湖南省益阳市桃江县第二中学2021年高二数学理月考试题含解析

湖南省益阳市桃江县第二中学2021年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心的轨迹是（）A．椭圆

B．双曲线

C．抛物线

D．双曲线的一支参考答案：A2.椭圆上的点到直线的最大距离是(

)

A．3

B．

C．

D．参考答案：D3.若，则等于

（

）A、-1

B、1

C、

D、

参考答案：C略4.下列求导正确的是（

）A.，则；

B.，则；C.，则；D.，则参考答案：B略5.设，，若对任意的，存在，使得，则实数a的取值范围为（

）A．[－1,0)∪(0,1]

B．(－∞,－1]∪[1,+∞)C．[－2,0)∪(0,2]

D．(－∞,－2]∪[2,+∞)参考答案：D函数在上单调递增，所以的值域为，当时，为增函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为减函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上，实数的取值范围为.故选D.

6.用数学归纳法证明“时，从“到”时，左边应增添的式子是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C7.抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，） B．（，0） C．（0，） D．（，0）参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】将抛物线化为标准方程，结合抛物线的性质，可得答案．【解答】解：抛物线y=2x2的标准方程为：x2=y，故抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，），故选：C8.把标号为1，2，3，4，5的五个小球全部放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法种数是（）A．36 B．48 C．60 D．84参考答案：D【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．【解答】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有2×3=6种选择；如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有2×3=6种选择，得到第5球独占一盒的选择有4×（6+6）=48种，第二类，第5球不独占一盒，先放1﹣4号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9×4=36，根据分类计数原理得，不同的方法有36+48=84种．故选：D．9.若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故选：C．10.已知F1，F2是双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．2

C．﹣1 D．1+参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，可得|PF1|=|F1F2|，从而可得e的方程，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，∴|PF1|=|F1F2|∴=2c，∴e2﹣2e﹣1=0，∵e＞1，∴e=1+．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列具有性质：为整数；对于任意的正整数当为偶数时，当为奇数时，．（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；（2）若为正整数，求证：当时，都有．参考答案：：（1）设，成等差数列，

…………3分当为偶数时，此时………5分当为奇数时，此时

……………7分综合上述，可得的值为或

………………8分（2），，

………………10分又由定义可知，略12.三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=BC=2，PB=AC=2，PC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．参考答案：12π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】可得△PAC是Rt△．PBC是Rt△．可得三棱锥P﹣ABC的外接球的球心、半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：∵AP=2，AC=2，PC=2，∴AP2+AC2=PC2∴△PAC是Rt△．∵PB=2，BC=2，PC=2，∴∴△PBC是Rt△．∴取PC中点O，则有OP=OC=OA=OB=，∴O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，半径为．∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=12π．故答案为：12π13.双曲线﹣=1的渐近线方程是．参考答案：y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．【解答】解：∵双曲线方程为﹣=1的，则渐近线方程为线﹣=0，即y=±，故答案为y=±．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程．14.已知（x+a）2（x﹣1）3的展开式中，x4的系数为1，则a=

．参考答案：2【考点】二项式系数的性质．【分析】由（x+a）2（x﹣1）3=（x2+2ax+a2）（x3﹣3x2+3x﹣1），求出它的展开式中x4的系数即可．【解答】解：（x+a）2（x﹣1）3=（x2+2ax+a2）（x3﹣3x2+3x﹣1），所以它的展开式中，x4的系数为：﹣3+2a=1，解得a=2．故答案为：2．15.的否定是

．（原创题）参考答案：16.已知双曲线(＞0,＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，那么，它的两条渐近线方程为

．参考答案：17.已知定义域为的函数f(x)是偶函数，并且在上是增函数，若，则不等式的解集是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．(Ⅰ)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧的标准方程；(Ⅱ)试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？

参考答案：解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，中垂线为轴建立直角坐标系则

设抛物线的方程为，将点代入得

所以抛物线弧AB方程为（）（2）解法一：设等腰梯形的腰与抛物线相切于

则过的切线的斜率为

所以切线的方程为：，即

令，得，

令，得，所以梯形面积

当仅当，即时，成立

此时下底边长为

答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．

解法二：设等腰梯形的腰与抛物线相切于

则过的切线的斜率为

所以切线的方程为：，即

运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积：

-----10分

当仅当，即时，成立，此时下底边长为

答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．

解法三：设等腰梯形上底（较短的边）长为米，则一腰过点，可设此腰所在直线方程为，

联立，得，

令，得，或（舍），

故此腰所在直线方程为，

令，得，

故等腰梯形的面积：当且仅当，即时，有

此时，下底边长

答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．19.22．（12分）某厂生产A产品的年固定成本为250万元，若A产品的年产量为万件，则需另投入成本（万元）。已知A产品年产量不超过80万件时，；A产品年产量大于80万件时，。因设备限制，A产品年产量不超过200万件。现已知A产品的售价为50元/件，且年内生产的A产品能全部销售完。设该厂生产A产品的年利润为L（万元）。（1）写出L关于的函数解析式；（2）当年产量为多少时，该厂生产A产品所获的利润最大？参考答案：20.在极坐标系中，极点为0，已知曲线与曲线交于不同的两点A，B.求：(1)的值；(2)过点且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．参考答案：（1）；（2）.试题分析：（1）把曲线C1和曲线C2的方程化为直角坐标方程，他们分别表示一个圆和一条直线．利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值．

（2）用待定系数法求得直线l的方程为直线l的方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l的极坐标方程试题解析：（1）∵，∴，又∵，可得,∴，圆心(0,0)到直线的距离为∴．（2）∵曲线的斜率为1，∴过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为，∴直线的极坐标为，即．21.求经过直线的交点且平行于直线的直线方程

参考答案：略22.已知数列{an}满足：（1）a1=3；（2）an+1=2n2﹣n（3an﹣1）+an2+2（n∈N*）．（Ⅰ）求a2、a3、a4；（Ⅱ）猜测数列{an}的通项，并证明你的结论；（Ⅲ）试比较an与2n的大小．参考答案：【考点】8H：数列递推式；RG：数学归纳法．【分析】（Ⅰ）把n=1，2，3分别代入an+1=2n2﹣n（3an﹣1）+an2+2（n∈N*），得a2=5，a3=7，a4=9．（Ⅱ）猜测an=2n+1，然后用数学归纳法进行证明．（Ⅲ）当n=1时，a1=3＞2n；当n=2n=2时，a2=5＞22；当n=3时，a3=7＜23；当n=4时，a4=9＜24．猜想n≥3（n∈N*）时，an＜2n．然后用数学归纳法进行证明．【解答】解：（Ⅰ）a2=5，a3=7，a4=9；（3分）（Ⅱ）猜测an=2n+1，（1分）证明如下：当n=1时，a1=3=2×1+1，结论成立；（1分）若n=k时，结论成立，即ak=2k+1，则n=k+1时，ak+1=2k2﹣k（3ak﹣1）+ak2+2=2k2﹣k（6k+2）+（2k+1）2+2=2k+3，（2分）于是n=k+1时，结论成立．故对所有的正整数n，an=2n+1．（1分）（Ⅲ）当n=1时，a1=3＞2n；当n=2n=2时，a2=5＞22；当n=3时，a3=7＜23；当n=4时，a4=9＜24；（1分）猜想n≥3（n∈N