江苏省常州市金坛市第五高级中学高二数学理测试题含解析

江苏省常州市金坛市第五高级中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B．C. D．参考答案：D2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.观察下列算式：，，,,,,,,……用你所发现的规律可得的末位数字是()A.2 B.4 C.6 D.8参考答案：D【分析】通过观察可知，末尾数字周期为4，据此确定的末位数字即可.【详解】通过观察可知，末尾数字周期为，，故的末位数字与末尾数字相同，都是8．故选D．【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．4.双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为

（

）A.

B.

C. D.参考答案：A略5.已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（

）

A．内切

B．相交

C．外切

D．相离参考答案：C6.长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：D【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由长方体的特点可得AB与AD所成的角即为异面直线AB，A1D1所成的角，由矩形的性质可求．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA∥A1D1，∴AB与AD所成的角即为异面直线AB，A1D1所成的角，在矩形ABCD中易得AB与AD所成的角为90°，故异面直线AB，A1D1所成的角等于90°故选：D【点评】本题考查异面直线所成的角，属基础题．7.已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中，在平面内的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知函数，则（

）A．

B．0

C.

D．1参考答案：B，故选B10.设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时等于()A．6

B．7

C．8

D．9参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_____．参考答案：－1

12.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn，且Sn，an，1成等差数列，则an=．参考答案：2n﹣1【考点】数列的求和．【分析】Sn，an，1成等差数列，可得Sn+1=2an．n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵Sn，an，1成等差数列，∴Sn+1=2an，即Sn=2an﹣1．∴n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），化为：an=2an﹣1，∴数列{an}为等比数列，首项为1，公比为2．∴anz=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．13.不等式的解集是

．参考答案：14.若有极大值和极小值，则的取值范围是__参考答案：或

15.已知等差数列{an}是递增数列，且公差为d，若的方差为8，则d=______．参考答案：2【分析】根据等差数列的性质求出平均数，利用方差的定义和等差数列的通项公式列出等式，求解即可.【详解】由等差数列的性质有，，，，的平均值为，所以方差为所以，由是递增数列，则.所以本题答案为2.【点睛】本题考查等差数列的定义和性质，以及方差的定义，利用方差的公式列出方程是解决本题的关键.16.若一个整数是4的倍数或这个整数中含有数字4，我们则称这个数是“含4数”，例如20、34，将[0，50]中所有“含4数”取出组成一个集合，则这个集合中的所有元素之和为

。参考答案：673

略17.曲线在x=l处的切线的斜率是_________。参考答案：2e【分析】先求得曲线对应函数的导数，由此求得切线的斜率.【详解】依题意，，当时，导数为，即此时切线的斜率为.【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查切线斜率的概念和求法，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积；参考答案：（Ⅰ）证明：平面平面，,平面平面，平面，

∵AF在平面内，∴，又为圆的直径，∴，

∴平面.

（Ⅱ）解：由（1）知即，∴三棱锥的高是，∴,连结、，可知∴为正三角形，∴正的高是，∴，略19.12分）在△ABC中，已知·＝2，S△ABC＝2.(1)求tanA的值；(2)若sinB＝2cosAsinC，求BC的长．参考答案：解设在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)∵·＝2，∴bccosA＝2，又S△ABC＝2，∴bcsinA＝2，∴tanA＝2.(2)∵tanA＝2，∴cosA＝，由于sinB＝2cosAsinC，∴cosA＝＝，∴b＝c，又bccosA＝2，即bc＝2，故c＝，b＝2.从而a2＝b2＋c2－2bccosA＝5.∴a＝，∴BC＝.略20.（本题12分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度，已知直线经过点P(1,1),倾斜角（1）写出直线的参数方程；（2）设与圆相交与A,B，求点P到A,B两点的距离积。参考答案：解（1）

（t为参数）（2）由于圆的直角坐标系的方程为则将

代人圆的方程化简得所以，点P到A、B两点的距离积为2略21.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值；（Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BD⊥AA1，BD⊥AC，从而得到BD⊥平面A1AC，由此能证明BD⊥A1C．（Ⅱ）以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值．（Ⅲ）设P（x2，y2，z2）为线段CC1上一点，且=，0≤λ≤1．利用向量法能求出当=时，平面A1CD1⊥平面PBD．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴AA1⊥平面ABCD，且ABCD为正方形．…∵BD?平面ABCD，∴BD⊥AA1，BD⊥AC．…∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面A1AC．…∵A1C?平面A1AC，∴BD⊥A1C．…（Ⅱ）解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4），…∵=（2，0，0），=（0，2，﹣4）．设平面A1D1C的法向量=（x1，y1，z1）．∴．即，…令z1=1，则y1=2．∴=（0，2，1）．由（Ⅰ）知平面AA1C的法向量为=（2，2，0）．…∴cos＜＞==．…∵二面角A﹣A1C﹣D1为钝二面角，∴二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值为﹣．…（Ⅲ）解：设P（x2，y2，z2）为线段CC1上一点，且=，0≤λ≤1．∵=（x2，y2﹣2，z2），=（﹣x2，2﹣y2，4﹣z2）．∴（x2，y2﹣2，z2）=λ（﹣x2，2﹣y2，4﹣z2）．…即．∴P（0，2，）．…设平面PBD的法向量．∵，，∴．即．…令y3=1，得=（﹣1，1，﹣）．…若平面A1CD1⊥平