高中物理解题方法11之8：波函数法（解析版）

高中物理解题方法之8：波函数法（解析版）江苏省特级教师戴儒京内容提要：关于“振动和波”的题目，本文除了用传统方法解以外，还用另一种方法——鲜为人知的“波函数法”去解，波函数法比传统方法更“数学”一些，也是培养“用数学工具解决物理问题的能力”吧。关键词：波函数，振动方程，波动公式，振动和波，一、什么是波函数？波函数的定义：为了定量地描述介质中波动的情况，必修求得介质中各质元的位移与该质元所处的平衡位置及时间的定量关系，这种定量关系就是波的表达式，也叫做波函数（wavefunction）。二、简谐波函数的推导设有一波前为平面的简谐波，在均匀介质中沿轴正方向传播，波速为。由于这是一种平面波，所以在与轴垂直的平面上，各点的振动情况是一样的。所以只要讨论轴上各点的振动，就可以知道空间中各点的情况。以O点为波源，设该处质元做简谐振动，其位移与时间的关系为式中A为振幅，为角频率。考察波线O上的任一点P，它离O点的距离为，当波源O的振动传到P点时，P点的质元将重复O点的质元的振动，角频率也相同，但振动的相位要落后于O点。因为O点的振动传到P点需要时间，所以P处质元在时刻的振动相位和O点质元在时刻的振动相位一样，即其相位为因为平面简谐波传播时各质元的振幅相等，P处质元在时刻的位移为，这就是平面简谐波的波函数。因为,,所以波函数也可以写为当取某一确定值时，波函数便是某质点的振动方程，例如，便是振源O的振动方程。据此可以画出该质点的振动图象。当取某一确定值时，波函数便是某时刻的波动方程，例如，便是时刻的波动函数方程。据此可以画出该时刻的波的图象。三、波函数的应用：解高考“振动与波”题振动与波的问题，历来是高考的热点。不论原大纲高考，还是新课标高考，振动与波的问题，都占有一席之地。2010年高考的波的图象问题，又有新动向。如2010年高考上海物理卷第20题，是一道关于波的图象的难题，难在哪？难在两点间的距离不是的整数倍，还难在波的传播时间不是的整数倍，而以往的高考题往往都是的整数倍。笔者经认真研究，给出本题的不同于一般的解法：用波函数解，当然，也就给出了此类题的此种解法。因为2010年高考其它省市的理综或物理试卷中，关于机械振动和机械波的题目，也有此类情况，这，就是高考题的发展与变化的规律。例1.如图1，一列沿轴正方向传播的简谐横波，振幅为，波速为，在波的传播方向上两质点的平衡位置相距（小于一个波长），当质点在波峰位置时，质点在轴下方与轴相距的位置，则图1（A）此波的周期可能为（B）此波的周期可能为（C）从此时刻起经过，点可能在波谷位置（D）从此时刻起经过，点可能在波峰位置解法1图象法：形象思维解题法对AB选项，根据题意，有两种情况：第1种情况：波的图象如图2，从图象得，，，根据，，所以波长，周期，A正确。图2第2种情况：波的图象如图3，从图象得，，，，根据，，所以，波长，周期。图3因为只有以上两种情况，所以B错误。对CD选项，根据以上两种情况，也有两种有两种对应的情况：第1种情况：波长是的波，在波的图象如图4，从图象知，b在波谷，所以C正确。图4第2种情况，波长是的波，波的图象如图5，从图象知，的在波峰，所以D正确。图5综上各图，所以本题选ACD。解法2.波函数解法：抽象思维解题法波函数，在求出波长和周期后，第1种情况，振幅，周期，波长，所以具体波函数是，将和代入波函数得：，是波谷；所以C正确。第2种情况，振幅，周期，波长，所以具体波函数是，将和代入波函数得：，是波峰；所以D正确。所以本题选ACD。例2.有两列简谐横波a、b在同一媒质中沿x轴正方向传播，波速均为v＝2.5m/s。在t＝0时，两列波的波峰正好在x＝2.5m处重合，如图所示。（1）求两列波的周期Ta和Tb。（2）求t＝0时，两列波的波峰重合处的所有位置。（3）辨析题：分析并判断在t＝0时是否存在两列波的波谷重合处。 某同学分析如下：既然两列波的波峰存在重合处，那么波谷与波谷重合处也一定存在。只要找到这两列波半波长的最小公倍数，……，即可得到波谷与波谷重合处的所有位置。 你认为该同学的分析正确吗？若正确，求出这些点的位置。若不正确，指出错误处并通过计算说明理由。分析：本题考查机械波的图象和用数学方法解决物理问题。（1）从图象可以直接读出波长，然后根据波速公式求周期。（2）根据两列波的波峰重合处的已知的一个位置，求两列波的波长的最小公倍数，可求两列波的波峰重合处的所有位置，因为每经过一个波长就是一个波峰。