江西省鹰潭市贵溪职业中学2021年高三数学理期末试卷含解析

江西省鹰潭市贵溪职业中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成（图②），第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一个直角边为1．将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为α1，α2，α3，…，则与α1+α2+α3+α4最接近的角是（）参考值：tan55°≈1.428，tan60°≈1.732，tan65°≈2.145，A．120° B．130° C．135° D．140°参考答案：C【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系，可得α1=45°，α3=30°，再利用两角和的正切公式求得tan（α2+α4）的值，可得α2+α4的值．【解答】解：由题意可得，α1、α2、α3、α4最都是锐角，且α1=45°，tanα2==，tanα3==，∴α3=30°，tanα4==，∴α1+α3=75°．又tan（α2+α4）===≈1.87≈tan60°，故（α2+α4）接近60°，故与α1+α2+α3+α4最接近的角是75°+60°=135°，故选：C．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题．2.在椭圆上有两个动点P，Q，E（3,0）为定点，EP⊥EQ，则最小值为（

） A．6

B．

C．9

D．参考答案：A设，则有，因为EP⊥EQ，所以，即，因为，所以当时，取得最小值6，故选择A。3.已知函数f（x）=|lnx|，若f（m）=f（n）（m＞n＞0），则+=（）A． B．1 C．2 D．4参考答案：C【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】由题意，函数f（x）=|lnx|，f（m）=f（n）（m＞n＞0），可知m与n关于x=1对称，即m+n=2．f（m）=f（n），即lnm=﹣lnn，可得mn=1．即可求解则+的值．【解答】解：由题意，函数f（x）=|lnx|，f（m）=f（n）（m＞n＞0），可知：m与n关于x=1对称，即m+n=2．∵f（m）=f（n），（m＞n＞0），可得lnm=﹣lnn，即lnm+lnn=0，∴mn=1．那么：+==，故选C．【点评】本题考查了对数函数的图象及性质的运用以及对数的运算．属于中档题．4.若点P分有向线段所成的比为，则点B分有向线段所成的比是()A．

B.

C.

D.3参考答案：A5.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C6.若关于x的不等式xln+x﹣kx+3k＞0对任意x＞1恒成立，则整数k的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．5参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【分析】把函数f（x）的解析式代入f（x）+x﹣k（x﹣3）＞0，整理后对x讨论，x=3，x＞3，1＜x＜3时，运用参数分离，求得最值，主要是x＞3时，求其导函数，得到其导函数的零点x0位于（13，14）内，且知此零点为函数h（x）的最小值点，经求解知h（x0）=x0，从而得到k＜x0，则正整数k的最大值可求．【解答】解：关于x的不等式xlnx+x﹣kx+3k＞0对任意x＞1恒成立，即k（x﹣3）＜x+xlnx，当x=3时，不等式显然成立；当x＞3，即有k＜对任意x＞3恒成立．令h（x）=，则h′（x）=，令φ（x）=x﹣3lnx﹣6（x＞3），则φ′（x）=1﹣＞0，所以函数φ（x）在（3，+∞）上单调递增，因为φ（13）=7﹣3ln13＜0，φ（14）=8﹣3ln14＞0，所以方程φ（x）=0在（3，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（13，14）．当13＜x＜x0时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，当x＞x0时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，所以函数h（x）=在（13，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以[h（x）]min=h（x0）===x0∈（，）．所以k＜[h（x）]min=x0，因为x0∈（13，14）．故整数k的最大值是4；当1＜x＜3时，即有k＞对任意x＞3恒成立．由于x﹣3＜0，可得＜0，即有k≥0，综上可得，k的最大值为4．故选：A．7.将函数y=sin（x）的图象向左平移3个单位，得函数y=sin（x+φ）（|φ|＜π）的图象（如图），点M，N分别是函数f（x）图象上y轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON=θ，则tan（φ﹣θ）的值为（）A．1﹣ B．2﹣ C．1+ D．﹣2+参考答案：D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数图象的变换，求得φ的值，由正弦函数的性质，求得M和N的坐标，利用余弦定理求得θ的值，即可求得tan（φ﹣θ）．【解答】解：函数y=sin（x）的图象向左平移3个单位，可得：y=sin[（x+3）]=sin（x+），则φ=，∴M（﹣1，），N（3，﹣），则丨OM丨=2，丨ON丨=2，丨MN丨=2，cosθ==﹣，由0＜θ＜π，则θ=，则tan（φ﹣θ）=tan（﹣）=﹣tan=﹣tan（﹣）=﹣=﹣（2﹣）=﹣2+，tan（φ﹣θ）的值﹣2+，故选D．8.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.在数列{}中，已知，则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是（）A．32 B．16 C．8 D．4参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线C1的离心率，求得双曲线C2一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长．【解答】解：双曲线的离心率为，设F2（c，0），双曲线C2一条渐近线方程为y=x，可得|F2M|==b，即有|OM|==a，由，可得ab=16，即ab=32，又a2+b2=c2，且=，解得a=8，b=4，c=4，即有双曲线的实轴长为16．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点到直线的距离公式和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.存在以下三个命题：①若，则；②若a、b∈R，则；③若，则；其中正确的是

