七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲-质数与合数

第二十讲质数与合数趣题引路】由超级计算机运算得到的结果2859433－1是一个质数，则2859433＋1是（）A．质数 B．合数 C．奇合数 D．偶合数解析 ∵2859433－1，2859433，2859433＋1．是三个连续正整数，∵2859433－1的末位数字是1．∴2859433是偶合数，∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433－1是质数，∴2859433＋1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433＋1是奇合数．故选C．同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗？二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6＝3＋3，12＝5＋7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1＋2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”．知识延伸】1．正整数依据不同的标准可以有各种分类，这里依据它们的正约数的个数可以分为三类：（1）只有一个正约数的数，它只能是1；（2）只有两个正约数的数，如2，3，11这样的数叫质数；（3）有两个以上正约数的数，如4，10，12这样的数叫合数．2．（1）2是最小的质数，也是唯一的偶质数；除2以外，其余的质数都是奇数。（2）质数有无穷多；合数也有无穷多．证明 假设只有有限多个质数，设为P1，P2，P3，…，Pn考虑P1P2P3…Pn＋1，由假设可知，P1P2P3…Pn＋1是合数，它一定有一个质因数P，显然，P不同于P1，P2，P3，…，Pn，这与假设P1，P2，P3，…，Pn为全部质数矛盾．3．质数可以采用埃拉托色尼筛选法进行判定．如判断2003为质数，可以这样操作：分别用质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，41，43来除2003，它们都不能整除2003，而下一个质数47，它的平方472＝2209大于2003，由此就可判定2003为质数。4．算术基本定理对于一合数，如果将它分解为若干质数的连乘积的形式，并不考虑质因数的排列顺序，那么这种分解式将是唯一的，即正整数N（N＞1）可以唯一表示为其中，P1，P2，…，Pm为质数，且P1＜P2＜…＜Pm，a1，a2，…，am为正整数.5．对于正整数N的质因数标准分解式根据乘法原理，它的正约数个数为（1＋a1）（1＋a2）…（1＋am）．它的所有约数之和为.而且仅当为平方数时，它的正约数个数为奇数.例1用正反向的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为（cm）规格的地砖，恰用块；若选用边长为（cm）规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块.已知、、都是正整数，且.试问：这块地有多少平方米？解析设这块地的面积为，则，得.，得.或解之得，此时.故这块地的面积为.点评虽然同一块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立、、的等式，寻找解题的突破口.例2是质数，仍是质数，求的值. 解析∵是质数，∴又为质数，∴必为奇数，∴必为偶数，∴必为偶数.又∵是质数，∴.∴.点评本题利用了2是唯一的偶质数这一性质.例3已知正整数和都是质数，且与也都是质数，试求的值.解析且是质数，∴必为正奇质数，为偶数，而、均为质数，故或.当时，有与均为质数.当时，则不是质数；当时，不是质数，因此，，且为质数，故.当时，有与均为质数.当时，不是质数；当时，不是质数，因此，，当为质数，故.故.点评在所有质数中2时唯一的偶质数，可知是奇质数，是偶数，进而可求或，最终达到求解的目的.例4已知和都是质数，求证：也是质数.解析先研究和都是质数时，应满足的条件可先从最小的质数开始考察.证明：若，则是合数；若，则是质数；若，则是合数；若，则是合数；由此猜测：当为大于3的质数时，为合数.下面对这一猜测给出证明.若，把按3除的余数可分为三类.由于时质数，所以，只能为形如的数，则.显然，是合数.因此，满足条件的.故当时，是质数.点评本例的证明是由具体数字着手讨论的，这种“归纳——猜想——证明”的方法在以后的学习中要经常用到.例5若为自然数，与都是质数，求除以3所得的余数.解析我们知道除以3的余数只能为0、1、2三种.若余数为0，即（是一个非负整数，下同），则，所以，又，故不是质数，与题设矛盾.若余数为2，即，则，故不是质数，与题设矛盾.所以除以3所得的余数只能为1.点评一个整数除以以后，余数可能为0，1，…，，共个，将整数按除以所得的余数分类，可以分成类.如时，余数只能为0与1，因此可以分为两类，一类是除以2余数为0的整数，即偶数；另一类是除以2余数为1的整数，即奇数.