原解答：（1）从图中可以看出两列波的波长分别为λa＝2.5m，λb＝2.5+1.5=4.0m，因此它们的周期分别为s＝1s s＝1.6s（2）两列波的波长的最小公倍数为 S＝20m在t＝0时，两列波的波峰重合处的所有位置为 x＝（2.520k）m，k＝0，1，2，3，…… （3）该同学的分析不正确。要找两列波的波谷与波谷重合处，必须从波峰重合处出发，找到这两列波半波长的奇数倍恰好相等的位置。设距离x＝2.5m为L处两列波的波谷与波谷相遇，并设L＝（2m－1） L＝（2n－1），式中m、n均为正整数只要找到相应的m、n即可将λa＝2.5m，λb＝4.0m代入并整理，得由于上式中m、n在整数范围内无解，所以不存在波谷与波谷重合处。本人原创解法：波函数解法（1）从图中可以看出两列波的波长分别为λa＝2.5m，λb＝2.5+1.5=4.0m，因此它们的周期分别为s＝1s s＝1.6s（2）从图中可以求出在t＝0时两列波的波函数分别为：，两列波的波峰所有位置分别为：，，，（m=0,1,2,3…），，，（n=0,1,2,3,…）两列波的波峰重合处的所有位置为，即=，，当（k=0,1,2,3…）时,m为整数，所以当（k=0,1,2,3…）时两列波的波峰重合（包括第1此重合处，即k=0，x=2.5m处）。(3)两列波的波谷所有位置分别为：，，，（m=0,1,2,3…），，，（n=0,1,2,3,…）两列波的波谷重合处的位置应该为，即+1.25=，，当n=0,1,2,3,4,5…时，m=,,,,,…即m无论取什么值，n都不能为整数，所以两列波的波谷重合处是没有的。该同学的做法是：假设存在一个两列波的波谷与波谷重合处，寻找另外的重合处，可用该同学的方法，该同学错误之处在于假设不成立，因为没有一个两列波的波谷与波谷重合处。此题在解题方法上给我们深刻的启示：从此题可以看出，解题方法不能生搬硬套。本题中，已知一个两列波的波峰与波峰重合处，求其它重合处，可用求波长的最小公倍数的方法。而该同学生搬硬套，还用求这两列波半波长的最小公倍数的方法，虽然他注意了把波长的最小公倍数改为半波长的最小公倍数，仍然是错误的，因为第1个波谷与波谷重合处的假设不成立。例3．图甲为一列简谐横波在t=0.10s时的波形图，P是平衡位置为x=1m处的质点，Q是平衡位置为x=4m处的质点，图乙为质点Q的振动图像，则（）A、t=0.15s时，质点Q的加速度达到正向最大B、t=0.15s时，质点P的运动方向沿y轴负方向C、从t=0.10s到t=0.25s，该波沿x轴正方向传播了6mD、从t=0.10s到t=0.25s，质点P通过的路程为30cm【答案】AB【分析】本题考查振动图像和波动图像的综合应用。由图乙可知t=0.15s时，质点Q到达波谷，其加速度达到正向最大，A选项正确；图甲表示0.10s时的波形图，t=0.10s时由图乙可知质点Q正经过平衡位置向下振动，结合图甲可知这列波向左传播（因为波向左传播，Q才处在“上坡”的位置，其运动方向才向下）。又由图甲可知波长为8m，由图乙可知周期为0.20s，波速v=λ/T=40m/s,从0.10s到0.15s时间段内，波向左平移s=vt=2m。画出此时的波形如下图（将波向左平移2m）从图可以发现，此时质点P的运动方向沿y轴负方向，B选项正确；从t=0.10s到t=0.25s，该波沿x轴负方向传播的距离s=vt=6m，C选项方向判断错误；从t=0.10s到t=0.25s，经过的时间为0.15s，等于即0.05s的3倍，质点P做变速运动，通过的路程不能用来计算（从平衡位置或正负最大位移处开始计时，才能这样算），实际路程不等于30cm（此处有的同学禁不住问：不是30cm,是多少呢？且往下看）。答案选择AB。【进一步研究】此题可用波函数定量地解。