（填序号）参考答案：①②③略12.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是

cm．参考答案：6+（+2）略13.设函数f（x）=，当a=0时，f（x）的值域为

；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是

．参考答案：[0，+∞）,a＞.【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的值域．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由分段函数可得，分段函数值域，从而得到函数的值域；再由分段函数分别确定方程的根的个数即可．【解答】解：当a=0时，x＜1时，f（x）=＞；当x≥1时，0≤1﹣＜1；故f（x）的值域为[0，+∞）；解：当x≥1时，f（x）有一个零点x=1，故当x＜1时，f（x）还有一个零点，即﹣a=0有解，∵＞，∴a＞；故实数a的取值范围是a＞．故答案为：[0，+∞），a＞．【点评】本题考查了分段函数的应用及函数的零点的求法及应用．14.已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为____________。参考答案：【解析】如图可知：过原心作直线的垂线，则长即为所求；∵的圆心为，半径为

点到直线的距离为

∴

故上各点到的距离的最小值为。【点评】此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；【突破】数形结合，使用点到直线的距离距离公式。

15.实数满足，则的最大值为

.参考答案：4画出不等式组表示的平面区域，如下图所示，三角形ABC为所求，目标函数化为

，当经过点B（1,2）时，最大值为4。16.（几何证明选讲）如图，切圆于点,交圆于两点，且与直径交于点，若，则___________．

参考答案：1517.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点是抛物线焦点，点在抛物线上，且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满发14分）

已知

（I）求的值；

（II）求的值参考答案：（I）；（II）.试题分析：(1)由题意可得：，且由三角恒等变换可知：，所以代入数据可得的值；（2）利用三角公式及平方差公式化简可得，然后代入的值即可.试题解析：（I）由得…………2分故…………6分（II）原式…………8分

…………12分

…………14分考点：三角恒等变换.19.（本小题13分）已知函数,.(Ⅰ)当时,求函数在上的最大值;(Ⅱ)如果函数在区间上存在零点,求的取值范围.参考答案：(2)当,即时,在上必有零点.

…………10分(3)若在上有两个零点,则或解得或.

……………………12分综上所述,函数在区间上存在极值点,实数的取值范围是或

…………13分20.（本小题满分12分）已知命题p：x∈[1,2]，x2－a≥0；命题q：x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0.若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围。参考答案：p真，则

---------2分q真，则即

----------4分“”为真，为假

中必有一个为真，另一个为假----5分

当时，有

-------8分当时，有

--------11分实数a的取值范围为.--------12分21.（本小题满分14分）如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD，m，m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，再将钢丝绳依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？参考答案：（1）设钢丝绳长为ym，，则（其中，），当时，即时，.（2）设钢丝绳长为ym，，则（其中，）.令得，当时，即时.答：按方法（1），米时，钢丝绳最短；按方法（2），米时，钢丝绳最短.22.（本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）

几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050

（1）能否据此判断有97．5％的把握认为视觉和空间能力与性别有关?（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同