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15高三数学寒假作业十五(含答案)

一、填空题1.A={x|x≤2}，B={-1,1,2}，则A∩B={-1,1,2}。2.z=1+i。3.输出结果为12。4.y=3x²/31。5.m=1/2。6.概率为2/5。7.最大值为5。8.g(x)=2cos(2(x+π))/π。9.1/3。10.a1=3，q=2/3。11.b-a=π/6。12.m≤-3或m≥-1。13.x-y=3。14.最大值为5。二、解答题15.证明：设a,b,c,d为正整数，且a<b<c<d，且a+d=b+c，则d-a=b-c。因为a+d=b+c，所以a+c=b+d。又因为a<b<c<d，所以a+c<b+c<d+c，即a+c<d+c。所以d-a<b-c，即d-a≤b-c-1。因为d-a和b-c都是正整数，所以d-a≤b-c-2。所以d-a≤(b-a)-(c-b)≤2。因为a<b<c<d，所以d-a≥3。所以d-a=3，b-c=2，即d=b+2，c=b+1，a=b-1。所以a=11，b=12，c=13，d=14。因此，满足条件的四个正整数为11，12，13，14。(1)数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n(1+\frac{1}{n+1})$。(2)数列$\{b_n\}$的通项公式为$b_n=\sqrt{\frac{a_{n+1}}{n}}$。(3)数列$\{c_n\}$中不存在不同两项$c_i,c_j$（$1\leqi<j,i,j\in\mathbb{N}$），使得$c_i+c_j$是数列$\{c_n\}$的项。解析：(1)首先对$a_{n+1}$进行变形，得到$a_{n+1}=(n+1)(1+\frac{1}{n+2})$。然后将$a_{n+1}$带入$a_n$的式子中，得到$a_n=n(1+\frac{1}{n+1})$。(2)由题意可得$a_{n+1}=b_n^2n$，将其代入$a_n$的通项公式中，得到$a_n=\frac{(n-1)b_{n-1}^2}{n}$。再将$a_n$代入$b_n$的式子中，得到$b_n=\sqrt{\frac{b_{n-1}^2}{n-1+1}}=b_{n-1}$。因此，$b_n$是一个常数，即$b_n=\sqrt{\frac{a_2}{1}}=\sqrt{2}$。(3)假设存在不同两项$c_i,c_j$（$1\leqi<j,i,j\in\mathbb{N}$），使得$c_i+c_j$是数列$\{c_n\}$的项。则有$c_i+c_j=kc_k$，其中$k$是某个正整数。又因为$c_n=na_n$，所以$c_i+c_j=i(1+\frac{1}{i+1})+j(1+\frac{1}{j+1})=k(i+1)$。整理得到$j=\frac{k(i+1)-i-1}{1+\frac{1}{j+1}}$。因为$i<j$，所以$1+\frac{1}{j+1}>1+\frac{1}{i+1}$，即$\frac{1}{j

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