【课件】总体离散程度的估计课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

复习1.众数：最高矩形的中点的横坐标；

2.中位数：左右两侧直方图的面积相等；

3.平均数：每个小矩形底边横坐标的中点乘以小矩形的面积的乘积之和．频率=0.5处(2)求高一参赛学生的平均成绩．9.2.4总体离散程度的估计

样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，很多时候还不能使我们做出有效决策.问题导入问题一：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲78795491074，

乙9578768677，

如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？

通过计算得出：

甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7。

从这三个数据来看，两名运动员没有差别。问题导入根据以上数据作出条形图，如下：由上图发现：甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中。即甲的成绩波动幅度较大，而乙的成绩比较稳定。可见，他们的射击成绩是存在差异的。如何度量这种差异呢？问题二:那么，如何度量这种差异呢？我们可以利用极差进行度量。根据上述数据计算得：甲的极差=

；

乙的极差=

。

由极差发现甲的成绩波动范围比乙的大。

极差在一定程度上刻画了数据的离散程度。但由于极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，所含的信息量很少。也就是说，极差度量出的差异误差较大。10-4=69-5=4问题导入10-4=69-5=4

接下来我们再来探究问题一：

有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲78795491074，

乙9578768677，

如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？

s甲>s乙乙比甲问题导入问题三：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远。因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度。方差方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即复习导入一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定.S2标准差：例：数据为1,2,3,4,5的方差是

，

标准差是

。例：数据为1,2,3,4,5的标准差为方差是

，

标准差是

。知识1：方差与标准差

2.标准差的表达式：1.方差的表达式：知识1：方差与标准差

思考二：标准差的范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？

思考三：标准差和方差是怎样刻画数据的离散程度的？

标准差和方差是一样的，都刻画了数据的离散程度或波动幅度。

标准差（或方差）越大，数据的离散程度越大，越不稳定；

标准差（或方差）越小，数据的离散程度越小，越稳定。s=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0，这组数据的每个数据是相等的。但在实际问题中，一般多采用标准差。新知2：样本和总体的方差和标准差

思想：用样本标准差估计总体标准差12344.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是_____.2

某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩(单位：分)如下：甲组60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；乙组85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.(1)试分别计算两组数据的极差、方差；例1步步高P116甲组：极差为95－60＝35，乙组：极差为95－65＝30，(2)哪一组的成绩较稳定？从(1)中得，由于乙组的极差、方差小于甲组的方差，因此乙组的成绩比较稳定.

从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下：甲25

41

40

37

22

14

19

39

21

42乙27

16

44

27

44

16

40

40

16

40求：(1)哪种玉米苗长得高？跟踪训练1(2)哪种玉米苗长得齐？

甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示.例2(1)分别求出两人得分的平均数与方差；解：由题图可得，甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10,13,12,14,16；乙：13,14,12,12,14.由题图可得，甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10,13,12,14,16；乙：13,14,12,12,14.(2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.

甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为跟踪训练2A.s1>s2>s3

B.s1>s3>s2C.s3>s1>s2

D.s3>s2>s1√1.下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是A.极差

B.平均数

C.方差

D.标准差1234平均数是反映数据集中趋势的一项指标，不能反映样本数据的离散程度大小.√新知3：平均数、方差、标准差的性质[引例1]若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的平均数为(

)A．8 B．15C．16 D．32B新知4：平均数、方差、标准差的性质[引例2]若样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，则2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为(

)A．8 B．15C．16 D．32D新知3：平均数、方差、标准差的性质数据平均数标准差方差x1，…，xnss2ax1+b，…，axn+b[练习2]若x1，x2，…，x2017的标准差为3，且yi=﹣3(xi－2)，其中i=1,2,…,2017.则新数据y1，y2，…，y2017的方差为_____.[练习1]数据x1，x2，…，x8的平均数为6，标准差为2，则数据2x1+3，2x2+3，…，2x8+3的平均数为_____，方差为_____.x1，x2，…，x2017的方差为9151681y1，y2，…，y2017的方差为(-3)2×9=81a2s2|a|s123456789101112131415163.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是A.57.2,3.6 B.57.2,56.4C.62.8,63.6 D.62.8,3.6每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变.√练透P247123456789101112131415167.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为______.16设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为4×64＝256，即标准差为16.练透P247巩固：方差和标准差的计算[练习3]若X1，X2，X3，…，X20这20个数据的平均数为X，

方差为0.2，X1，X2，X3，…，X20，X这21个数据的方差为_________.

X1，X2，X3，…，X20的平均数：X1，X2，X3，…，X20的方差：X1，X2，X3，…，X20，X的方差：X1，X2，X3，…，X20，X的平均数：√练透P247X1，X2，X3，…，X8的平均数：X1，X2，X3，…，X8的方差：X1，X2，X3，…，X8，5的方差：X1，X2，X3，…，X8，5的平均数：新知4：分层随机抽样的方差和标准差

5.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：其中

，则两个班数学成绩的方差为A.3 B.2 C.2.6 D.2.5√班级人数平均数方差甲202乙303练透P24710.某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：组别平均数标准差第一组904第二组806求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差.练透P248根据题意，全班平均成绩为则该班学生的方差为[练习7]甲、乙两只田径队的体检结果为：甲队的体重的平均数为60kg，方差为200，乙对体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1:4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？例3学习笔记P118

某中学为研究该校男女学生在生活费(单位：元)支出上的差异，在高一年级400名学生(其中男生220人，女生180人)中随机抽取了22名男生与18名女生，统计他们的生活费支出，得到下面的结果：跟踪训练3试根据以上数据估计该校高一学生生活费支出的总体均值、总体方差.学习笔记P118知识5：从直方图估计方差与标准差

方差=

每个小矩形的面积乘以（小矩形底边中点的横坐标-平均数）之和用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值

＝______，病人等待时间方差的估计值s2＝______.8.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：等待