三角形的中位线-教学课件

18.1.2平行四边形判定第十八章平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第3课时三角形的中位线学习目标1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.（重点）2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.(重点）问题

平行四边形的性质和判定有哪些？导入新课复习引入边：角：对角线：BODACAB∥CD,AD∥BCAB=CD,AD=BCAB∥CD,AD=BC∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADCAO=CO,DO=BO判定性质我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧.思考如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？讲授新课三角形的中位线定理一概念学习定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.ABCDE如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线.问题1

一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ABCDEF有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.问题2

三角形的中位线与中线有什么区别？中位线是连接三角形两边中点的线段.

中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.问题3：如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？DE两条线段的关系位置关系数量关系分析：DE与BC的关系猜想：DE∥BC？度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．问题4：平行角平行四边形或线段相等一条线段是另一条线段的一半倍长短线分析1：DE猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．问题3：如何证明你的猜想？分析2：DE互相平分构造平行四边形倍长DE证明：DE延长DE到F，使EF=DE．连接AF、CF、DC．∵AE=EC，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形．F∴四边形BCFD是平行四边形，∴CF

AD

,∴CF

BD

,又∵，∴DF

BC．∴DE∥BC，．如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，求证：

证一证DE证明：延长DE到F，使EF=DE．F∴四边形BCFD是平行四边形．∴△ADE≌△CFE．∴∠ADE=∠F连接FC．∵∠AED=∠CEF，AE=CE，证法2：，AD=CF,∴BDCF．又∵，∴DF

BC．∴DE∥BC，．∴CF

AD

,

三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．DE△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，则DE∥BC，DE=BC．三角形中位线定理：符号语言：归纳总结ABCDEF重要发现：①中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE.②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.由此你知道怎样分蛋糕了吗典例精析

例1

如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长解：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝2DF＝6.123

例2如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°，∴∠PMN=(180°−130°)÷2=25°．

例3如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.证明：取AC的中点F，连接BF.∵BD＝AB，∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.∵E为AB的中点，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE.F

恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．归纳练一练1.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．（1）

若DE=5，则BC=

．（2）

若∠B=65°，则∠ADE=

°．（3）

若DE+BC=12，则BC=

．106582.如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离为______m．NM40例4如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．四边形问题连接对角线三角形问题（三角形中位线定理）三角形的中位线的与平行四边形的综合运用二分析：证明:连接AC.∵E,F,G,H分别为各边的中点,∴EF∥HG,EF=HG.∴EF∥AC,HG∥AC,∴四边形EFGH是平行四边形.

顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.归纳【变式题】如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.证明：如图，连接BD.∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，∴EH是△ABD的中位线，

FG是△BCD的中位线，∴EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD，∴EH∥FG且EH=FG，∴四边形EFGH为平行四边形.证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=

BC.∵CF=BC，∴DE=FC；例5如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；例5如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（2）求EF的长．解：∵DE∥FC，DE=FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴EF=DC=．练一练1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（）A.8B.10C.12D.16D2.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长．解：∵▱ABCD的周长为36，∴BC+CD=18．∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，∴OE=BC，∴△DOE的周长为OD+OE+DE=（BD+BC+CD）=15，即△DOE的周长为15．当堂练习2.如图，在▱ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（）A.2B.3C.4D.51.如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为（）A.1B.2C.4D.8第2题图第1题图CC3.如图，点D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、AC的中点.（1）若∠ADF=50°，则∠B=

°；（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△DEF的周长为

.5015ABCDFE4.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、BD、AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是

.ABDCEFGH115.如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，求DE的长．解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴AB=AF=6，BD=DF，∴CF=AC-AF=4，∵BD=DF，E为BC的中点，∴DE=

CF=2．6.如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．解：AB∥OF，AB＝2OF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE,∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB∥OF，AB＝2OF.7.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．解：取BC边的中点G，连接EG、FG．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，又BD=12，AC=16，AC⊥BD，∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，∴∴EG∥AC,FG∥BD,G课堂小结三角形的中位线三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半三角形的中位线定理三角形的中位线定理的应用导入新课讲授新课当堂练习课堂小结20.2数据的波动程度第二十章数据的分析第2课时根据方差做决策情境引入学习目标1.能熟练计算一组数据的方差；（重点）2.能用样本的方差估计总体的方差及根据方差做决策.（难点）导入新课方差的计算公式，请举例说明方差的意义．方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．复习引入讲授新课根据方差做决策每个鸡腿的质量；鸡腿质量的稳定性．抽样调查．问题1某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎．现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿．（1）可通过哪些统计量来关注鸡腿的质量？（2）如何获取数据？例1在问题1中，检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量（单位：g）如下表所示．根据表中的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？

解：样本数据的平均数分别是：

样本平均数相同，估计这批鸡腿的平均质量相近．甲747475747673767376757877747273乙757379727671737278747778807175

解：样本数据的方差分别是：

由

可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；由

＜

可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀．因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿．例2在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续高低不等的台阶.如图是其中的甲、乙两段台阶路的示意图(图中数字表示每一阶的高度，单位：cm).哪段台阶路走起来更舒服？为什么？212021191920172420171923甲乙分析：通过计算两段台阶的方差，比较波动性大小.