本题的波函数解法：因为时刻波方程是，波函数基本函数式是（因为本题波向左传播，所以式中负号改为正号）由图甲可知波长为8m，振幅为A=10cm,由图乙可知周期为T=0.20s，所以本题波函数可以写为==1\*GB3①A选项：Q点的振动方程是=2\*GB3②对=2\*GB3②式求导数得速度函数==3\*GB3③对=3\*GB3③式求导数得加速度函数1000=4\*GB3④将t=0.15s代入=4\*GB3④式得1000，是正最大，所以A正确；B选项：P点的振动方程是=5\*GB3⑤对=5\*GB3⑤式求导数得速度函数==6\*GB3⑥将t=0.15s代入=6\*GB3⑥式得=，为负，所以B正确；C选项：t=0.10s时的波函数可以写为=cm===7\*GB3⑦t=0.25s时的波函数可以写为=cm===8\*GB3⑧根据=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧两式，用电子计算机Excel分别画出t=0.10s时和t=0.25s时的图象如下图：从图可以看出，从t=0.10s到t=0.15s，该波的波形从y1变成y2，该波沿x轴负方向传播了6m，例如波峰从10到4，所以C错误。D选项：从上图可以看出，t=0.10s时刻，质点P（x=1）的位移为7cm，t=0.15s时刻，质点P（x=1）的位移为-7cm，因为t=0.10s时刻和t=0.25s时刻质点P的运动方向都是向上，所以t=0.10s到t=0.25s，质点P通过的路程为3+10+10+3cm=26cm，所以D错误。注意：此处算出了从t=0.10s到t=0.25s，质点P通过的路程，回答了同学的疑问。例4.在时刻，质点A开始做简谐运动，其振动图象如图乙所示。质点A振动的周期是▲s；时，质点A的运动沿轴的▲方向（填“正”或“负”）；质点B在波动的传播方向上与A相距16m，已知波的传播速度为2m/s，在时，质点B偏离平衡位置的位移是cm答案：（2）4正10解法1：图象法从振动图象可直接读出周期为4s，把图象延长，可以看出，时，质点A的运动方向沿轴的正方向。先求波长，所以B与A相距16m，为2个波长，波从A传播到B的时间为2个周期，即8，在时，质点B振动了个周期，所以偏离平衡位置的位移大小等于振幅A，是10cm。解法2：波函数法本题的波函数为，其中，4s,，所以波函数为，对于A，，当时，，当时，，所以当时，质点A的运动方向沿轴的正方向。对于B，，当时，。点评：本题考查了振动图象，振动方向，以及波的传播。重要的是波传播过程中时间与空间的对应关系，即每经过一个周期的时间，波传播一个波长。本题是逆向应用，即波传播2个波长，对应的时间是2个周期。例5.（1）图1为一简谐波在t=0时刻的波形图，介质中的质点P做简谐运动的表达式为y=Asin5t，求该波的速度，并画出t=0.3s时的波形图(至少画出一个波长)。【解析1】分析法（1）由简谐运动的表达式可知，所以，周期由波形图读出波长，代入波速公式得。t=0时刻质点P向上运动，故波沿x轴正方向传播。t=0.3s时波向右传播了，即，波峰由传播到，所以t=0.3s时的波形图如图2所示。【解析2】波函数法因为在t=0时刻，振源0点运动方向向下，所以波函数，已知p点，即当时，y=Asin5t，所以,。并且，所以，所以波速当t=0.3s时，，所以t=0.3s时的波形图如图2所示。例6.一列波长大于1m的横波沿着轴正方向传播，处在和的两质点、的振动图像如图所示。由此可知A．波长为mB．波速为C．末、两质点的位移相同D．末点的振动速度大于点的振动速度答案A【解析1】分析法，由于波沿x正方向传播，所以A先振动，又由于波长大于1m，所以，所以，，A对，波速，B错；由振动图像知，在3s末，、两质点的位移不相同，C错；1s末A点速度为零，B点速度最大，D错。【解析2】波函数法从图象知，A的振动方程为，B的振动方程为，因为A在前B在后，所以二者的相差是（不是）。根据波函数，对A，，对B，，所以有，解得，A正确。波速，所以B错误。CD判断方法同上。例7．一简谐振子沿轴振动，平衡位置在坐标原点。＝0时刻振子的位移＝-0．1m；＝时刻＝0．1m；＝4时刻＝0．1m。该振子的振幅和周期可能为(A．0．1m，B．0．1m，8C．0．2m，D．0．2m，8此为ACD)【解析】解法1：图象法。对A，如图1，知A正确。图1对B，如图2，知B错误，因，。图2对C，有两种可能情况：情况1，质点在时刻运动方向向上，如图3，正确。图3情况2。质点在时刻运动方向向下，如图4，正确。图4所以C正确。对D，情况1，质点在时刻运动方向向上，如图5，正确。图5情况2如图6，质点在时刻运动方向向下，因为，。所以不正确。图6综合以上两图，D也选，因为选可能的。所以本题选ACD。解法2：公式法即波函数法波函数在x一定的情况下变为质点的振动方程。对A，=,根据＝0时刻振子的位移＝-0．1m，振动方程为：，当＝时刻＝0．1m；当＝4时刻＝0．1m，A正确；对B，=,根据＝0时刻振子的位移＝-0．1m，振动方程为：，当＝时刻=0．05m；B错误；对C，=,根据A=0．2m及

