粘性流体运动

关于粘性流体运动第1页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三粘性流体运动微分方程以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。Navier－Stokes方程对一维流动问题：补充方程：牛顿剪切定律对粘性流体流动问题：补充方程：广义的牛顿剪切定律即：牛顿流体本构方程目的将应力从运动方程中消去，得到由速度分量和压力表示的粘性流体运动微分方程，即N-S方程。关键：寻求流体应力与变形速率之间的关系第2页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三N-S方程牛顿流体的本构方程引入的基本假设：为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，Stokes提出三个基本假设：应力与变形速率成线性关系;应力与变形速率之间的关系各向同性；静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力第3页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三牛顿流体的本构方程：第4页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三本构方程的讨论：正应力中的粘性应力：流体正应力与三个速度偏导数有关(即:线变形率)，同固体力学中的虎克定律。线变形率与流体流动：从流体流动角度看，线变形率的正负反映了流体的流动是加速还是减速；体变形率的正负反映了流动过程中流体体积是增加还是减少。正应力与线变形速率：附加粘性正应力附加粘性正应力的产生是速度沿流动方向的变化所导致的。第5页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三正应力与压力：由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等于正应力值。但有：这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平均值却总是与压力大小相等。切应力与角边形率：流体切应力与角变形率相关。牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系，是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。第6页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三流体运动微分方程——Navier－Stokes方程适用于牛顿流体第7页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三常见条件下N－S方程的表达形式：适用于牛顿流体常粘度条件下N－S方程：矢量形式：第8页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三适用于牛顿流体不可压缩流体的N－S方程：矢量形式：第9页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三适用于牛顿流体常粘度条件下不可压缩流体的N－S方程：矢量形式：非定常项定常流动为0静止流场为0对流项静止流场为0蠕变流时≈0单位质量流体的体积力单位质量流体的压力差扩散项（粘性力项）对静止或理想流体为0高速非边界层问题≈0第10页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三流体流动微分方程的应用连续方程和N－S方程是粘性流体流动应遵循的质量守恒和动量守恒的数学表达式。N-S方程应用概述封闭条件：理论上方程是封闭的，但若要考虑到物性参数的变化，应将物性变化的关系作为补充方程。方程求解：N－S方程无普遍解；特殊条件下，有可能获得准确或近似的分析解；通常通过数值计算获得离散解。应用条件：只适用于牛顿流体第11页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三流动微分方程的应用求解步骤根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化，获得针对具体问题的微分方程或方程组。提出相关的初始条件和边界条件。

初始条件：非稳态问题边界条件固壁－流体边界：流体具有粘性，在与壁面接触处流体速度为零。液体－气体边界：对非高速流，气液界面上，液相速度梯度为零。液体－液体边界：液液界面两侧的速度或切应力相等。第12页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三两平行平板间的层流流动(a)压力梯度＋上板速v0(b)上板v0带动(库埃特流动)(c)静止平板，压力差驱动(a)压力梯度＋上板速v0(a)压力梯度＋上板速v0第13页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三条件：1.稳态2.层流，流速x方向3.连续性方程（不可压缩）4.设板平行于地面，质量力gx=gz=0,gy=－g(忽略质量力时，gy=0)5.平板沿z向相对于二板距离为无限宽，忽略此方向上边界面影响。第14页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三将以上条件代入N-S方程，得解(1)式，得边界条件——对(a)(b)情形：y=0时，vx=0;y=h时，vx=v0得（3-64）式：特别对(b)情形：(3-65)(3-66)(3-67)(3-68)第15页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三对(c)情形：v0=0，流体两端压力差p=px－px+L(3-69)(3-70)(3-71)(3-72)(a)情形的流量是(b)情形和(c)情形的流量之和第16页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三圆管内的一维稳态流动分析。

不可压缩流体在水平圆管内作一维稳态层流流动。试写出该条件下的连续性方程和运动微分方程。并证明管道截面上任一点的总势能和轴向压力梯度为常数。第17页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三例题第18页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三第19页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三第20页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三速度势和流函数一速度势函数对于无旋流场，处处满足：，由矢量分析知，任一标量函数梯度的旋度恒为零，所以速度一定是某个标量函数的梯度，即:因则有:

