专题12 数列求和方法之倒序相加法教师版

专题12数列求和方法之倒序相加法一、单选题1．已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．【详解】由题已知是上的奇函数，故，代入得：，∴函数关于点对称，令，则，得到，∵，，倒序相加可得，即，故选：C．【点睛】思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式.2．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．【详解】由题已知是上的奇函数，故，代入得：，∴函数关于点对称，令，则，得到，∵，，倒序相加可得，即，故选：C．【点睛】思路点睛：先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再利用对称性以及倒序相加法求数列的通项公式.3．已知，（），则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用累加法即可求出通项公式．【详解】解：∵，则当时，，……，，∴，化简得，又，∴，经检验也符合上式，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查数列的递推公式的应用，考查倒序相加法求数列的和，考查计算能力，属于中档题．4．设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为（）．A．11 B．10 C．9 D．8【答案】D【分析】利用倒序相加法可求得，进而解不等式求得最大正整数.【详解】设，则，又，，，由得：，，，，，的值为.故选：.【点睛】本题考查了与组合数有关的不等式的求解问题；涉及到了利用倒序相加法求解数列的前项和的问题，属于中档题.5．已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为（）A． B．33 C． D．34【答案】A【分析】根据，并结合倒序相加法可求出，再利用等差数列求和公式得到答案.【详解】函数满足，①，②，由①②可得，，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前10项和为.故选：A.【点睛】本题考查了函数的性质，考查倒序相加法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题.6．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（）A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D【分析】根据函数满足，利用倒序相加法求出，再求前20项和．【详解】解：函数满足，①，②，由①②可得，，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为．故选：D．【点睛】本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题．7．已知函数，设（），则数列的前2019项和的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先可得，又，则，即，则可得，再由及计算可得；【详解】解：因为，所以所以因为所以，所以则数列的前2018项和则所以所以又故选：【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，函数与数列，倒序相加法求和，属于中档题.8．已知若等比数列满足则（）A． B．1010 C．2019 D．2020【答案】D【详解】等比数列满足即2020故选：D【点睛】本题综合考查函数与数列相关性质，需要发现题中所给条件蕴含的倒数关系，寻找规律进而求出答案.9．设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先计算出的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值.【详解】，，设，则，两式相加得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．10．设等差数列的前项和是，已知，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列求和公式表示出，根据结合等差数列性质求解.【详解】由题：等差数列中：．故选：B【点睛】此题考查等差数列求和公式和等差数列性质的综合应用，熟练掌握相关性质可以减少计算量.11．已知Fx=fx+12−2是R上的奇函数，A．an=n B．an=2n+1 【答案】B【分析】由Fx=fx+12−2在R上为奇函数，知f（12−x）+f（【详解】由题已知Fx=fx+故F（−x）=−F（x），代入得：f（1∴函数f（x）关于点（12，2）对称，令t=12∵anan倒序相加可得2an=4（n+1）故选B．【点睛】本题考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解f（1212．已知函数，则的值为（）A．4033 B．-4033C．8066 D．-8066【答案】D【解析】试题分析：，所以原式.考点：函数求值，倒序求和法.【思路点晴】本题主要考查函数求值与倒序相加法.注意到原式中第一个自变量加上最后一个自变量的值为，依此类推，第二个自变量加上倒数第二个自变量的值也是，故考虑是不是定值.通过算，可以得到，每两个数的和是，其中，所以原式等价于个即.13．已知为R上的奇函数，，则数列的通项公式为A． B． C． D．【答案】C【分析】观察到的自变量头尾加得1，根据为R上的奇函数和得到即可求解.【详解】∵为R上的奇函数，∴代入得：当时，，当为偶数时：当为奇数时：综上所述，，故选C.