＝0时刻振子的位移＝-0．1m，振动方程为（对应图3）：，当＝时刻＝0．1m；＝4时刻＝0．1m，正确；或者方程为（对应图4）m，当＝时刻＝0．1m；＝4时刻＝0．1m，也正确；所以C正确。对D，=，根据A=0．2m及＝0时刻振子的位移＝-0．1m，振动方程为：，当＝时刻=0．1m，成立；当＝时刻=0．1m，成立；或者振动方程为：，当＝时刻==-0．2m，题干要求=0．1m，不成立；当＝时刻=0．1m，成立；因为题目要求选可能的，所以D也可选；所以本题选ACD。解法3：用Excel作图法。对C，对应图3为图7，方程是：，图7从图7可以看出，当＝时刻＝0．1m；＝4时刻＝0．1m；对应图4为图8，方程是：，图8从图8可以看出，当＝时刻＝0．1m；＝4时刻＝0．1m；两图综合说明，C正确。对D，对应图5为图9，方程是：，图9从图9可以看出，当＝时刻＝0．1m；＝4时刻＝0．1m；对应图6为图10，方程是：，图10从图10可以看出，当＝时刻＝-0．2m；＝4时刻＝0．1m；因为凡可能者皆选，所以D也选。综合以上，本题选ACD。解法4：物理情境分析法对CD两项，设一弹簧振子，振幅A=0．2m，初始位置即时刻，在的A处，如图11所示。初速度指向O，则从A到平衡位置的O处，用时间为，从O到位移为的B处，用时间为，从B到位移为即振幅的C处，用时间为，从C到位移为的B处，用时间为，图11如图12所示。初速度指向D，则从A到位移为的D处，用时间为，从D回到A，用时间为，然后从A到平衡位置O处，用时间为，对于C，因为周期为，所以当＝时刻，即的时间内，弹簧振子从A经O、B．C又回到B，所以＝0．1m成立；当＝4时刻，即的时间即一个T又内，弹簧振子又回到B，所以＝0．1m成立；另一种情况，时刻，弹簧振子的初速度不是从A向O，而是从A向D，则当＝时刻，即的时间内，弹簧振子从A到D后，又经A．O到B，所以＝0．1m成立；所以C正确。对于D，因为周期为，所以当＝时刻，即的时间内，弹簧振子从A经O到B．所以＝0．1m成立；当＝4时刻，即的时间内，弹簧振子又经C回到B，所以＝0．1m也成立；另一种情况，时刻，弹簧振子的初速度不是从A向O，而是从A向D，则当＝时刻，即的时间内，弹簧振子只能从A到D，＝-0．2m，所以＝0．1m不成立；但当＝4时刻，即的时间内，弹簧振子从A到D后又经A．O到B，所以＝0．1m成立；虽然D项的两种情况中只有一种情况成立，但因为题干中是“该振子的振幅和周期可能为”所以D也可选正确。因此，本题答案为ACD。本题考查波的图象，出现非的整数倍的情况，难度：大。例7.一列横波沿水平绳传播，绳的一端在t＝0时开始做周期为T的简谐运动，经过时间t(T＜t＜T)，绳上某点位于平衡位置上方的最大位移处。则在2t时，该点位于平衡位置的(A)上方，且向上运动(B)上方，且向下运动(C)下方，且向上运动(D)下方，且向下运动【解析】波函数公式。为确定起见，我设波长，设,符合条件(T＜t＜T)），则，则分别得到和时刻的波函数：=用Excel作图如下，兰线表示t时刻的波形，红线表示2t时刻的波形。从图象可以看出，在时刻位于平衡位置上方的最大位移处的某点（），在时刻位于平衡位置的上方。由于它前面的质点在它的下面，所以该质点向上运动，所以A正确。【答案】A【点评】本题考查波的传播，难度：难例8.如图，a.b,c.d是均匀媒质中x轴上的四个质点.相邻两点的间距依次为2m、4m和6m，一列简谐横波以2m/s的波速沿x轴正向传播，在t=O时刻到达质点a处，质点a由平衡位置开始竖直向下运动，t=3s时a第一次到达最高点。下列说法正确的是(填正确答案标号。选对I个得3分，选对2个得4分，选对3个得6分。每选错I个扣3分，最低得分为0分)A．在t=6s时刻波恰好传到质点d处B．在t=5s时刻质点c恰好到达最高点C.质点b开始振动后，其振动周期为4sD.在4s<t<6s的时间间隔内质点c向上运动E.当质点d向下运动时，质点b一定向上运动【解析】A．在t=6s时刻波传播的距离，，A正确；B．用波函数，其中因为，所以，又,所以，将t=5s代入得t=5s时刻的波的方程，用Excel作出t=5s时刻的波的图象如下图从同图象可以看出，在t=5s时刻质点c（）恰好到达平衡位置，B错误。