∴走甲台阶的波动性更，走起来更舒适.解：∵队员平均成绩方差甲9.72.12乙9.60.56丙9.80.56丁9.61.34甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（）A.甲B.乙C.丙D.丁C练一练议一议（1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？反映数据的波动大小．方差越大,数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，可用样本方差估计总体方差．（2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？

先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数

相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．例3某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近10次选拔赛中，他们的成绩（单位:cm）如下：甲：585596610598612597604600613601乙：613618580574618593585590598624（1）这两名运动员的运动成绩各有何特点？分析：分别计算出平均数和方差；根据平均数判断出谁的成绩好，根据方差判断出谁的成绩波动大．解：(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)=601．6，s2甲≈65.84；(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)=599．3，s2乙≈284.21．由上面计算结果可知：甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙队员的成绩相对不稳定．但甲队员的成绩不突出，乙队员和甲队员相比比较突出．（2）历届比赛表明，成绩达到5.96m就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛．解：从平均数分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能．但由方差分析可知，甲成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙大．但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛．做一做甲、乙两班各有8名学生参加数学竞赛，成绩如下表：甲6574708065666971乙6075786180626579请比较两班学生成绩的优劣.当堂练习1.学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加市里举办的“汉字听写”大赛，四名同学平时成绩的平均数（单位：分）及方差s2如下表所示：如果要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是

.甲乙丙丁94989896

s211.211.8丙2.某篮球队对运动员进行3分球投篮成绩测试，每人每天投3分球10次，对甲、乙两名队员在五天中进球的个数统计结果如下：

经过计算，甲进球的平均数为=8，方差为．队员每人每天进球数甲1061068乙79789（1）求乙进球的平均数和方差；（2）现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？3.在学校，小明本学期五次测验的数学成绩和英语成绩分别如下（单位：分）数学7095759590英语8085908585通过对小明的两科成绩进行分析，你有何看法？对小明的学习你有什么建议？解：数学、英语的平均分都是85分.数学成绩的方差为110，英语成绩的方差为10.建议：英语较稳定但要提高;数学不够稳定有待努力进步!课堂小结根据方差做决策方差方差的作用：比较数据的稳定性利用样本方差估计总体方差导入新课讲授新课当堂练习课堂小结20.2数据的波动程度第二十章数据的分析第2课时根据方差做决策情境引入学习目标1.能熟练计算一组数据的方差；（重点）2.能用样本的方差估计总体的方差及根据方差做决策.（难点）导入新课方差的计算公式，请举例说明方差的意义．方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．复习引入讲授新课根据方差做决策每个鸡腿的质量；鸡腿质量的稳定性．抽样调查．问题1某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎．现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿．（1）可通过哪些统计量来关注鸡腿的质量？（2）如何获取数据？例1在问题1中，检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量（单位：g）如下表所示．根据表中的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？

解：样本数据的平均数分别是：

样本平均数相同，估计这批鸡腿的平均质量相近．甲747475747673767376757877747273乙757379727671737278747778807175

解：样本数据的方差分别是：

由

可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；由

＜

可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀．因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿．例2在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续高低不等的台阶.如图是其中的甲、乙两段台阶路的示意图(图中数字表示每一阶的高度，单位：cm).哪段台阶路走起来更舒服？为什么？212021191920172420171923甲乙分析：通过计算两段台阶的方差，比较波动性大小.

∴走甲台阶的波动性更，走起来更舒适.解：∵队员平均成绩方差甲9.72.12乙9.60.56丙9.80.56丁9.61.34甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（）A.甲B.乙C.丙D.丁C练一练议一议（1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？反映数据的波动大小．方差越大,数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，可用样本方差估计总体方差．（2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？

先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数

相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．例3某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近10次选拔赛中，他们的成绩（单位:cm）如下：甲：585596610598612597604600613601乙：613618580574618593585590598624（1）这两名运动员的运动成绩各有何特点？分析：分别计算出平均数和方差；根据平均数判断出谁的成绩好，根据方差判断出谁的成绩波动大．解：(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)=6