湖南省娄底市双峰县第七中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析

湖南省娄底市双峰县第七中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形的面积是（）A．ln2+1 B．2﹣ln2 C．ln2﹣ D．ln2+参考答案：D【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】利用定积分的几何意义，首先表示平面图形，然后计算定积分．【解答】解：由题意，由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形如图，其面积是；故选：D．【点评】本题考查了定积分的应用；关键是将曲边梯形的面积正确利用定积分表示，然后正确计算．2.曲线的长度为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.函数的定义域为（

）.（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B4.若正实数满足，则()A.有最大值4

B．有最小值C.有最大值

D．有最小值参考答案：C5.集合P＝{－1,0,1}，Q＝{y|y＝cosx，x∈R}，则P∩Q＝()A．P

B．Q

C．{－1,1}

D．[0,1]参考答案：A略6.

函数的值域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为(

)A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣参考答案：D【考点】圆的切线方程；直线的斜率．【专题】计算题；直线与圆．【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．8.已知与夹角θ=120°，则向量在向量上的投影为（）A．﹣2 B．2 C． D．参考答案：A【考点】向量的投影；平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．【解答】解：，上的投影为，故选A．9.若，则点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B略10.若函数f（x）=的最大值为f（﹣1），则实数a的取值范围（）A．[0，2e2] B．[0，2e3] C．（0，2e2] D．（0，2e3]参考答案：B【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求得f（﹣1），由题意可得alnx﹣x2﹣2≤﹣2+a在x＞0恒成立，讨论x的范围，分x=e，0＜x＜e，x＞e，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调区间，可得最值，进而得到a的范围．【解答】解：由f（﹣1）=﹣2+a，可得alnx﹣x2﹣2≤﹣2+a在x＞0恒成立，即为a（1﹣lnx）≥﹣x2，当x=e时，0＞﹣e2显然成立；当0＜x＜e时，有1﹣lnx＞0，可得a≥，设g（x）=，0＜x＜e，g′（x）==，由0＜x＜e时，2lnx＜2＜3，则g′（x）＜0，g（x）在（0，e）递减，且g（x）＜0，可得a≥0；当x＞e时，有1﹣lnx＜0，可得a≤，设g（x）=，x＞e，g′（x）==，由e＜x＜e时，g′（x）＜0，g（x）在（e，e）递减，由x＞e时，g′（x）＞0，g（x）在（e，+∞）递增，即有g（x）在x=e处取得极小值，且为最小值2e3，可得a≤2e3，综上可得0≤a≤2e3．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知定义在R上的可导函数的图象在点处的切线方程为_________.参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】1

据题意知f′（1）=-f（1）=-+2=∴f(1)+f′(1)=-+=1

故答案为1【思路点拨】利用函数在切点处的导数就是切线的斜率求出f′（1）；将切点坐标代入切线方程求出f（1），求出它们的和．12.已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 。参考答案：图象如图所示。的实根即是可以看做是两个函数在图像上的交点个数。g（x）的图像是恒过点（0,1）的直线，临界值是图中经过B，D两点的割线和过C的切线。计算出斜率值即可。13.数列{an}中，an=(3n+2)×()n（n∈N*），则an中最大的项是第

项参考答案：答案：914.设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=（a2+2b2）x+y的最大值为8，则2a+b的最小值为

．参考答案：考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=（a2+2b2）x+y得y=﹣（a2+2b2）x+z，由图象可知当y=﹣（a2+2b2）x+z，经过点A时，目标函数的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（1，4），则a2+2b2+4=8，即a2+2b2=4，即，设a=2sinθ，b=cosθ，则2a+b=4sinθ+cosθ=3sin（θ+α），其中α为参数，则当sin（θ+α）=﹣1时，2a+b有最小值为，故答案为：点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及三角换元法是解决本题的关键．15.若，则

参考答案：略16.若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则a＝＿＿＿.参考答案：17.已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积

．参考答案：正三棱柱的底面面积为，所以体积为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，其中.(Ⅰ)函数的图象能否与x轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由；(Ⅱ)求最大的整数a，使得对任意，不等式恒成立.参考答案：解：(Ⅰ)由于.假设函数的图象与轴相切于点，则有，即.显然代入方程中得，.∵，∴无解．故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切.(Ⅱ)依题意，恒成立.设，则上式等价于，要使对任意恒成立，即使在上单调递增，∴在上恒成立.则，∴在上成立的必要条件是：.下面证明：当时，恒成立.设，则，当时，，当时，，∴，即.那么，当时，；当时，，∴恒成立.因此，的最大整数值为3.19.（本小题满分12分）在数列中，其前项和为，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）设（为正整数）,求数列的前项和.参考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）(Ⅰ)由题设得:,所以所以

……………2分当时，,数列是为首项、公差为的等差数列故.……………5分（Ⅱ）由(Ⅰ)知:

……………6分

……………9分设则两式相减得：整理得：

……………11分所以

……………12分

20.（本小题满分12分）某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500)

单位：元）（1）估计居民月收入在[1500，2000)的概率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月收入在[2500，3500)的居民数X的分布和数学期望。

参考答案：解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，居民月收入在的概率约为．

……2分（Ⅱ）频率分布直方图知，中位数在，设中位数为，则，

解得．

……6分（Ⅲ）居民月收入在的概率为.由题意知，～，

……8分因此，，，，故随机变量X的分布列为01230.2160.4320.2880.064……10分的数学期望为.……12分21.（13分）已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．（I）求线段中点的轨迹的方程；（II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程．参考答案：解析：（I）由题可设，，，其中.则

1分∵的面积为定值2，∴.

2分，消去，得：．

4分由于，∴，所以点的轨迹方程为（）．5分（II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．由消去得：，

6分设点、、、的横坐标分别是、、、，∴由得

8分解之得：．∴.

9分由消去得：，由消去得：，∴.

10分由于为的三等分点，∴.

11分解之得.

12分经检验，此时恰为的三等分点，故所求直线方程为.13分22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AB=1，，E为PD中点，PA=1．（I）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）在棱PC上是否存在点M，使得直线PC⊥平面BMD？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）连接BD，交AC于点O，连接EO，由ABCD为菱形，可得：O为BD中点，利用中位线的性质可证EO∥PB，利用线面平行的判定即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）若在棱PC上存在点M，使得直线PC⊥平面BMD，只需PC⊥BM即可．若PC⊥BM，由于PC⊥BO，可得PC⊥OM，由△COM∽△PAC，可得，根据已知可求CM的值，即可得解．【解答】解：（I）证明：如图，连接BD，交AC于点O，连接EO，∵ABCD为菱形，可得：O为BD中点，又∵E为PD中点，∴EO∥PB，∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC；解：（Ⅱ）