C．质点b开始振动后，其振动周期与a相等为4s，C正确D．用波函数将，，代入得质点C的振动方程为，用Excel作出质点C的振动图象如下图从同图象可以看出，在4s<t<6s的时间间隔内质点c向上运动，D正确。E．b点的振动方程是，d点的振动方程是,用Excel在同一坐标系中作出质点b和d的振动图象如下图（兰线为b,红线为d）从图象可以看出，当质点d向下运动时（例如从t=1到3），质点b不一定向上运动，所以E错误。综上所述，本题选ACD。例9.甲乙两列简谐横波在同一介质中分别沿轴正向和负向传播，波速均为，两列波在时的波形曲线如图所示求（=1\*romani）时，介质中偏离平衡位置位移为16的所有质点的坐标（=2\*romanii）从开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为的质点的时间【解答：原解法】（i）t=0时，在x=50cm处两列波的波峰相遇，该处质点偏离平衡位置的位移16cm.两列波的波峰相遇处的质点偏离平衡位置的位移均为16cm。从图线可以看出，甲，乙两列波长分别为，=1\*GB3①甲，乙两列波波峰的x坐标分别为，…=2\*GB3②,…=3\*GB3③由=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③式得，介质中偏离平衡位置位移为16cm的所有质点的x坐标为x=（50+300n）cm，，…=4\*GB3④【解析：波函数解法】写出两列波时的波函数如下：（）（）用Excel计算插入散点图，可得到与题图相同的图象，如下：增加，得到的是一条两列波叠加以后的图象，从图象可以看出，当时，两列波的位移都是8，叠加后的波的位移是16.那么，这样的点还有多少呢？把图象延长，得到如下的图象，从图象中可以看出：当…可以写出通式x=（50+300n）cm，，…两列波波峰与波峰相遇，叠加后，偏离平衡位置的位移为32cm。（ii）【原答案】只有两列波的波谷相遇处的质点的位移为-16cm.t=0时，两波波谷间的x坐标之差为=5\*GB3⑤式中，和均为整数。将=1\*GB3①式代入=5\*GB3⑤式得=6\*GB3⑥由于，均为整数，相向传播的波谷间的距离最小为=7\*GB3⑦从=0开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为-16cm的质点的时间为=8\*GB3⑧代入数值得=0.1s=9\*GB3⑨【波函数图象解法】实际上，从图象可以看出，当，甲波为波谷，当，乙波为波谷，二者相距最近，由于两列波向向传播，所以，时间【点评】本题考查两列波的叠加，难度：难。例10.一简谐横波沿水平绳向右传播，波速为v，周期为T，振幅为A。绳上两质点M、N的平衡位置相距3/4波长，N位于M右方。设向上为正，在t=0时M位移为+A/2，且向上运动；经时间t（t<T），M位移仍为+A/2，但向下运动，则（A）在t时刻，N恰好在波谷位置（B）在t时刻，N位移为负，速度向上（C）在t时刻，N位移为负，速度向下（D）在2t时刻，N位移为-A/2，速度向下【波函数解法】因为是选择题，原题只有答案C而没有解法。波函数设：振幅，波长，周期时的波函数为因为，所以在时刻的波函数是则在2t时刻，波函数是用电脑Excel作出3个波形图象，如下图，其中，兰线为时的波形图，红线为时的波形图，黄线为2时的波形图.从图象可以看出：在t时刻，N不在波谷位置；在t时刻，N位移为负，速度向下，在2t时刻，N位移为0，速度向上。所以答案为C.波函数是解决复杂、疑难的有关波的问题的利器，屡试不爽。大家知道，小学算术应用题难，学会代数就不难；初中平面几何难，学会解析几何就不难；同样，高中物理振动与波题难，学会波函数就不难了。例11.由波源S形成的简谐横波在均匀介质中向左、右传播。波源振动的频率为20Hz，波速为16m/s。已知介质中P、Q两质点位于波源S的两侧，且P、Q和S的平衡位置在一条直线上，P、Q的平衡位置到S的平衡位置之间的距离分别为15.8m、14.6m，P、Q开始振动后，下列判断正确的是_____。（填正确答案标号。选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分。每选错1个扣3分，最低得分为0分）A．P、Q两质点运动的方向始终相同B．