即流场的速度等于势函数的梯度。因此，称为速度势函数，简称速度势；称无旋流动为有势流动，简称势流。这与单位质量有势力和有势力场的势函数的关系相类似。（7－35）（7－36）第21页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三结论：

无旋条件是速度有势的充要条件。无旋必然有势，有势必须无旋。所以无旋流场又称为有势流场。速度势的存在与流体是否可压缩、流动是否定常无关。

第22页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三以上给出了在直角坐标系中速度势函数和速度的关系，在柱坐标系中，，，有势流动的速度势函数与速度的线积分有密切关系。若势流中有一曲线AB，速度沿该曲线积分为

上式表明，有势流动中沿AB曲线的速度线积分等于终点B和起点A的速度势之差。由于速度势是单值的，则该线积分与积分路径无关。这与力做的功和位势的关系相类似。当速度沿封闭轴线积分时即，周线上的速度环量等于零。（7-34）（7-35）第23页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三

根据无旋条件，速度有势：代入不可压缩连续性条件 可得：

或上述方程称作不可压无旋流动的基本方程。在笛卡儿坐标系中：

在柱坐标系中：

式中为拉普拉斯算子。满足拉普拉斯方程的函数为调和函数，故速度势是调和函数。

第24页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三二流函数在笛卡儿坐标系中，平面、不可压缩流体的连续性方程可写成:若定义某一个函数（流函数）令:

,第25页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三平面不可压缩流体流函数的基本性质1.沿同一流线流函数值为常数平面流动中通过两条流线间单位厚度的流量等于两条流线上的流函数的差值3.在有势流动中流函数也是一调和函数第26页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三特性1s为坐标系XOY的任意一条流线，在s上任取一点作速度矢量，与流线相切，该点的微元流线段在x、y轴上的投影为dx、dy，在x、y轴上的投影为vx、vy

或由，得到在流线s上，Ψ的增量dΨ为0，说明沿流线Ψ（x，y，t）为常数，而流函数的等值线，即Ψ（x，y，t）=C就是流线。因此，找到流函数后，可以知道流场中各点速度，还可以画出流线。

第27页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三特性2

设Ψ1、Ψ2是两条相邻流线，作其间一曲线AB，求通过AB两点间单位厚度的流量。(见下图）在AB上作微元线段,过微元线段处的速度为，,单位厚度的流量dq应为通过dx的流量vydx和通过dy的流量vxdy之和，（vy<0）沿AB线段积分，由于沿流线流函数为常数，因此

第28页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三第29页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三特性3对平面势流有将，代入上式得到即，满足Laplace方程。所以在平面势流中函数也是调和函数。第30页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三三流函数和势函数的关系在平面势流中有，

，交叉相乘得说明等势线族Φ(x,y,z,t)=C1与流函数族Ψ(x,y,z,t)=C2相互正交。在平面势流中，流线族和等势线族组成正交网格，称为流网。

第31页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三极坐标(r,θ)中，径向的微元线段是dr，圆周的微元线段是rdθ，速度势函数Φ(r,θ,t)与vr、vθ的关系是，速度流函数Ψ(r,θ,t)与vr、vθ的关系是，速度势函数和流函数的关系是

，第32页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三例1第33页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三第34页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三例2第35页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三例3第36页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三第37页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三流线是一族以x轴和y轴为渐近线的双曲线，等势线是以直角平分线为渐近线的双曲线族。将x轴看成是固壁，并且只观察上半平面，则流动沿y轴垂直的自上而下流向固壁，然后在原点处分开，流向两侧。第38页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三几种简单的平面无旋流动一均匀流二点源和点汇三点涡第39页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三一均匀流第40页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三图2均匀流示意图第41页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三二点源和点汇第42页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三第43页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三

