江苏省连云港市四校2021-2022学年高二下学期期中数学试题含解析

2021〜2022学年高二第二学期期中考试

数学试题

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.

1.按序给出。为两类元素，4类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，匕类中的

元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.在两类中各取1个元素组成1个

排列，则。类中选取的元素排在首位，匕类中选取的元素排在末位的排列的个数为()

A.240B.200C.120D.60

【答案】C

【解析】

【分析】根据乘法计数原理即可求解.

【详解】解：从。类中取1个元素有10种取法，从。类中取1个元素有12种取法，

则共有10x12=120种取法.

故选：C.

2.若卜4=4,忖=4,<>=彳，则a/=()

A.4B.4GC.8D.873

【答案】C

【解析】

【分析】由数量积的定义计算.

［详解］a•〃=W忖cos<a,b>=4x4xcosy=8.

故选：C.

3.己知A与B是两个事件，P(B)=-,P(AB)=-,则尸(A|8)等于()

48

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件概率公式可直接求得.

1

【详解】由条件概率的计算公式，可得P（A|B）=£舒=：=；.

4

故选：D

4.从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教

师，则不同的选取方案的种数是（）

A.20B.55C.30D.25

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从2名教师和5名学生中选出3人的选法，再计算其中“入选

的3人没有教师”的选法数目，分析可得答案.

【详解】解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有C；=35种选法，

若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有=10种，

则有35-10=25种不同的选取方案，

故选：D.

5.已知空间中非零向量”，b，且%|=2,忖=3,<a,b>=60°,则的值为（）.

A.797B.97C.病D.61

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量数量积的定义可得"一3dH2a_30=61,进而求出n一30的值.

【详解】V|2a-3d=（2a-34=4）+9片—12ad=4x4+9x9-121小Wcos60°

=97-12x2x3x2=61,

2

rr

.取-3万卜府，

故选：C.

6.二项式（2x—丁了的展开式中第3项的二项式系数为（）

A.-56B.56C.-28D.28

【答案】D

【解析】

【分析】二项式展开式第什1项的二项式系数为C,"进而得到答案.

【详解】二项式展开式第三项的二项式系数为《=28.

故选：D.

7.在三棱锥P-A3。中，CP、CA.CB两两垂直，AC=CB=1,PC=2,如图，建立空间直角

坐标系，则下列向量中是平面Q48的法向量的是()

B.(1,72,1)

C.(1,1,1)D.(2,-2,1)

【答案】A

【解析】

n-PA-0

【分析】设平面A48的一个法向量为”=(x,y,l)，利用，,求出x、y的值，可得出向量〃的

n-AB=O

坐标，然后选出与“共线的向量坐标即可.

【详解】PA=(l,0,-2),AB=(—U,O)，设平面PA8的一个法向量为“=(x,y/)，

n-PA=Qx-2=0x=21

由，则《解得＜cn=(2,2,I).

n-AB=OT+y=0卜=2

又=因此，平面Q钻的一个法向量为

故选：A.

【点睛】本题考查平面法向量的计算，熟悉法向量的计算方法是解题的关键，考查计算能力，属于基础

题.

8.在空间直角坐标系中，定义：平面。的一般方程为Ar+B），+Cz+D=O（A,B,C,DeR,且A,

B,C不同时为零），点尸（事,为/0）到平面a的距离°」今,则在底面边长与高都

为2的正四棱锥P-ABC。中，底面中心。到侧面Q46的距离d等于（）

A.好B.—C.2D.5

55

【答案】B

【解析】

【分析】欲求底面中心。到侧面的距离，先利用建立空间直角坐标系求出点4B,P的坐标，及侧面的

方程，最后利用所给公式计算即可.

【详解】以底面中心。为原点，建立空间直角坐标系。孙z,如图所示:

则<9(0,0,0),41,1,0),3(-1,1,0),P(0,0,2),

设平面A钻的方程为Ar+By+Cz+O=0,将点A,B,P的坐标代入计算得A=0,B=-D,

C=-^D,所以方程可化为—。y-；Dz+Q=0,即2y+z-2=0,

|2x0+0-2|2A/5

所以d=J~'

一/。2-2

故选：B.

【点睛】本小题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平

面的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.

二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，将正确选项涂在

等犀卡.

9.若G；=Cji，则正整数X的值是（）

A.1B.4C.6D.8

【答案】AC

【解析】

【分析】由组合数的性质，直接计算结果.

【详解】由组合数的性质可知x=2x—l或x+2x-l=17,解得：x=l或x=6.