P、Q两质点运动的方向始终相反C．当S恰好通过平衡位置时，P、Q两点也正好通过平衡位置D．当S恰好通过平衡位置向上运动时，P在波峰E．当S恰好通过平衡位置向下运动时，Q在波峰【解析】根据题意信息，，根据，得波长为找P点关于S点的对称点P’,根据对称性可知P’和P的振动情况完全相同，P’Q两点相距为半波长的整数倍，所以两点为反相点，故P’Q两点振动方向始终相反，则PQ两点振动方向始终相反，A错误B正确；P点距离S点，当S恰好通过平衡位置向上振动时，P点在波峰，Q点相距S点，，当S恰好通过平衡位置向下振动时，Q点在波峰，DE正确。（以上的“解析”，不画图象，你信服吗？）【易错点】P、Q的平衡位置之间的距离为15.8+14.6=20.4cm，为个波长，所以P、Q两质点运动的方向始终相反，则B正确，A错误。错误原因是P、Q在波源的两侧而不是同侧。【用波函数和图象研究】当S恰好通过平衡位置向上运动时，波函数：Y=SIN(2*3.1415926*(X+1.6)/0.8)()Y=-SIN(2*3.1415926*X/0.8)()波的图象如下：从图象可以看出，P(设x=1.4，位置与相同)在波峰。当S恰好通过平衡位置向下运动时，波函数：Y=-SIN(2*3.1415926*(X+1.6)/0.8)()Y=SIN(2*3.1415926*X/0.8)()波的图象如下：从图象可以看出，Q(设x=-1，因为位置与同相)在波峰。从以上两个图象都可以看出，P、Q两质点运动的方向始终相反而不是相同，A错误，B正确。并且当S恰好通过平衡位置时，P、Q两点都不通过平衡位置，C错误。【答案】BDE【点评】本题考查机械波的传播，难度：中等。例12.甲、乙两列横波在同一介质中分别从波源M、N两点沿x轴相向传播，波速为2m/s，振幅相同；某时刻的图像如图所示。则（A）甲乙两波的起振方向相反（B）甲乙两波的频率之比为3:2（C）再经过3s，平衡位置在x=7m处的质点振动方向向下（D）再经过3s，两波源间（不含波源）有5个质点位移为零【解析】据题意，甲波向右传播，乙波向左传播，起振方向都向上，A正确；从图可以看出，，；根据，得，，所以甲乙两波的频率之比为3:2，B正确；再经过3s，甲波波谷到达x=7m处，乙波是平衡位置与波峰之间某振动到达x=7m处，所以，该质点应该向上振动（语焉不详），C错误；此时，除了波源还有x=9m，x=6-7m，x=6m，x=5-6m，x=2-3m处质点位移为0（语焉不详且不太准确），D正确。【答案】ABD（这最后一问的“解析”，不画图象，你更不信服吧！这几个数据从何而来？）【用波函数和图象研究】再经过3s时的波函数（M-N之间即0-12之间）如下：Y甲=SIN(2*3.1415926*X/4),()Y乙=SIN(2*3.1415926*X/6),()Y=Y甲+Y乙,()再经过3s时的波形图像（M-N之间即0-12之间）如下从图像可以看出，再经过3s，平衡位置在x=7m处的质点（黄色）在平衡位置以下。从以上图像还可以看出，再经过3s，两波源间（不含波源）有5个质点位移为零（黄线与x轴的交点）处，分别为x=9m，x=7-7.5m，x=6m，x=4.5-5m，x=2-2.5m处，（有2处与“解析”不同），所以D正确。为了进一步理解x=7的点的运动趋势，我再画再过0.5s后的波形图象，先写出波函数。因为，所以甲波向右传播1m，乙波向左传播1m，Y甲=SIN(2*3.1415926*(X-1)/4)，()Y乙=SIN(2*3.1415926*(X+1)/6)，（）再过0.5s后的波形图象如下两个图象对比可以得到，在t=3s时，平衡位置为x=7的质点是向上运动的。这里需要指出的是，在两个波合成的波中，不能像一个波那样，按照“上坡下行，下坡上行”的土办法判断质点的运动方向了。【答案】ABD【点评】本题考查机械波的传播，质点的振动，难度：较难通过波的前沿质点振动方向判断波的起振方向，根据波长、波速与频率关系计算两列波的频率，通过平移法画出再经过3s时的波形，再进行分析问题。例13.