60岁以后的缴费指数未经分析考虑。但由于题目所给条件有限，我们无法的到更确切的数据，及我们建立的模型与真实值的差距，我们的研究还是较浅显的。七、模型的改进与推广改进：（1）模型中所使用的样本容量较小，只能代表部分地区的平均工资，不具有更广泛的代表意义。对该模型进行分析时，所考虑的因素较少，所得到的结果可能不能很准确的反映出平均工资与总缴费指数等。因此，我们在解答过程中可以调查更多的省，这样才能够全面的反应出收支平衡问题。（2）考虑提前退休和各种不同情况人群的养老保险状况，60岁以后的缴费指数也要考虑。推广：此模型具有普遍性，对各种状况都可采用模型的方法，首先我们可以将模型一推广到每个员工的平均工资的计算。可将我们所建立的模型二推广到各省或全国人民；也可以推广到某一企业或公司职工的缴费情况，进而对职工进行某一方面的改进，使得收支达到平衡。总结所谓数学模型，是指现实世界某一特定对象，为了某个特定目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构，数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等都是一些具体的数学模型，如二次函数就是一个数学模型，很多数学问题甚至实际问题都可以转化为二次函数来解决。而通过对问题数学化，模型构建，求解检验使问题获得解决的方法称之为数学模型方法。我们的数学实际上就是教给学生如何给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思想方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。由此我们可以看到，培养学生运用数学建模解决实际问题的能力，关键是把实际问题抽象为数学问题。必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某些知识系统去处理，这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力。学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情，需要把数学建模意识贯穿在教学的始终，也就是要不断引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。数学是学习其它自然科学的工具，教学中注意与其它科学相呼应，也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径。例如学习了正弦函数，可以写出物理中正弦交流电的电势，电流强度的数学表达式，正弦波振动的表达式等；也可从本学科分支的创立与发展的过程培养学生的建模意识，如发明了用字母来代替数来进行数式研究，创立了代数学；迪卡尔引进了二条互相垂直有公共原点的数轴，发明了直角坐标系，平面点集与有序实数进建立了一一对应的关系，使函数的图像可以被直观地绘制出来，又使方程与轨迹联系起来，建立了解析几何的模型；给出了三角函数的定义，总结出一套公式，定理，建立了三角函数模型，为解三角形奠定了基础，使得现实生活中某些实际问题可抽象为三模角型来解决等等，都体现了数学建模的思想，渗透这些思想，能使学生领悟数学的本质——数学是人们从现实世界的数量关系和空间关系中抽象出来的一个个数学模型，是人类的发明，创造的结晶。数学知识来源于实践，又可在实践中应用。因此，加强数学模型思想的教学是时代的要求，不仅可以促使学生掌握扎实的数学知识和技能，而且使学生具有数学地思维的习惯和能力，能应用数学去观察世界，处理和解决所遇到的问题。通过建模活动，体现了学生的团队精神和合作意识。通过对学生应用数学的意识的培养，使学生形成应用数学知识关注社会，关心自己周围的环境意识和习惯，通过关心问题，尝试解决问题的过程，使学生学会了与人的合作，学会了表达与交流，感受到知识的力量，发挥了学生的潜能，使学生的才华得到进一步的发挥。参考文献[1]徐利治。数学方法论选讲。华中工学院出版社，1983。[2]本德。数学模型引论。科学普及出版社，1982。[3]青义学。论模糊数学与人工智能。人工智能学报1983。[4]华罗庚，宋健。模型与实体。光明日报，1980.7.11。[5]吕玉明。数学方法论的研究对象、途径和意义。数学通报，1985.7。[6]沈呈民。模型论。长春：东北师大出版社,1994.[7]沈继红。数学建模。哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1997。[8]李兆斌。数学模型方法简述。山东工业职业学院，2007(5)。[9]乐经良。数学实验。北京：高等教育出版社，1999。[10]FrankR.Giordano。数学建模。北京：机械工业出版社，2005。致谢本文的研究过程是数学模型的理论与实际相结合的过程，在朱凯指导老师的悉心指导下完成的。在完成毕业论文期间，朱老师从论文选题到文章的结构，为我提供了详实的资料和提出了很多参考意见。朱老师知识渊博，治学严谨，平易近人，是我学习的楷模，在此表示衷心的感谢！大学期间，授我以学业，教我以研究问题的方法，老师们以其渊博的知识、严谨的治学态度和诲人不倦的师者风范，鞭笞和鼓励我在学业上的不断进步，这将使我受用终生。借此机会谨向恩师们致以衷心的感谢，并向给予我关心、支持和帮助的老师和同学们表示深深的谢意。基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究基于单片机的嵌入式Web服务器的研究MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器单片机控制的二级倒立摆系统的研究基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现基于单片机的蓄电池自动监测系统基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制基于单片机的自动找平控制系统研究基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现一种基于单片机的轴快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于双单片机冲床数控系统的研究基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制基于单片机的软起动器的研究和设计基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究基于单片机的机电产品控制系统开发基于PIC单片机的智能手机充电器基于单片机的实时内核设计及其应用研究基于单片机的远程抄表系统的设计与研究基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制基于微型光谱仪的单片机系统单片机系统软件构件开发的技术研究基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用基于单片机的光纤光栅解调仪的研制气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制基于单片机的数字磁通门传感器基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪基于单片机的电机运动控制系统设计Pico专用单片机核的可测性设计研究基于MCS-51单片机的热量计基于双单片机的智能遥测微型气象站MCS-51单片机构建机器人的实践研究基于单片机的轮轨力检测基于单片机的GPS定位仪的研究与实现基于单片机的电液伺服控制系统用于单片机系统的MMC卡文件系统研制基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究单片机控制的后备式方波UPS提升高职学生单片机应用能力的探究基于单片机控制的自动低频减载装置研究基于单片机控制的水下焊接电源的研究基于单片机的多通道数据采集系统基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制基于单片机的红外测油仪的研究96系列单片机仿真器研究与设计基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制基于单片机的气体测漏仪的研究基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究基于单片机的膛壁温度报警系统设计基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计基于单片机船舶电力推进电机监测系统基于单片机网络的振动信号的采集系统基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究基于单片机的叠图机研究与教学方法实践基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现基于AT89S52单片机的通用数据采集系统基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究基于单片机系统的网络通信研究与应用基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究\t"_bla