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文档简介
2021〜2022学年高二第二学期期中考试
数学试题
一、单项选择题:共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.
1.按序给出。为两类元素,4类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸,匕类中的
元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.在两类中各取1个元素组成1个
排列,则。类中选取的元素排在首位,匕类中选取的元素排在末位的排列的个数为()
A.240B.200C.120D.60
【答案】C
【解析】
【分析】根据乘法计数原理即可求解.
【详解】解:从。类中取1个元素有10种取法,从。类中取1个元素有12种取法,
则共有10x12=120种取法.
故选:C.
2.若卜4=4,忖=4,<>=彳,则a/=()
A.4B.4GC.8D.873
【答案】C
【解析】
【分析】由数量积的定义计算.
[详解]a•〃=W忖cos<a,b>=4x4xcosy=8.
故选:C.
3.己知A与B是两个事件,P(B)=-,P(AB)=-,则尸(A|8)等于()
48
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件概率公式可直接求得.
1
【详解】由条件概率的计算公式,可得P(A|B)=£舒=:=;.
4
故选:D
4.从2名教师和5名学生中,选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教
师,则不同的选取方案的种数是()
A.20B.55C.30D.25
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意,用间接法分析:先计算从2名教师和5名学生中选出3人的选法,再计算其中“入选
的3人没有教师”的选法数目,分析可得答案.
【详解】解:根据题意,从2名教师和5名学生中,选出3人,有C;=35种选法,
若入选的3人没有教师,即全部为学生的选法有=10种,
则有35-10=25种不同的选取方案,
故选:D.
5.已知空间中非零向量”,b,且%|=2,忖=3,<a,b>=60°,则的值为().
A.797B.97C.病D.61
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的定义可得"一3dH2a_30=61,进而求出n一30的值.
【详解】V|2a-3d=(2a-34=4)+9片—12ad=4x4+9x9-121小Wcos60°
=97-12x2x3x2=61,
2
rr
.取-3万卜府,
故选:C.
6.二项式(2x—丁了的展开式中第3项的二项式系数为()
A.-56B.56C.-28D.28
【答案】D
【解析】
【分析】二项式展开式第什1项的二项式系数为C,"进而得到答案.
【详解】二项式展开式第三项的二项式系数为《=28.
故选:D.
7.在三棱锥P-A3。中,CP、CA.CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,如图,建立空间直角
坐标系,则下列向量中是平面Q48的法向量的是()
B.(1,72,1)
C.(1,1,1)D.(2,-2,1)
【答案】A
【解析】
n-PA-0
【分析】设平面A48的一个法向量为”=(x,y,l),利用,,求出x、y的值,可得出向量〃的
n-AB=O
坐标,然后选出与“共线的向量坐标即可.
【详解】PA=(l,0,-2),AB=(—U,O),设平面PA8的一个法向量为“=(x,y/),
n-PA=Qx-2=0x=21
由,则《解得<cn=(2,2,I).
n-AB=OT+y=0卜=2
又=因此,平面Q钻的一个法向量为
故选:A.
【点睛】本题考查平面法向量的计算,熟悉法向量的计算方法是解题的关键,考查计算能力,属于基础
题.
8.在空间直角坐标系中,定义:平面。的一般方程为Ar+B),+Cz+D=O(A,B,C,DeR,且A,
B,C不同时为零),点尸(事,为/0)到平面a的距离°」今,则在底面边长与高都
为2的正四棱锥P-ABC。中,底面中心。到侧面Q46的距离d等于()
A.好B.—C.2D.5
55
【答案】B
【解析】
【分析】欲求底面中心。到侧面的距离,先利用建立空间直角坐标系求出点4B,P的坐标,及侧面的
方程,最后利用所给公式计算即可.
【详解】以底面中心。为原点,建立空间直角坐标系。孙z,如图所示:
则<9(0,0,0),41,1,0),3(-1,1,0),P(0,0,2),
设平面A钻的方程为Ar+By+Cz+O=0,将点A,B,P的坐标代入计算得A=0,B=-D,
C=-^D,所以方程可化为—。y-;Dz+Q=0,即2y+z-2=0,
|2x0+0-2|2A/5
所以d=J~'
一/。2-2
故选:B.
【点睛】本小题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平
面的距离等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
二、多项选择题:共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分,将正确选项涂在
等犀卡.
9.若G;=Cji,则正整数X的值是()
A.1B.4C.6D.8
【答案】AC
【解析】
【分析】由组合数的性质,直接计算结果.
【详解】由组合数的性质可知x=2x—l或x+2x-l=17,解得:x=l或x=6.