在均匀介质中坐标原点O处有一波源做简谐运动，其表达式为，它在介质中形成的简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻波刚好传播到x=12m处，波形图像如图所示，则A、此后再经过6s该波传播到x=24m处B、M点在此后第3s末的振动方向沿y轴正方向C、波源开始振动时的运动方向沿y轴负方向D、此后M点第一次到达y=-3m处所需时间是2s【解析】波的周期，波长，波速，则再经过6s,波传播的距离为x=vt=12m,故该波传到x=24m处，选项A正确；M点在此时振动方向向下，则第3秒末，即经过了0.75T,该点的振动方向沿y轴正向（语焉不详），选项B正确；因波传到x=12m处时，（波前）质点向y轴正向振动，故波源开始振动时的运动方向沿y轴正向，C错；M点第一次到达y=-3cm位置时，振动的时间为（为什么？语焉不详）D错误；选AB.【用波函数和图象研究】某时刻（t=0）的波函数为Y0=5*SIN(3.1415926*X/4),()t=3s时刻的波函数为Y3=5*SIN(3.1415926*2*(X/8-3/4)),()t=0（兰线）和t=3s（红线）的波形图：从图象可以看出，M点在此后第3s末的位置约在y=4m处，其振动方向沿y轴正方向（下坡上行）.M点的振动方程如下，因为当时，，所以，，即或，则或1.58s所以振动方程为Y=5*SIN(3.1415926*2*(t+1.3)/4) 或Y=5*SIN(3.1415926*2*(t+1.6)/4)M点的振动图象分别如下图：从以上图象可以看出，此后M点第一次到达y=-3m处所需时间约是2s，但是，次图象表明，在t=0s时刻，M点是向上运动的，但原题，M点是向下运动的（见上图之波形图）.这两个图象判断M点的运动方向，也体现了振动图像与波形图的不同，在振动图像中，是“上坡上行，下坡下行”，波形图中是“沿波的传播方向看，上坡下行，下坡上行”，可见，对老师教的“解题经验”，不能死记硬背，要灵活应用。例14.如图1，在xoy平面内有一列沿x轴传播的简谐横波，频率为2.5Hz。在t=0时，P点位于平衡位置且速度向下，Q点位于平衡位置下方的最大位移处，则在t=0.35s时，P、Q两质点的（）A.位移大小相等，方向相反B.速度大小相等，方向相同C.速度大小相等，方向相反D.加速度大小相等，方向相反图1解法1.图象法（原答案解法），先画出t=0时的波形图象如图2之实线所示。图2，t=0.35s=,再画出t=0.35s时的波形图象如图2之虚线所示（与的波形图相同）。根据图象可知，ABD正确。解法2.公式法（波函数法和微分法）：根据已知条件，写出t=0时的波动方程（P点x=0，y=0,Q点x=，y=-A），根据在t=0时，P点速度向下，进一步写出波函数为，将代入，得，当t=0.35s=时的方程为，P点坐标为（0,0.707A），Q点坐标为（,-0.707A）,所以位移大小相等，方向相反，A正确；速度是位移对时间的微分，所以=A，其中，令,则P点xP=0，vP=-0.707,Q点xQ=，vQ=-0.707,所以速度大小相等，方向相同，即B正确，C错误；加速度是速度对时间的微分，所以=A，其中，令,则P点xP=0，aP=-0.707,Q点xQ=，aQ=0.707,所以加速度大小相等，方向相反，即D正确；所以本题选ABD。解法3.用Excel作图法（公式法和图象法的综合应用）图3是t=0和t=0.35s时的位移图象（系列1即蓝线是t=0时的位移图象，系列2即红线是t=0.35s时的位移图象），图3从图象可以看出，在t=0时，P点（x=0）的位移为0（y=0）且质点的运动方向向下（上坡），Q点（x=1.5即，因为）的位移为-A（y=-1，A=1）,符合题意。在t=0.35时，P点（x=0）的位移为0.7A（y=0.7），Q点（x=1.5即，因为）的位移为-0.7A（y=-0.7，A=1），所以P点和Q点在t=0.35s时的位移大小相等，方向相反，A正确。表1与图3对应的数据表000.7071070.1250.3826830.923880.250.70710710.3750.923880.923880.510.7071070.6250.923880.3826830.750.707107-5.4E-080.8750.382683-0.3826815.36E-08-0.707111.125-0.38268-0.923881.25-0.70711-11.375-0.92388-0.923881.5-1-0.707111.625-0.92388-0.382681.75-0.7071101.875-0.382680.3826832-1.1E-070.7071072.1250.3826830