绝对值表达式的几何意义

关于绝对值表达式的几何意义第1页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三学习目标1.掌握并理解数轴上的点与数的对应关系2.掌握绝对值的概念及绝对值的几何意义3.通过数轴与绝对值的学习，体验数形结合的思想第2页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三绝对值的概念:（1）绝对值的几何定义：点A到原点的距离是︱a︱,点C到原点的距离是︱c︱;一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离；2、∣a∣是什么数？最小是多少？∣a∣是非负数，即∣a∣≥0，最小值是0第3页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三︱︱︱︱︱︱ABC01abc点A与点B的距离：AB=︱a-b︱(或︱b-a︱)点B到点C的距离：BC=︱b-c︱(或︱c-b︱)(2)数轴上两点间的距离：第4页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三例1.已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点之间的距离为3，那么点B

对应的数是

.解法一点A到原点的距离是3得A表示的数是±３由图可得：当A表示3时，B对应的数是2或4当A表示－３时，B对应的数的－２或－４∴点B对应的数是±2或±4思想方法：数形结合第5页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三例1.已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点之间的距离为3，那么点B

对应的数是

.解法二：∴点B对应的数是±2或±4设点B表示的数是，则根据题意得或解得或思想方法：方程思想第6页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三变式训练1.数轴上有A、B两点，若点A对应的数是－２，且A、B两点间的距离为3，则点B对应的数是

.2.点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为4，则A、B之间的距离是

.3.如图，若，则数轴上的原点在

.小结：数形结合的优点：直观简便－５或１１或７点Ｃ或点Ｄ第7页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三例3.若，则下列关系正确的是（）.B.C.D.解：∵且∴表示数的点到原点的距离比表示数的点到原点的距离大在数轴上如图所示：∴选D.小结：已知数的正负，则可表示在数轴相应位置上0ba－ｂ－ａ第8页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三变式训练1.若，则

=（）.

A.B.

C.D.2.已知在数轴上的位置如下图所示，化简式子的值为

.C－１第9页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三变式训练3.已知，在数轴上给出关于的四种情况如图所示，则成立的是

（写出所有正确的序号）②③④①、③第10页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三当堂检测1.数轴上一动点A向左移动两个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点

C表示的数是1，则点A表示的数为

.2.数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：.3.数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，则点A和点B的距离是

.4.已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、

c满足a<b<c，abc<0且a+b+c=0，那么线段AB

与BC的大小关系是

.第11页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三当堂检测答案1.数轴上一动点A向左移动两个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C.若点

C表示的数是1，则点A表示的数为

.2.数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：.－2－2a提示：提示：且第12页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三当堂检测答案3.数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，则点A和点B的距离是

.4.已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、

c满足a<b<c，abc<0且a+b+c=0，那么线段AB

与BC的大小关系是

.提示：提示：A表示的数是±3，B点表示的数是±5数形结合，有4种情况2或8AB>BC

∵

abc<0∴a、b、c中有奇数个负数∵a+b+c=0,a<b<c∴a<0且数形结合：第13页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三例2.当

，有最

值，是

.

分析：∵∴即有最小值0，此时，.（绝对值的非负性）含一个绝对值，求最值第14页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三例2.当

时，有最

值，是

.分析：∵∴即有最大值0，此时，.变式1当

时，有最

值，是

.∴2小0含一个绝对值，求最值第15页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三例2.当

时，有最

值，是

.

变式2当

时，有最

值，是

.分析：∵∴即有最小值1，此时，.2小0含一个绝对值，求最值第16页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三例3.当

时，有最

值，是

.

变式3当

时，有最

值是

.分析：∵∴即有最大值1，此时.2小0含一个绝对值，求最值第17页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三例3.当

时，有最

值，是

.

变式1当

时，有最

值，是

.变式2当

时，有最

值，是

.变式3当

时，有最

值是

.2小02大02小12大1归纳：对于代数式，当时若，则它有最小值，是.若，则它有最大值，是.含一个绝对值，求最值第18页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三问题：当x=

时，∣x－2∣－3有最小值，最小值是多少？解：∵∣x－2∣≥0∴∣x－2∣－3≥－3∵当x=2时，∣x－2∣=0∴当x=2时，∣x－2∣－3=－3因此，当x=2时，∣x－2∣－3有最小值，最小值是－3含一个绝对值，求最值第19页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三基础训练题：（1）当x取何值时，|x﹣3|有最小值？这个最小值是多少？（2）当x取何值时，5﹣|x+2|有最大值？这个最大值是多少？（3）当x取何值时，16+∣x-7∣有最小值？这个最小值是多少？答：⑴x=3时值最小，⑵x=-2时值最大，⑶x=7时值最小，最小值是0；最大值是5；最小值是16。第20页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三从实际问题入手：一个生产流水线上依次排着三个工作台A,B,C,三个工人分别在工作台上工作，问只有一个检修工具箱放在何处，才能使工作台上操纵机器的三个工人每人取一次工具所走的路程之和最短？∣∣∣ABC放在点B的位置上，他们所走的路程之和最短。如果有五工作台呢？有七个工作台呢？∣∣∣∣∣ABCDE点c的位置;∣∣∣∣∣∣∣ABCDEFG点D的位置;第21页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三探究二当x=