故选：AC

10.对于m,〃eN*，下列排列组合数结论正确的是（）

A.加玛=〃£詈B.C：+l=C；r'+C：C.A：=C；+A；D.A鬻=（m+l）A：

【答案】AB

【解析】

【分析】对于A、D：分别计算左右两侧，即可判断是否成立；

对于B：由组合数的性质直接判断；

对于C：由C：'H0直接判断；

n\n\

【详解】对于A：加C〃=m--------1=-—-----------,

（九一1）।）

〃C3'=n八/、=7~~公一V；，所以〃=故A正确；

对于B：由组合数的性质直接得到CM=C；；-'+C：.故B正确；

对于C：因为C；'H0,所以A，HC；：+A；.故C错误；

对于D：A：：；J",：,而（m+12：=（优+1）厂〃！\,所以人鬻。（加+1用〉故D错误.

[n—my.[n-m）].、

故选：AB

H.给出下列命题，其中正确的有（）

A.空间任意三个向量都可以作为一个基底

B.已知向量。//〃，则a，6与任何向量都不能构成空间的一个基底

c.A.B,M,N是空间中的四个点，若84，BM，BN不能构成空间的一个基底，那么A,B,

M,N共面

D.已知｛。,仇c｝是空间的一个基底，若加=a+c,则｛"，仇相｝也是空间的一个基底

【答案】BCD

【解析】

【分析】作为空间中基底的性质，结合各选项的描述判断正误即可.

【详解】A：空间中共面的三个向量不能作为基底，故错误；

B：向量a//b，即a，匕可平移到一条直线上，它们与其它任何向量都会共面，故不能作为基底，正

确；

C：BA，BM>8N不能构成空间的一个基底，即它们共面，则A，B,M,N共面，正确；

D：是空间的介基底，即它们不共面，由〃?=a+c即共面，故〃与机,a不共面，贝U

词是空间的一个基底，正确.

故选：BCD

12.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,

分别以4,4表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取

出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（）

2

A.两两互斥B.P（例4）=§

9

C.事件8与事件4相互独立D.P（B）=一

''14

【答案】AD

【解析】

【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】因为每次取一球，所以4,4是两两互斥的事件，故A项正确；

因为p(4)=p(4)=；,尸=

故B项错误;

又尸（814）=*^=；，所以P（8）=P（8A）+P（842）=gx；+gx^=2,故D项正确.

从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件

A,不相互独立，故C项错误.

故选：AD

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13.若（2+ar），的展开式中第4项的系数是160,则。=,

【答案】1

【解析】

【分析】根据给定的二项式直接求出第4项，结合已知系数计算作答.

【详解】(2+0X)6的展开式中的第4项为=8/c江3=160/丁，

依题意，160/=160，解得。=1,

所以a=l.

故答案为：1

14.已知3=(1,0,1),。=(%1,2),§.a-b=3>则向量a与〃的夹角为.

n

【答案】m

6

【解析】

【分析】利用空间向量数量积的坐标运算求出X的值，可求得cos<a/>,结合<a,6>的取值范围可

求得<a,石>的值.

【详解】由已知条件可得a力=》+2=3,解得x=l，所以，.=4+12+22=底,

■'a-b35/3

COS<ci,b>=1--j—i-r=—f=----j==---

|a|-|^|5/2x^/62，

zr

0<<a,b><7i因此，<“，〃>=一.

6

71

故答案为：—.

6

15.已知Q=(2,—1,3),人=(—1,4,—2),c=(3,2,2),若a，b，c三向量共面，则实数4等于

【答案】4

【解析】

【分析】依题意设c=+列方程组能求出结果.

【详解】解：。=(2,-1,3),力=(一1,4,-2),。=(3,2,2),且。，〃，己三向量共面,

••设c=ma+nb，

/.(3,2,4)=(2〃？一九，-m+4/i,3/n-2n),

2m一〃二3

/.<-m+4〃=2,

3m-2〃=4

解得6=2,n=\,4=4.

故答案为：4.

16.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受

各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩''吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台

上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为.(用数字作答)

【答案】144

【解析】

【分析】根据间隔排列知两端均为“冰墩墩”，可以先排

【详解】先排“冰墩墩”中间有三个空，再排“雪容融”，则阀=144.

故答案为：144.

四、解答题：共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说

明、证明过程或演算步骤.

17.用0,1,2,3,…，9十个数字可组成多少个不同的

(1)三位数？

(2)无重复数字的三位数？

(3)小于500且没有重复数字的自然数？

【答案】(1)900(2)648

(3)379

【解析】

【分析】(1)根据分步乘法计数原理计算出正确答案.