故选:AC
10.对于m,〃eN*,下列排列组合数结论正确的是()
A.加玛=〃£詈B.C:+l=C;r'+C:C.A:=C;+A;D.A鬻=(m+l)A:
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A、D:分别计算左右两侧,即可判断是否成立;
对于B:由组合数的性质直接判断;
对于C:由C:'H0直接判断;
n\n\
【详解】对于A:加C〃=m--------1=-—-----------,
(九一1)।)
〃C3'=n八/、=7~~公一V;,所以〃=故A正确;
对于B:由组合数的性质直接得到CM=C;;-'+C:.故B正确;
对于C:因为C;'H0,所以A,HC;:+A;.故C错误;
对于D:A::;J",:,而(m+12:=(优+1)厂〃!\,所以人鬻。(加+1用〉故D错误.
[n—my.[n-m)].、
故选:AB
H.给出下列命题,其中正确的有()
A.空间任意三个向量都可以作为一个基底
B.已知向量。//〃,则a,6与任何向量都不能构成空间的一个基底
c.A.B,M,N是空间中的四个点,若84,BM,BN不能构成空间的一个基底,那么A,B,
M,N共面
D.已知{。,仇c}是空间的一个基底,若加=a+c,则{",仇相}也是空间的一个基底
【答案】BCD
【解析】
【分析】作为空间中基底的性质,结合各选项的描述判断正误即可.
【详解】A:空间中共面的三个向量不能作为基底,故错误;
B:向量a//b,即a,匕可平移到一条直线上,它们与其它任何向量都会共面,故不能作为基底,正
确;
C:BA,BM>8N不能构成空间的一个基底,即它们共面,则A,B,M,N共面,正确;
D:是空间的介基底,即它们不共面,由〃?=a+c即共面,故〃与机,a不共面,贝U
词是空间的一个基底,正确.
故选:BCD
12.甲箱中有3个白球和3个黑球,乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,
分别以4,4表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B表示从乙箱中取
出的球是黑球的事件,则下列结论正确的是()
2
A.两两互斥B.P(例4)=§
9
C.事件8与事件4相互独立D.P(B)=一
''14
【答案】AD
【解析】
【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识,逐一分析选项,即可得答案.
【详解】因为每次取一球,所以4,4是两两互斥的事件,故A项正确;
因为p(4)=p(4)=;,尸=
故B项错误;
又尸(814)=*^=;,所以P(8)=P(8A)+P(842)=gx;+gx^=2,故D项正确.
从甲箱中取出黑球,放入乙箱中,则乙箱中黑球变为5个,取出黑球概率发生变化,所以事件B与事件
A,不相互独立,故C项错误.
故选:AD
三、填空题:共4小题,每小题5分,共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13.若(2+ar),的展开式中第4项的系数是160,则。=,
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定的二项式直接求出第4项,结合已知系数计算作答.
【详解】(2+0X)6的展开式中的第4项为=8/c江3=160/丁,
依题意,160/=160,解得。=1,
所以a=l.
故答案为:1
14.已知3=(1,0,1),。=(%1,2),§.a-b=3>则向量a与〃的夹角为.
n
【答案】m
6
【解析】
【分析】利用空间向量数量积的坐标运算求出X的值,可求得cos<a/>,结合<a,6>的取值范围可
求得<a,石>的值.
【详解】由已知条件可得a力=》+2=3,解得x=l,所以,.=4+12+22=底,
■'a-b35/3
COS<ci,b>=1--j—i-r=—f=----j==---
|a|-|^|5/2x^/62,
zr
0<<a,b><7i因此,<“,〃>=一.
6
71
故答案为:—.
6
15.已知Q=(2,—1,3),人=(—1,4,—2),c=(3,2,2),若a,b,c三向量共面,则实数4等于
【答案】4
【解析】
【分析】依题意设c=+列方程组能求出结果.
【详解】解:。=(2,-1,3),力=(一1,4,-2),。=(3,2,2),且。,〃,己三向量共面,
••设c=ma+nb,
/.(3,2,4)=(2〃?一九,-m+4/i,3/n-2n),
2m一〃二3
/.<-m+4〃=2,
3m-2〃=4
解得6=2,n=\,4=4.
故答案为:4.
16.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”,有着可爱的外表和丰富的寓意,深受
各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩''吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台
上,要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列,则不同的排列方法种数为.(用数字作答)
【答案】144
【解析】
【分析】根据间隔排列知两端均为“冰墩墩”,可以先排
【详解】先排“冰墩墩”中间有三个空,再排“雪容融”,则阀=144.
故答案为:144.
四、解答题:共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤.
17.用0,1,2,3,…,9十个数字可组成多少个不同的
(1)三位数?
(2)无重复数字的三位数?