图3a点源

图3b点汇第44页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三第45页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三三点涡定义：流体质点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度大小与向径r成反比的流动。又被称为自由涡。将坐标原点置于点涡处，设点涡的强度为，则任一半径r处流体的速度可由stokes定理得到,那么而求点涡的速度势函数和流函数

对上面两式积分，并令积分常数等于零，得到：等势线是的线，流线是以坐标原点为圆心的同心圆。点涡的复势是或

第46页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三图4点涡示意图第47页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三势流的叠加势流叠加原理有两个流动，它们的速度分布函数、速度势函数、流函数、复势函数分别为、Φ1、Ψ1、W1和、Φ2、Ψ2、W2，由于和都满足线性Laplace方程，可以将和分别进行叠加。将两流动合起来的复合流动，其相应量分别为、Φ、Ψ、W，存在以下关系：因此第48页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三流动变成n个，同样将n个流动叠加，复合流动的相应量定义：叠加多个流动时，所得合成流动的复势即为分流动的复势的代数和，此即势流的叠加原理。第49页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三第二节蠕动流动蠕动流动：雷诺数很低的流动。特点：流动的尺度和流动的速度均很小如：热电厂锅炉炉膛气流中绕煤粉颗粒、油滴等的流动；滑动轴承间隙中的流动等等。第50页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三一、蠕动流动的微分方程对于定常流动，忽略惯性力和质量力，在直角坐标系下，可把纳维尔――斯托克斯方程组简化成：

第51页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三一、蠕动流动的微分方程●如果流动是不可压缩流体，则连续性方程为：

将式（8－18）依次求、、，然后相加，并结合连续性方程，即得：

即蠕动流动的压力场满足拉普拉斯方程。第52页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三二、绕球的蠕动流动

对如图所示的无穷远来流以速度均匀平行流沿轴绕半径为的静止圆球流动，得速度与压强分布为：

第53页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三二、绕球的蠕动流动

式中为无穷远处来流的压力。圆球以很小的速度在静止流体中作等速运动时，在流场中通过x轴的平面上的流谱如图所示。

第54页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三二、绕球的蠕动流动在圆球的前后两驻点A和B处的压强是压强的最高点和最低点，分别为：在前驻点A（＝180°）

在后驻点B（＝0°）：

而切应力的最大值，发生在C（＝90°）为：

等于A、B点处的压强与无穷远处的压强之差的绝对值。第55页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三二、绕球的蠕动流动球面上的压强和剪切应力也可根据速度分布公式算出，为：

对上述两式积分，可分别得到作用在球面上的压强和切应力的合力。将这两个合力在流动方向的分量相加，可得到流体作用在圆球上的阻力为：

这就是圆球的斯托克斯阻力公式。式中d=2为圆球的直径。

第56页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三第三节边界层的概念

边界层：物体壁面附近存在大的速度梯度的薄层。

我们可以用如图所示的绕平板的流动情况说明边界层的概念。第57页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三★边界层的定义粘性流体绕流物体时，由于粘性的作用，在物体的表面附近，存在一速度急剧变化的薄层——边界层。例如：来流的流体绕流平板时，在平板表面形成边界层。第58页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三在平板的前部边界层呈层流状态，随着流程的增加，边界层的厚度也在增加，层流变为不稳定状态，流体的质点运动变得不规则，最终发展为紊流，这一变化发生在一段很短的长度范围，称之为转捩区，转类区的开始点称为转捩点。转类区下游边界层内的流动为紊流状态。在转捩区和紊流区的壁面附近，由于流体的质点的随机脉动受到平板壁面的限制，因此在靠近壁面的更薄的区域内，流动仍保持为层流状态，称为层流底层和粘性底层。

★边界层的定义第59页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三◆边界层的特点边界层内速度梯度很大，旋涡强度大，有旋流动惯性力和粘性具有相同的数量级，同时考虑。边界层外部速度梯度很小，可以作为理想流体的势流处理。边界层厚度随的增大而增大，随的增大而减小。由于边界层很薄，因而可以近似认为，边界层任一截面上各点压强相等。第60页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三◆边界层的分类按流动状态，可分为层流边界层和紊流边界层。●判别准则——雷诺准则：平板上的临界雷诺数=~●边界层的构成：