【点睛】本题考查数列与函数的综合应用.关键在于发现规律，再建立与已知的联系.二、填空题14．设数列的通项公式为该数列的前n项和为，则_________.【答案】【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可知，再利用倒序相加法求和.【详解】，，，，，，…，，，，.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的和，解题关键是找到，然后利用倒序相加法求和.15．已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．【答案】【解析】试题分析：因为，所以．因为数列是等比数列，所以，即．设①，又＋…＋②，①+②，得，所以．考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和．【知识点睛】如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．16．设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则_______.【答案】8【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，即可得到结论．【详解】解：，，，令，解得：，而，故函数关于点对称，，，，，，同理可得，，，，故答案为：8.【点睛】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．17．已知，等差数列的前项和为，且，则的值为___________.【答案】【分析】先求出，并判断，（且），再由函数得到，最后求的值即可.【详解】解：因为等差数列的前项和为，且，所以，解得：，则，（且）因为，则，所以设，则，由上述两式相加得：，则故答案为：1009.【点睛】本题考查等差数列的通项的性质、等差数列的前项和、倒序相加法，是中档题.18．设函数，数列满足，则______.【答案】【分析】由题得，设,考虑一般情况，，即得解.【详解】由题得,，两式相加得，考虑一般情况，设,则所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算和倒序相加求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．若()，则数列的通项公式是___________.【答案】【分析】根据自变量的和为1时，函数值的和为2，运用数列的求和方法，倒序相加法求和，计算数列的通项公式.【详解】，，两式相加可得，，所以.故答案为：【点睛】本题考查倒序相加法求和，重点考查推理能力和计算能力，属于基础题型.20．对任意都有.数列满足：，则__________.【答案】【分析】采用倒序相加法即可求得结果.【详解】由题意得：，，，……，，，，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查利用倒序相加法求和的问题，属于基础题.21．函数，数列满足，其前项和为，则_____.【答案】2019【分析】由二倍角公式可得，则，再求其前2019项的即可，或根据函数的解析式化简得到求解.【详解】（法一）：，（法二）：，所以，所以，，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查三角函数诱导公式及数列求和降幂公式：，，22．推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得__________.【答案】.【分析】通过诱导公式可知，结合，可求出原式为.【详解】解：设，，，则，即，故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的关键是结合诱导公式对所求式子倒序求和.23．设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________．【答案】【分析】由题干可证出，再由倒序相加法可得所求为对的组合，即个，计算即可得解.【详解】，，因此，所以.故答案为：.【点睛】本题考查倒序相加法求数列的前项和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.24．已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前7项和为__________.【答案】7【分析】利用等差数列的性质可得，再利用二倍角的余弦公式可得，利用倒序相加法即可求解.【详解】数列满足，，数列是等差数列，，，，同理，数列的前7项和为7.故答案为：7.【点睛】本题考查了等差数列的性质、二倍角的余弦公式、诱导公式以及倒序相加法，属于中档题.25．给出定义：对于三次函数设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数.设.若则__________．【答案】-4037【分析】由题意对已知函数求两次导数,令二阶导数为零,即可求得函数的中心对称,即有,,借助倒序相加的方法,可得进而可求的解析式,求导,当代入导函数解得,计算求解即可得出结果.【详解】函数函数的导数由得解得,而故函数关于点对称,故，两式相加得，则.同理,,,令,则,,故函数关于点对称,,两式相加得,则.所以当时,解得:,所以则.故答案为:-4037.【点睛】本题考查对新定义的理解,考查二阶导数的求法,仔细审题是解题的关键,考查倒序法求和,难度较难.三、解答题26．已知数列的前n项和为．（Ⅰ）若为等差数列，求证：；（Ⅱ）若，求证：为等差数列．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（1）根据为等差数列，利用倒序相加法证明即可；（2）由前n项和公式有、，相加后整理可得，为等差数列得证．