同样，时，就可以将整数分为三类，即除以3余数分别为0、1、2这样的三类.通过余数是否相同来分类是一种重要的思想方法，有着广泛的应用.例6把一个两位质数接写在另一个与它不同的两位质数的右边，得到一个四位数.已知这个四位数恰能被这两个质数之和的一半整除，试求出所有这样的四位数.解析设均为两位质数，且，依题意，四位数，能被整除，则（为正整数），即.∵是整数，∴又，事实上，两个不同的质数是互质的.∴.∵和是不同的两位质数，∴和均为不小于11且不大于99的不同质数，∴+应是小于24且不大于196的偶数.容易求得198的不小于24且不大于196的正偶约数只有66，把66分拆成两个不同的两位素数之和，有，故符合条件的四位数共有8个：1353、5313、1947、4719、2343、4323、2937、3729.点评在上面的求解过程中，用到了最大公约数的一个性质：.好题妙解】佳题新题品味例1设都是自然数，且，证明：一定是合数.证明∵和同偶数，与同奇数，又，∴与同奇偶，因此与同奇偶.∴是偶数，且，∴一定是合数.点评偶数未必都是合数，所以在本题中是不能缺少的.例2正整数和是两个不同的质数，的最小值是，求的值.解析要使的值最小，而和都是质数，则和分别取2和3，于是，故.点评要使的值最小，则和尽可能取较小的值，而、是两个不同的质数，故和分别取2和3，从而值可求.中考真题欣赏例1若是1988的三个不同质因数，且，则的值是多少？解析∵，而为质数.∴的值分别为2、3、37.，故，得.点评先对1998分解质因数，再根据确定的值.如果没有的条件，那么又是什么呢？例2四个质数的倒数之和是，则这四个质数之和是.解析∵，，∴这四个质数为3、5、7、19.因此，这四个质数的和为3+5+7+19=34.点评设这四个质数分别为，则.由于均为质数，所以.故考虑将1995分解质因数.竞赛样题展示例1是不小于40的偶数，试证明：总可以表示成两个奇合数的和.解析因为是不小于40的偶数，所以，的个位数字必为0、2、4、6、8，现在以的个位数字分类：（1）若的个位数字为0，则；（2）若的个位数字为2，则；（3）若的个位数字为4，则；（4）若的个位数字为6，则；（5）若的个位数字为8，则；综上所述，不小于40的任一偶数，都可以表示成两个奇数之和.点评本题证明一个不小于40的偶数可以表示成两个奇合数之和，其难度与“哥德巴赫猜想”当然不可同日而语，但本题证明时使用了构造的方法，值得大家注意.例241名运动员所穿运动衣号码是1,2，…，40,41这41个自然数，问：（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由.解析（1）能办到.注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1,3,5，7，…，41，在每两数间留有空挡，然后将所有的偶数依次反序插在各空挡中，得1,40,3,38,5,36,7,34，…，8,35,6,37,4,39,2,41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求.（2）不能办到.若把1,2,3，…，40,41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是技术，故圆圈上任何相邻两数比为一奇一偶，但现有20个偶数，21个技术，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到.点评站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形.例3（第62届莫斯科竞赛题）写出5个正整数，使它们的总和等于20，而它们的积等于420.解析设这5个正整数为，则，而，故知这5个数分别为1、4、3、5、7.点评在420的分解式中，把看作（即两个数相乘）还是一个数4，是否再增加一个因数1，这取决于对求和式的观察.例4若自然数与都是质数，求除以6的余数.解析不妨将分成六类，，然后讨论.当时，与为质数矛盾；当时，与为质数矛盾；当时，与为质数矛盾；当时，与为质数矛盾；当时，与为质数矛盾；所以只有，即除以6的余数为4.点评本题利用分类讨论进行.过关检测】A级1.有三个正整数，一个是最小的奇质数，一个是最小的奇合数，另一个既不是质数，也不是合数，求这三个数的积.2.有三个数，一个是偶质数，一个是大于50的最小质数，一个是100以内最大的质数，求这三个数的和.3.设与是两个大于2的质数，证明是一个合数.3.若是一个质数，仍为质数，求值：也是一个质数.5.若与都是质数，且.求除以3所得的余数.6.若自然数，且，求的值.7.有四个不同质因数的最小的自然数是多少？8.求2000的正约数的个数，并求它的所有质因数的和.9.若，则是数（选填“质”或“合”）.10.若质数满足，则.B级1.和均为质数，则.2.已知三个质数的积等于三个质数的和的5倍则.3.（1997年北京市初一数学竞赛试题）的解是最小质数的倒数，则.4.（1998年北京市出而数学竞赛试题）若和均为质数，且满足，则.5.（1997年“迎春杯