1.层流边界层，当较小时，边界层内全为层流，称为层流边界层。

2.混合边界层：除前部起始部分有一小片层流区，其余大部分为紊流区，称为混合边界层。第61页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三◆边界层的厚度两个流动区域之间并没有明显的分界线。边界层的厚度：通常，取壁面到沿壁面外法线上速度达到势流区速度的99％处的距离作为边界层的厚度，以δ表示，这一厚度也称边界层的名义厚度。边界层的厚度取决于惯性和粘性作用之间的关系，即取决于雷诺数的大小。雷诺数越大，边界层就越薄；反之，随着粘性作用的增长，边界层就变厚。沿着流动方向由绕流物体的前缘点开始，边界层逐渐变厚。第62页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三第四节平面层流边界层的微分方程在这一节里，将利用边界层流动的特点如流体的粘度大小、速度与温度梯度大和边界层的厚度与物体的特征长度相比为一小量等对N-S方程进行简化从而导出层流边界层微分方程。在简化过程中，假定流动为二维不可压定常流，不考虑质量力，则流动的控制方程N-S方程为：

（a）第63页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三第四节平面层流边界层的微分方程将上述方程组无量纲化。为此考虑如图所示的一半无穷绕流平板，假定无穷远来流的速度，流动绕过平板时在平板附近形成边界层，其厚度为，平板前缘至某点的距离为。取和为特征量，可定义如下的无量纲量：

///（）//第64页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三代入方程组（a），整理后得：

式中雷诺数第四节平面层流边界层的微分方程（b）第65页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三