.92388与表1对应的公式B1=SIN(3.1415926*A1)C1=SIN(3.1415926*(A1-14/8))图4是t=0.35s时的位移、速度、加速度图象（系列1即蓝线是t=0.35时的位移图象，系列2即红线是t=0.35s时的速度图象，系列3即黄线是t=0.35s时的加速度图象）图4从上图可以看出，P点和Q点在t=0.35s时的位移大小相等，方向相反（xP=0.7,xQ=-0.7）,P点和Q点在t=0.35s时的速度大小相等，方向相同（vP=0.7,vQ=0.7）,P点和Q点在t=0.35s时的加速度大小相等，方向相反（aP=-0.7,aQ=0.7）,所以答案为ABD。表2与图4对应的数据表00.707107-0.707106715-0.707110.1250.92388-0.382683352-0.923880.2518.03847E-08-10.3750.923880.3826835-0.923880.50.7071070.707106829-0.707110.6250.3826830.923879556-0.382680.75-5.4E-0815.36E-080.875-0.382680.9238795150.3826831-0.707110.7071067530.7071071.125-0.923880.3826834010.923881.25-1-2.67949E-0811.375-0.92388-0.3826834510.923881.5-0.70711-0.7071067910.7071071.625-0.38268-0.9238795350.3826831.750-101.8750.382683-0.923879535-0.3826820.707107-0.707106791-0.70711与表2对应的方程：B1=SIN(3.1415926*(A1-14/8))C1=-COS(3.1415926*(A1-14/8))D1=-SIN(3.1415926*(A1-14/8))三种方法之比较：图象法很直观，但不太精确，公式法较精确，但不直观，Excel作图法既直观又精确，但比较麻烦。关于名牌大学自主招生考试题与高考题及竞赛题的比较：难度：名牌大学自主招生考试题在高考题与竞赛题之间，例如关于波动问题，高考题一般是时间是周期的四分之一的整数倍（最近两年有的省跨越了这个界限），所以一般用图象法可解，名牌大学自主招生考试题中时间不一定是周期的四分之一的整数倍，所以仅用图象法没有十分把握，因为不能精确计算，本题还好，时间=,可以估计出来。例15.从两个波源发出的两列振幅相同、频率均为5Hz的简谐横波，分别沿x轴正、负方向传播，在某一时刻到达A、B点，如图中实线、虚线所示。两列波的波速均为10m/s。求（i）质点P、O开始振动的时刻之差；（ii）再经过半个周期后，两列波在x=1m和x=5m之间引起的合振动振幅极大和极小的质点的x坐标。【解答】（i）根据波速公式，得，根据波传播过程中的时间和空间的关系，即每经过1个周期，传播一个波长。以O点为波源的波（为方便，称为波1,下同）向右传播到A点，2个波长，所以时间为2个周期；以P点为波源的波（为方便，称为波2,下同）向左传播到B点，个波长，所以时间为个周期；所以质点P、O开始振动的时刻之差为，波2比波1晚。（ii）波函数法波函数公式本题设以O点为波源向右传播的波为波1，以,P点为波源向左传播的波为波2，则对于x=1，2，3，4，5的点，因为，所以它们的合振动方程是，合振幅为分振动的振幅的2倍，是极大值。对于x=1.5，2.5，3,5，4.5，5.5的点，因为，所以它们的合振动振幅为0，是极小值。本题波函数法用到的数学公式：，，记忆方法是：奇变偶不变，符号看象限，也可以用移动坐标轴的方法，“+”号向左移，“-”号向右移。，。注意：前加后减，前减后加。例16.一列简谐横波在t=时的波形图如图（a）所示，P、Q是介质中的两个质点，图（b）是质点Q的振动图像。求（i）波速及波的传播方向；（ii）质点Q的平衡位置的x坐标。【传统方法】34.（2）（i）由图（a）可以看出，该波的波长为①由图（b）可以看出，周期为T=2s②波速为③由图（b）知，当时，Q点向上运动，结合图（a）可得，波沿x轴负方向传播。（ii）设质点P、Q平衡位置的x坐标分别为xP、xQ。由图（a）知，x=0处，因此④由图（b）