时，∣x－1∣+∣x－2∣有最小值，最小值是多少？思维点拨：1、∣x－1∣表示的意义是什么？2、∣x－2∣表示的意义是什么？3、∣x－1∣+∣x－2∣表示的意义又是什么？第22页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三问题解决解:设A：1，B：2，M：x则AM=∣x－1∣，BM=∣x－2∣ＡＭ＋ＢＭ＝∣x－1∣+∣x－2∣如图，易知当点M在AB上时，ＡＭ＋ＢＭ有最小值因此，当１≤ｘ≤２时，∣x－1∣+∣x－2∣有最小值，最小值是１（AB=1）注：也可用分类讨论的方法求∣x－1∣+∣x－2∣的最小值第23页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三探究三

问题：当x=

时，

∣x－1∣+

∣x－2∣+∣x－3∣有最小值，最小值是多少？1、那么怎样求∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣的最小值呢？能否分为两组呢？怎么分组呢？可分为∣x－1∣+∣x－3∣和∣x－2∣两组.有探究一和探究二可知当1≤x≤3时，∣x－1∣+∣x－3∣有最小值为2.当x=2时，∣x－2∣有最小值是0因此，当x=2时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣有最小值，最小值是22、X为多少时，可以满足两组同时取最小值呢？X=2分组标准：存在x取值同时满足各组.有最小值第24页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三探究四

问题：当x=

时，

∣x－1∣+

∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣有最小值，最小值是多少？同样，我们可以分为∣x－1∣+∣x－4∣和∣x－2∣+∣x－3∣两组当1≤x≤4时，∣x－1∣+∣x－4∣有最小值为3.当2≤x≤3时，∣x－2∣+∣x－3∣有最小值为1.二者同时取最小值的条件是2≤x≤3因此，当2≤x≤3时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣有最小值，最小值是4第25页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三探索五

问题：当x=

时，

∣x－1∣+

∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣有最小值，最小值是多少？同样，我们可以分为∣x－1∣+

∣x－5∣、∣x－2∣+

∣x－4∣和∣x－3∣三组当1≤x≤5时，∣x－1∣+∣x－5∣有最小值为4.当2≤x≤4时，∣x－2∣+∣x－4∣有最小值为2.当x=3时，∣x－3∣有最小值为0.三者同时取最小值的条件是x=3因此，当x=3时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+

∣x－5∣有最小值，最小值是6第26页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三探索六

问题：当x=

时，

∣x－1∣+

∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣+

∣x－6∣有最小值，最小值是多少？同样，我们可以分为∣x－1∣+∣x－6∣、∣x－2∣+∣x－5∣和∣x－3∣+∣x－4∣三组当1≤x≤6时，∣x－1∣+∣x－6∣有最小值为5.当2≤x≤5时，∣x－2∣+∣x－5∣有最小值为3.三者同时取最小值的条件是3≤x≤4因此，当3≤x≤4时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+

∣x－5∣+

∣x－6∣有最小值，最小值是8当3≤x≤4时，∣x－3∣+∣x－4∣有最小值为1.第27页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三由上述几个探究你发现了什么规律?每个探索的规律一样吗？探索与发现第28页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三规律

问题：当x=

时，

∣x－a1∣+

∣x－a2∣+∣x－a3∣+...+∣x－an-1∣+

∣x－an∣有最小值？已知a1≤a2≤a3≤a4≤...≤an-1≤an猜想：当x=时，原式有最小值.⑴当n为奇数时⑵当n为偶数时当时，原式有最小值.第29页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三拓展延伸一

问题：当x=

时，

∣x－1∣+

∣x－2∣+∣x－3∣+...+

∣x－2012∣有最小值，最小值是多少？当1006≤x≤1007时，原式有最小值.（1007-1006）+（1008-1005）+（1009-1004）+...+（2012-1）它的最小值=1+3+5+7+...+2011=10062第30页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三拓展延伸二

问题：当x=

时，

∣x－1∣+

∣x－2∣+∣x－3∣+...+

∣x－2012∣+

∣x－2013∣有最小值，最小值是多少？当x=1007时，原式有最小值.它的最小值（1007-1007）+（1008-1006）+1009-1005）+...+（2013-1）=0+2+4+6+8+...+2012=1006×1007第31页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三思考题：

1、求式子：

︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+…+︱x-2013︱

的最小值。解：x=1007时有最小值；最小值是：第32页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三（1）当x取何值时，式子|x﹣7|+|x﹣8|+|x﹣9|有最小值？最小值是多少？（2）当x取何值时，式子：∣x+3∣+∣x+4∣+∣x+5︱+∣x+6∣+|x+7∣有最小值？最小值是多少？解答前面问题：解：x=8时有最小值是2。解：x=-5时有最小值是6︱︱︱︱O789︱︱︱︱︱︱︱-7-6-5-4-301=2(1+2)第33页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三⑶求式子：∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+.…+︱x-99︱

的最小值;解：x=50时有最小值，最小值是：2(1+2+3+…+49)=2×—————(1+49)×492=2450第34页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三

2、求式子：的最小值，并求此时x的取值范围；答：⑴、当5≤x≤7时，最小值是18；⑵、当50≤x≤51时，最小值是2500.第35页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三例4.化简：.分析：根据绝对值的代数意义第36页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三变式1：化简：.分析：根据绝对值的代数意义∴需要考虑和的正负而第37页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三解：当原式当原式当原式∴综上所述，原式零点分段法变式1：化简：.第38页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三变式2：求法一：∴综上所述，的最小值为1.5的最小值当，原式当，原式当，原式零点分段法第39页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三变式2：求法二：的最小值表示数对应的点到2对应点的距离表示数对应的点到0.5对应点的距离∴原式即表示数的点到2的距离与到0.5距离之和于是，当时，原式有最小值为1.5第40页，讲稿共47页，2023年5月2日，星期三变式训练1.解方程.2.讨论关于的方程的解的情况.答