与相比较是很小的，即<<或/<<1，同时注意到，与、与、与具有同一数量级，于是、、和的量级均为1，并可以得到：～1～1～1～为了估计其他各量的数量级，由连续性方程可得：＝～1第四节平面层流边界层的微分方程第66页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三第四节平面层流边界层的微分方程因此~，于是又得到：

~~~1~

通过分析方程组（b）各项的数量级，方程组（b）中第二式中各惯性项可以忽略掉，同时可以略去、、。于是在方程组（b）的粘性项中只剩第一式中的一项。

第67页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三如果仅保留数量级为1的项，而将数量级比1小的各项全部略去，再恢复到有量纲的形式，便可以得到层流边界层的微分方程组为：

沿边界层上缘由伯努利可知：常数上式对求导，得：第四节平面层流边界层的微分方程第68页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三这样，层流边界层的微分方程又可写为：

方程组（c）即为在物体壁面为平面的假设下得到的边界层微分方程。第四节平面层流边界层的微分方程（c）第69页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三第五节边界层的动量积分关系式边界层的动量积分方程是对边界层内流动的再简化。其推导过程有两种方法：一种是沿边界层厚度方向积分边界层的方程组，一种是在边界层内直接应用动量守恒原理。下面的推导采用第二种方法。第70页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三◆边界层动量积分方程的推导如图所示为不可压缩流体的定常二维边界层流动，设物体表面型线的曲率很小。

取一个单位厚度的微小控制体，它的投影面ABDC

。用动量定理来建立该控制体内的流体在单位时间内沿x方向的动量变化和外力之间的关系。

第71页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三◆边界层动量积分方程的推导设壁面上的摩擦应力为根据边界层的控制方程组，边界层内的压强仅近似地依赖于而与无关，设AB面上的压强为，DC上的压强为

控制面AC为边界层的外边界其外部为理想流体的势流，只有与之垂直的压力，设AC上的压强为A，C两点压强的平均值。作用在控制体上的表面力沿方向的合力为：

第72页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三◆边界层动量积分方程的推导式中为边界层外边界AC与方向的夹角，由几何关系可知：，上式经整理并略去高阶小量，得：单位时间内沿方向经过AB流入控制体的质量和动量分别为：经过CD面流出的质量和动量分别为：定常流动条件下，可知从控制面AC流入控制体中的流量为：由此引起流入的动量为：第73页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三◆边界层动量积分方程的推导式中V为边界层外边界上的速度。这样，可得单位时间内该控制体内沿x方向的动量变化为根据动量定理，，则可得边界层的动量积分方程为：

上式也称为卡门动量积分关系式。该式是针对边界层流动在二维定常流动条件下导出的，并没有涉及边界层的流态，所以其对层流和紊流边界层都能适用。（d）第74页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三◆积分方程的求解实际上可以把、和看作已知数，而未知数只有、和三个。再补充两个关系式：一、沿边界层厚度的速度分布=(y)

二、切向应力与边界层厚度的关系式一般在应用边界层的动量积分关系式（d）来求解边界层问题时，边界层内的速度分布是按照已有的经验来假定的。假定的愈接近实际，则所得到的结果愈正确。所以选择边界层内的速度分布函数是求解边界层问题的重要关键。

第75页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三第六节边界层的位移厚度和动量损失厚度

边界层的厚度，表示粘性影响的范围。位移厚度动量损失厚度根据伯努力方程可知：又由于：带入（d）得或（d1）第76页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三◆边界层厚度计算式的推导因此在边界层内由于粘性影响使体积流量的减小量，即上式中第一项积分。位移厚度或排挤厚度可表示成：

（d2）同理动量损失厚度可表示为：

（d3）将和代入式（d）,得

（d4）第77页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三◆边界层厚度计算式的推导式（d4）是另一种形式的平面不可压缩粘性流体边界层动量积分关系式。、和都是未知数，它们决定于边界层内速度的分布规律。将式（d4）化为无因次形式，统除以，得（d5）或式中H＝。计算曲面边界层时，用上式较为方便。第78页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三第七节平板边界层流动的近似计算

平板层流边界层的近似计算

对于式（d），如果边界层外部的压强梯度为零，方程变为：

(d6）

假定平板非常薄，对流动没有影响。边界层外层流动：则上式可变为：

(d7）

两个补充关系式:一、冯卡门假定，二、牛顿内摩擦定律。平板紊流边界层的近似计算

采用将边界层内的速度分布与圆管内充分发展紊流的速度分布规律进行类比的方法。第79页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三◆平板层流边界层的近似计算选择一三次项式速度分布：

(e)

根据下列边界条件来确定待定系数和.(1)在平板壁面上的速度为零，即在处

(2)在边界层外边界上的速度等于来流速度,即在处，

(3)在边界层外边界上，摩擦切应力为零，即在处，

(4)由于在平板壁面上的速度为零，即，由方程组（d）的第一式得

第80页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三◆平板层流边界层的近似计算速度分布的四个系数可确定为：

于是，层流边界层中速度的分布规律为

(e1)第二个补充关系式：利用牛顿内摩擦定律和式（e1

）得出

(e2)式中为动力粘性系数。将速度分布方程（e1）带入方程（e2）并积分得：分离变量，并积分得：

(e3)第81页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三◆平板层流边界层的近似计算式中为运动粘性系数，为基于长度的雷诺数。合并方程（e2）和(e3)得到：

(e4)如果表面摩擦系数为：

(e5)那么，为：

(e6)根据动量损失厚度的定义式（d3），并考虑式（e3），可得动量损失厚度为：

(e7)同理，位移厚度为:

(e8)上述计算结果是依赖于所假设的速度分布规律的，不同阶次的速度分布，可以得出不同的结果。表1给出几种不同的情况。第82页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三表1不同阶次的速度分布所得结果比较

32123÷øöçèæ-÷øöçèæddyy第83页，讲稿共94页，2023年5月2日，星期三二、平板紊流边界层的近似计算如前所述由于流动的混参以及速度和压力的波动，紊流边界层的速度分布都采用一些模型假定。普朗特建议，当边界层雷诺数时，边界层内的速度分布可采用次方规律，即：

（f）该式不能直接应用于边界层的内边界。通常认为粘性底层内的速度分布为线形分布。雷诺数取