正态分布及抽样误差

正态分布及其应用Normaldistribution

anditsapplications

统计学中最重要的理论分布之一

1可编辑版正态分布(Normaldistribution)法国概率论学者狄莫弗德国数学家Gauss最早用于物理学、天文学

Gaussiandistribution2233可编辑版4为什么如此摆放奖品？平时，我们很少有人会去关心小球下落位置的规律性，人们可能不相信它是有规律的。

高尔顿钉板试验

正态分布的背景－一个街头赌博游戏4可编辑版5Ox-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678这条曲线就是我们将要介绍的正态分布曲线。正态分布的背景－高尔顿钉板试验5可编辑版612413214014815616400.100.200.300.40频率图某市120名12岁男童身高(cm)的频数分布6可编辑版组段频数频率

124～ 1 0.0083

128～ 2 0.0167

132～ 10 0.0833

136～ 22 0.1834

140～ 37 0.3083

144～ 26 0.2167

148～ 15 0.1250

152～ 4 0.0333

156～ 2 0.0167

160～164 1 0.0083合计 120 1.00007极差=160.9-125.9=35分10组，组距=极差/10=35/10=3.5，组距取4下界124，上界1647可编辑版8身高的分布8可编辑版正态分布的概率密度函数

如果随机变量X的概率密度函数

则称X服从正态分布,记作X～N(,2),其中，为分布的均数，为分布的标准差。

(-∞＜X

＜+∞)

9可编辑版正态分布图示x0.1.2.3.4f(x)10可编辑版方差相等、均数不等的正态分布图示31211可编辑版均数相等、方差不等的正态分布图示21312可编辑版正态分布的特征正态分布有两个参数(parameter)，即位置参数(均数)和变异度参数(标准差)。高峰在均数处；均数两侧完全对称。正态曲线下的面积分布有一定的规律。13可编辑版正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等。S(-,

-X)S(

+X,)＝S(-,-X)X14可编辑版正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)15可编辑版正态曲线下的面积规律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

S(-,-3)=0.0013S(-,-2)=0.0228S(-,-1)=0.1587S(-,)=0.5S(-,+3)=0.9987S(-,+2)=0.9772S(-,+1)=0.8413S(-,)=116可编辑版正态曲线下的面积规律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

1-S(-3

,+3)=0.00261-S(-2

,+2)=0.04561-S(-

,+)=0.317417可编辑版正态曲线下的面积规律-3-2-++2+3

S(-,-3)=0.0013S(-,-2)=0.0228S(-,-1)=0.1587S(-,-0)=0.5S(-3,-2)=0.0215S(-2,-1)=0.1359S(-1,)=0.3413

-4-3-2-10123418可编辑版正态曲线下的面积规律-1.96+1.962.5%2.5%95%19可编辑版正态曲线下的面积规律-1.64+1.645%5%90%20可编辑版正态曲线下的面积规律-2.58+2.580.5%0.5%99%21可编辑版S(-1.96,+1.64)=?思考22可编辑版正态曲线下的面积规律正态曲线下面积总和为1；正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等；对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相等；-1.64～+1.64内面积为90%；-1.96～+1.96内面积为95%；-2.58～+2.58内面积为99%。小于-3的面积为0.13%;小于-2的面积为2.28%;小于-的面积为15.87%。23可编辑版标准正态分布标准正态分布(standardnormaldistribution)是均数为0，标准差为1的正态分布。记为N(0,1)。标准正态分布是一条曲线。概率密度函数：

(-∞＜u

＜+∞)

24可编辑版正态分布转换为标准正态分布若

X～N(,2)，作变换：

则u服从标准正态分布。u称为标准正态离差(standardnormaldeviate)25标准正态分布曲线下面积(u)

u 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08-3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010-2.5 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049-2.0 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188-1.9 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239-1.6 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465-1.0 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401-0.5 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.28100 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.46810u26可编辑版正态分布的应用估计频数分布质量控制确定临床参考值范围27可编辑版估计频数分布某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布，其均数为3150g，标准差为350g。若以2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比例。首先计算标准离差：查标准正态分布表:(-1.86)=0.0314结果：估计低体重儿的比例为3.14%.28可编辑版质量控制质量控制的意义监控日常工作、科研过程、生产过程中误差的变化，分析变化的趋势是否出现异常，从而引起警觉和注意，以便分析原因，并及时采取措施。29可编辑版参考值范围(referenceinterval)参考值范围又称正常值范围(normalrange)。什么是参考值范围：是绝大多数正常人的某观察指标所在的范围。绝大多数：90%，95%，99%等等。确定参考值范围的意义：用于判断正常与异常。“正常人”的定义：排除了影响所研究的指标的疾病和有关因素的同质的人群。30可编辑版参考值范围确定的原则选定同质的正常人作为研究对象控制检测误差判断是否分组(性别,年龄组)选择百分界值(90%,95%)确定可疑范围单、双侧问题31可编辑版单侧与双侧参考值范围根据医学专业知识确定！双侧：白细胞计数，血清总胆固醇，单侧：上限:转氨酶，尿铅，发汞……

下限:肺活量，IQ，32可编辑版参考值范围的估计方法方法 双侧 单侧下限 单侧上限正态分布法33可编辑版例20～

29岁正常成年男子尿酸浓度求双侧95%的参考值范围：下限上限34可编辑版总结正态分布是描述个体变异的重要分布之一，也是统计学理论中的重要分布之一；正态分布是一簇分布，由两个参数决定：均数和标准差；正态分布曲线下的面积是有规律的，且与标准正态分布曲线下的面积对应(以标准正态离差为单位)。35可编辑版需要掌握的内容正态分布的性质正态曲线下面积的分布规律参考值范围确定的原则和方法36可编辑版抽样误差及其规律性Samplingvariability

anditsattributes37可编辑版从一个例子来谈抽样误差假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。研究者从所有符合要求的七岁男童中每次抽取100人，共计抽取了五次。3838122.7121.0118.1108.3124.5121.1115.8120.9117.9……39μ=119.4cmσ