(2)根据分步乘法计数原理计算出正确答案.

(3)根据分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.

【小问1详解】

由于0不能在百位，故百位上数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法.所以不同的三位数

共有9x10x10=900个.

【小问2详解】

百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个

数字中选取，所以共有9x9x8=648个无重复数字的三位数.

【小问3详解】

满足条件的一位自然数有10个，两位自然数有9x9=81个，三位自然数有4x9x8=288个，由分类加法

计数原理知共有10+81+288=379个小于500且无重复数字的自然数.

18.已知空间三点A(—2,0,2),8(—1,1,2),C(—3,0,4),设&=48,b=AC>

(1)求a和b夹角余弦值；

(2)设卜|=3,c〃BC，求c的坐标.

【答案】(1)_叵.

10

(2)。=(一2,—1,2)或(2,1,—2).

【解析】

【分析】(1)利用空间向量的坐标表示求8的坐标，再由向量夹角的坐标表示求a和力夹角的余弦

值；

(2)由向量平行有c=且/leR，写出关于2的c坐标，再由空间向量模的坐标表示列方程求参

数，即可知c的坐标.

【小问1详解】

由题设，a=(1,1,0),/?=(-1,0,2),

,,a-b-1VlO

••cos<>=-----=-产—尸=-------.

\a\\b\V2xV510

【小问2详解】

由题设，3。=(一2,—1,2),由c//6C，即c=/lBC且几€火，

Ac=(-2/L,-A,2A),则卜|=3"|=3,即2=±1,

2,—1,2)或(2,1,-2).

7

19.已知(l-2x)7=%+4]%+。2*2-1---F«7x,求：

(1)---的值；

(2)%+4+%+。6及4+%+%+%的值；

(3)各项二项式系数和.

【答案】(1)%+4]斗---F=-1；(2)%+a2+/+%=1093,<21+a3+a5+ci-j——1094；(3)128.

【解析】

【分析】令/'(X)=(l-2x)7=%+4X+/X2H----F%/,利用赋值法可得：

(1)%+q+・・・+%=/(l)；

/⑴+/⑴一〃一1)

(2)。0+%+%+。6=—''2'―L，〃]+々3+々5+。7=-'02'~~;

(3)各项二项式的系数和为少.

进而可得解.

【详解】令=(l-2x)，=%+4%+〃2%2H-----

7

(1)4+qH----1-«7=/(1)=(1-2)=—1；

⑵由赋值法可得[〃1)=%+%+出+%+%+%+%+%=(1-2)7-

f(―1)=%—4+%—。3+〃4—〃5+〃6—%=(1+2)=2187

所以，4+/+4+4=〃1)；/(T)=T+；187-]093,

/(1)-/(-1)-1-2187

=-1094；

%+/+%+%F―T'

（3）该二项式展开式中各项系数和为27=128.

【点睛】本题考查利用赋值法求解各项系数和以及奇数项、偶数项的系数和、二项式系数和，考查计算

能力，属于中等题.

20.某机构对某品牌机电产品进行了质量调查，下面是消费者关于质量投诉的数据：

擦伤凹痕外观合计

保质期内18%13%32%63%

保质期后12%22%3%37%

合计30%35%35%10()%

（1）如果该品牌机电产品收到一个消费者投诉，那么投诉的原因不是凹痕的概率是多少？

（2）如果该品牌机电产品收到一个消费者投诉，旦投诉发生在保质期内，那么投诉的原因是产品外观的

概率是多少？

（3）已知投诉发生在保质期后，投诉的原因是产品外观的概率是多少？

（4）若事件A：投诉的原因是产品外观，事件8：投诉发生在保质期内，则A和8是独立事件吗？

【答案】（1）—

（4）不是相互独立事件.

【解析】

【分析】（1）根据条件概率公式直接计算；

（2）根据条件概率公式直接计算；

（3）根据条件概率公式直接计算；

（4）由独立事件概率乘法公式直接判断.

小问1详解】

13

解：由已知得投诉的原因不是凹痕的概率为1-35%=65%=—；

20

【小问2详解】

32

解：由已知得投诉发生在保质期内，投诉的原因是产品外观的概率为32%+63%=一；

63

【小问3详解】

3

解：投诉发生在保质期后，投诉的原因是产品外观的概率为3%+37%=，；

37

【小问4详解】

解：由已知得尸（A）=35%,P（B）=65%,P（4?）=32%，P（A