(3)小于500且没有重复数字的自然数?
【答案】(1)900(2)648
(3)379
【解析】
【分析】(1)根据分步乘法计数原理计算出正确答案.
(2)根据分步乘法计数原理计算出正确答案.
(3)根据分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.
【小问1详解】
由于0不能在百位,故百位上数字有9种选法,十位与个位上的数字均有10种选法.所以不同的三位数
共有9x10x10=900个.
【小问2详解】
百位上的数字有9种选法,十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法,个位上的数字应从剩余8个
数字中选取,所以共有9x9x8=648个无重复数字的三位数.
【小问3详解】
满足条件的一位自然数有10个,两位自然数有9x9=81个,三位自然数有4x9x8=288个,由分类加法
计数原理知共有10+81+288=379个小于500且无重复数字的自然数.
18.已知空间三点A(—2,0,2),8(—1,1,2),C(—3,0,4),设&=48,b=AC>
(1)求a和b夹角余弦值;
(2)设卜|=3,c〃BC,求c的坐标.
【答案】(1)_叵.
10
(2)。=(一2,—1,2)或(2,1,—2).
【解析】
【分析】(1)利用空间向量的坐标表示求8的坐标,再由向量夹角的坐标表示求a和力夹角的余弦
值;
(2)由向量平行有c=且/leR,写出关于2的c坐标,再由空间向量模的坐标表示列方程求参
数,即可知c的坐标.
【小问1详解】
由题设,a=(1,1,0),/?=(-1,0,2),
,,a-b-1VlO
••cos<>=-----=-产—尸=-------.
\a\\b\V2xV510
【小问2详解】
由题设,3。=(一2,—1,2),由c//6C,即c=/lBC且几€火,
Ac=(-2/L,-A,2A),则卜|=3"|=3,即2=±1,
2,—1,2)或(2,1,-2).
7
19.已知(l-2x)7=%+4]%+。2*2-1---F«7x,求:
(1)---的值;
(2)%+4+%+。6及4+%+%+%的值;
(3)各项二项式系数和.
【答案】(1)%+4]斗---F=-1;(2)%+a2+/+%=1093,<21+a3+a5+ci-j——1094;(3)128.
【解析】
【分析】令/'(X)=(l-2x)7=%+4X+/X2H----F%/,利用赋值法可得:
(1)%+q+・・・+%=/(l);
/⑴+/⑴一〃一1)
(2)。0+%+%+。6=—''2'―L,〃]+々3+々5+。7=-'02'~~;
(3)各项二项式的系数和为少.
进而可得解.
【详解】令=(l-2x),=%+4%+〃2%2H-----
7
(1)4+qH----1-«7=/(1)=(1-2)=—1;
⑵由赋值法可得[〃1)=%+%+出+%+%+%+%+%=(1-2)7-
f(―1)=%—4+%—。3+〃4—〃5+〃6—%=(1+2)=2187
所以,4+/+4+4=〃1);/(T)=T+;187-]093,
/(1)-/(-1)-1-2187
=-1094;
%+/+%+%F―T'
(3)该二项式展开式中各项系数和为27=128.
【点睛】本题考查利用赋值法求解各项系数和以及奇数项、偶数项的系数和、二项式系数和,考查计算
能力,属于中等题.
20.某机构对某品牌机电产品进行了质量调查,下面是消费者关于质量投诉的数据:
擦伤凹痕外观合计
保质期内18%13%32%63%
保质期后12%22%3%37%
合计30%35%35%10()%
(1)如果该品牌机电产品收到一个消费者投诉,那么投诉的原因不是凹痕的概率是多少?
(2)如果该品牌机电产品收到一个消费者投诉,旦投诉发生在保质期内,那么投诉的原因是产品外观的
概率是多少?
(3)已知投诉发生在保质期后,投诉的原因是产品外观的概率是多少?
(4)若事件A:投诉的原因是产品外观,事件8:投诉发生在保质期内,则A和8是独立事件吗?
【答案】(1)—
(4)不是相互独立事件.
【解析】
【分析】(1)根据条件概率公式直接计算;
(2)根据条件概率公式直接计算;
(3)根据条件概率公式直接计算;
(4)由独立事件概率乘法公式直接判断.
小问1详解】
13
解:由已知得投诉的原因不是凹痕的概率为1-35%=65%=—;
20
【小问2详解】
32
解:由已知得投诉发生在保质期内,投诉的原因是产品外观的概率为32%+63%=一;
63
【小问3详解】
3
解:投诉发生在保质期后,投诉的原因是产品外观的概率为3%+37%=,;
37
【小问4详解】
解:由已知得尸(A)=35%,P(B)=65%,P(4?)=32%,P(A
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