=4.38cm=118.4cmS=4.41cm119.4u3940μ＝119.41cmσ=4.38cm40可编辑版导致总体均数与样本均数、样本均数之间有差别的可能原因是？4141可编辑版抽样误差的定义五次抽样得到了不同的结果，原因何在？42个体变异随机抽样不同男童的身高不同每次抽到的人几乎不同抽样误差42可编辑版抽样误差的表现43抽样误差的表现样本均数和总体均数间的差别样本均数和样本均数间的差别43可编辑版抽样误差定义：由于个体变异的存在,由抽样引起的样本统计量与总体参数间的差别。原因：个体变异＋抽样表现：不同样本统计量间的差别样本统计量与总体参数间的差别抽样误差是不可避免的！抽样误差是有规律的！44★★★★★44可编辑版均数的抽样误差之特点各样本均数未必等于总体均数；样本均数间存在差异；样本均数的分布很有规律；4545可编辑版中心极限定理(centrallimittheorem)Case1:

从正态分布总体N(μ,σ)

中随机抽样(每个样本的含量为n[如10])，可得无限多个样本[如1000次]，每个样本计算样本均数，则样本均数也服从正态分布。样本均数的均数为μ;样本均数的标准差为。4646可编辑版中心极限定理(centrallimittheorem)Case2:

从非正态分布总体(均数为μ，方差为σ)中随机抽样(每个样本的含量为n)，可得无限多个样本，每个样本计算样本均数，则只要抽样次数足够大(n>50),样本均数也近似服从正态分布。样本均数的均数为μ;样本均数的标准差为。4747可编辑版标准误(standarderror)样本统计量的标准差称为标准误。样本均数的标准差称为均数的标准误。均数的标准误表示样本均数的变异度。前者称为理论标准误，后者称为样本标准误。48这个公式是怎么来的？48可编辑版已知变量x的方差V(x)=S2，则2x的方差为？已知变量x1的方差V(x1)=S12，变量x2的方差V(x2)=S22，则x1+x2的方差为？4949可编辑版标准误与标准差（1）联系：都表示变异的大小；样本含量一定时，标准差越大，标准误越大。50可编辑版标准误与标准差（2）标准差含义：一组变量值离散程度；标准差越小，均数的代表性越好；应用：估计参考值范围；与n的关系：样本含量越大，标准差越稳定，n很大时，标准差趋向于总体标准差。51可编辑版标准误与标准差（3）标准误含义：样本统计量的离散程度；标准误越小，用样本均数来反映总体均数越可靠；应用：计算可信区间；与n的关系：样本含量越大，均数的标准误越小，n很大时，标准误趋向于0。52可编辑版53

SamplingDistributionofsamplemeansSamplingDistributionofsamplemeans

SamplingDistributionofsamplemeansPopulationBX

XPopulationC

XPopulationDXPopulationAn=10n=4n=25n=2SamplingDistributionofsamplemeans样本均数的抽样分布

53与样本含量的关系n

越大，均数的均数就越接近总体均数；n越大，变异越小，分布越窄；对称分布接近正态分布的速度，大于非对称分布。分布越偏，接近正态分布所需样本含量就越大。5454可编辑版抽样误差的规律性(1)均数的抽样误差规律：在样本含量足够大时，无论总体分布如何，其均数的分布趋于正态分布5555可编辑版56

f(t)(标准正态曲线)

=30.10.2-4-3-2-1012340.3如果样本含量较小时均数的抽样分布？56可编辑版t分布5757可编辑版正态分布的标准化变化若X~N(μ,σ2),则。58因,则。58可编辑版t

分布的概念实际工作中，总体方差未知。所以，用样本方差代替总体方差，且当样本含量较小时的分布如何？5959可编辑版t分布起源6060t

分布的概念用样本方差代替总体方差，此时不服从正态分布。而服从

t分布。记为：6161可编辑版62

f(t)

=∞(标准正态曲线)

=5

=10.10.2-4-3-2-1012340.3自由度分别为1、5、∞时的

t分布62可编辑版t分布的性质t分布为一簇单峰分布曲线。t分布以0为中心，左右对称。分布的高峰位置比u分布低，尾部高。即相同的尾部面积对应的界值，比u分布大。例如：P=0.05，u=1.64，而自由度为3的t分布界值，t=3.182。t分布与自由度有关，自由度越小，t分布的峰越低，而两侧尾部翘得越高；自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近标准正态分布；当自由度为无穷大时，t分布就是标准正态分布。每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。t界值表。63可编辑版t界值表单侧：

P(t<=-tα,ν)=α或

P(t>=tα,ν)=α双侧：

P(t<=-tα,ν)+P(t>=tα,ν)=α

即:P(-tα,ν<t<tα,ν)=1-α[例]查t界值表得t值表达式

t0.05,10=2.228(双侧）

t0.05,10=1.812(单侧）-tt064t

分布曲线下面积双侧：t0.05,10=2.228

表明，从正态分布总体中抽取样本含量为n=11的样本，由该样本计算的t值大与等于2.228的概率为0.025，小于等于-2.228的概率亦为0.025

P(t≤-2.228)+P(t≥2.228)=0.05

或：P(-2.228<t