【详解】（Ⅰ）证明：已知数列为等差数列，设其公差为d，则有，于是，①又，②①+②得：，即．（Ⅱ）证明：∵，当时，，∴，③，④④-③并整理，得，即，∴数列是等差数列．【点睛】本题考查了已知等差数列的通项公式，应用倒序相加法求证前n项和公式，由前n项和公式，结合等差数列的定义证明等差数列，属于基础题.27．已知函数，设数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）若记，2，3，，，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由得到，然后变形为，利用等差数列的定义求解.（2）由（1）得到，由，利用倒序相加法求解.【详解】（1）因为，所以由得，所以，，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以，所以.（2）由（1）知，则，，，所以，，，两式相加，得：，所以.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，等差数列的定义及通项公式以及倒序相加求和，话考查了运算求解的能力，属于中等题.28．已知f(x)＝(x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.（1）求证：点P的纵坐标是定值；（2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm.【答案】（1）证明见解析；（2）Sm＝【分析】（1）先根据中点坐标公式得x1＋x2＝1，再代入化简求得y1＋y2＝，即证得结果；（2）先求，再利用倒序相加法求，两者相加得结果.【详解】（1）证明：∵P1P2的中点P的横坐标为，∴＝，∴x1＋x2＝1.∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，∴y1＝，y2＝，∴y1＋y2＝＋＝＝＝＝＝，∴点P的纵坐标为＝.∴点P的纵坐标是定值.（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am＝令由（1）知＋＝.(k＝1，2，3，…，m－1)∴倒序相加得∴2S＝(m－1)，∴S＝(m－1).又f（1）＝＝，∴Sm＝S＋f（1）＝(m－1)＋＝.【点睛】本题考查利用指数性质运算、利用倒序相加法求和，考查基本求解能力，属基础题.29．已知f(x)＝(x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.（1）求证：点P的纵坐标是定值；（2）若数列{an}的通项公式是an＝，求数列{an}的前m项和Sm.【答案】（1）见证明过程（2）Sm＝【分析】（1）根据P1P2的中点P的横坐标是可得x1＋x2＝1，计算y1＋y2＝，代入x1＋x2＝1可得y1＋y2＝，即可得证；（2）利用倒序相加法求数列的和即可.【详解】（1）证明：∵P1P2的中点P的横坐标为，∴＝，∴x1＋x2＝1.∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，∴y1＝，y2＝∴y1＋y2＝＋＝＝＝＝＝，∴点P的纵坐标为＝.∴点P的纵坐标是定值．（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am＝f＋f＋f＋…＋f＝f＋f＋f＋…＋f＋f(1)．令S＝f＋f＋f＋…＋f，①倒序得S＝f＋f＋f＋…＋f，②①＋②，得2S＝＋[f＋f]＋[f＋f]＋…＋[f＋f]．∵＋＝1(k＝1，2，3，…，m－1)，∴由（1）知f＋f＝.∴2S＝(m－1)，∴S＝(m－1)．又f(1)＝＝，∴Sm＝S＋f(1)＝(m－1)＋＝【点睛】本题主要考查了定值问题，数列倒序相加求和，考查了推理分析问题能力，运算能力，属于中档题.30．已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式.【答案】；【分析】利用的关系即可容易得到；根据函数性质，利用倒序相加法即可求得.【详解】当当时满足上式，故；∵=1∴∵①∴②∴①②，得【点睛】本题考查利用的关系求数列的通项公式，涉及倒序相加法求数列的前项和，属综合基础题.新高考数学培优专练共39讲（附解析版）目录如下。全套39讲（附解析）word版本见：高考高中资料无水印无广告word群559164877新高考数学培优专练01圆锥曲线中的弦长问题（原卷板及解析版）新高考数学培优专练02圆锥曲线中的面积问题（原卷板及解析版）新高考数学培优专练03圆锥曲线中的中点弦问题（原卷板及解析版）新高考数学培优专练04圆锥曲线中的范围问题（原卷板及解析版）新高考数学培优专练05圆锥曲线中的定点问题（原卷板及解析版）新高考数学培优专练06圆锥曲线中的定值问题（原卷板及解析版）新高考数学培优专练07圆锥曲线中的向量共线问题（原卷板及解析版）新高考数学培优专练08公式法求等差等比数列和（原卷板及解析版）新高考数学培优专练09数列求和方法之裂项相消法（原卷板及解析版）新高考数学培优专练10数列求和方法之错位相减法（原卷板及解析版）新高考数学培优专练11数列求和方法之分组并项求和法（原卷板及解析版）新高考数学培优专练12数列求和方法之倒序相加法（原卷板及解析版）新高考数学培优专练13利用导数证明或求函数的单调区间（原卷板及解析版）新高考数学培优专练14分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）（原卷板及解析版）新高考数学培优专练15已知函数的单调区间求参数的范围（原卷板及解析版）新高考数学培优专练16构造函数用函数单调性判断函数值的大小（原卷板及解析版）新高考数学培优专练17利用导数求函数的极值（原卷板及解析版）新高考数学培优专练18利用函数的极值求参