排列组合问题的求解策略

1排列组合问题的求解策略长阳职业教育中心张庭松杨子敬[主题词]排列组合求解[摘要]计数问题是现实生活中最普遍排列与组合问题与现实生活密切相关，有关这类问题的解答的根底是两个计数原理，但是在实际求解过程中必须讲究解题策略和方法技巧。解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用根本原理和公式进行分析解答。同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。一、合理分类与准确分步法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，到达分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有〔〕A．120种B．96种C．78种D．72种树分析炒：由印题意傍可先谈安排帖甲，浓并按右其分悦类讨推论：袍1〕旦假设甲只在末吊尾，晃剩下垒四人挣可自膝由排报，有他种排锡法；败2〕付假设甲团在第仔二，窑三，见四位织上，慢那么有颈种排辫法，庸由分奉类计戚数原朱理，厕排法烧共有美种，垂选C采。且解排卷列与休组合换并存暴的问真题时识，一谈般采忠用先斜选〔杨组合政〕后刷排〔蚀排列庄〕的但方法产解答羡。裹例硬2、膛4摧个不凤同小塞球放培入编匀号为删1，史2，陷3，意4的碰四个主盒中附，恰甘有一李空盒透的方小法有添多少仙种？巷分析厅：从因洗恰有筝一空点盒，瘦故必惭有一云盒子榨放两左球。饶1〕我选：乎从四桐个球暴中选吊2个秩有论种，诸从4慎个盒绢中选特3个倘盒有另种；离2〕骄排：神把选架出的性2个睡球看讲作一趟个元址素与故其余害2球与共3盖个元谷素，约对选稿出的幼3盒占作全朋排列耀有您种，呼故所境求放优法有匠种。恭二、迹元素模分析斯与位膝置分愤析法白对于租有附锄加条胁件的题排列丝组合终问题镇，一鸣般采东用：欠先考原虑满涂足特亡殊的诉元素址和位放置，葬再考质虑其桨它元偷素和虎位置租。价例3标、脊用0洽，2舱，3迈，4梦，5置，五染个数断字，薯组成货没有脂重复副数字宜的三聋位数正，其芹中偶档数共捆有〔孩〕鲁。伯24三个援B机。3稿0个涨浇C。遣40代个槽D壤。6察0个中[分给析]芹由于尝该三杜位数舱为偶艺数，俘故末败尾数团字必极为偶雕数，荣又因省为0粥不能拆排首衡位，驰故0墓就是长其中肿的荡“趣特殊腰〞遇元素离，应品该优燕先安啊排，俗按0竟排在婶末尾全和0兴不排列在末逢尾分恐两类造：1宰〕0高排末赠尾时狂，有琴个，答2〕刷0不院排在弦末尾倘时，汉那么有陶个，僵由分影数计致数原虑理，因共有杂偶数寻=3黑0个号，选韵B。铜例4帐、饺马路瞧上有天8只缺路灯限，为衫节约贫用电宰又不拦影响泊正常搬的照撒明，汇可把夸其中唇的三类只灯兴关掉康，但袖不能惑同时告关掉留相邻相的两联只或旗三只筹，也纷不能雷关掉测两端敢的灯棵，那轨么满百足条古件的厘关灯孝方法溉共有线多少镇种？掌分析普：表紫面上良看关氏掉第美1只沃灯的池方法典有6铜种，垂关第羽二只欠，第氧三只萌时需钟分类皱讨论口，十搞分复卸杂。电假设从纽反面装入手膛考虑击，每茎一种布关灯士的方幼法对竖应着密一种拌满足柏题设解条件咳的亮输灯与线关灯佩的排闲列，汤于是膛问题披转化翁为驳“呈在5把只亮乖灯的斯4个颠空中愧插入揉3只登暗灯仗〞透的问方题。亩故关袭灯方护法种谅数为英。阻三、用插空绿法、传捆绑任法旨对于煮某几灿个元垦素不犁相邻馒的排出列问仆题，嘱可先秃将其裤他元暖素排交好，熊再将清不相言邻元苹素在胃已排围好的责元素咳之间言及两伐端空中隙中辆插入燕即可您。访例5鹅、7察人站仅成一严排照们相，币假设弓要求缝甲、偶乙、越丙不抬相邻截，那么斥有多英少种裳不同疮的排耀法？谨分析糟：去先将筐其余碗四人批排好痛有膛种排树法，壮再在性这人凯之间还及两吐端的抱5个喇“钞空半〞股中选惭三个网位置秃让甲殖乙丙讽插入方，那么铺有滥种方拢法，磁这样递共有缎种不陡同排裁法。缸对于瞒局部安“陵小整死体泊〞题的排扇列问借题，足可先剪将局螺部元浮素捆彻绑在逮一起厘看作衡一个灰元，鹊与其沟余元驶素一啊同排晒列，垄然后抱在进坟行局狠部排味列。剑例6槽、铜7人您站成收一排至照相葡，甲会、乙辰、丙喊三人些相邻遗，有扩多少旱种不熔同排接法？醋分析煎：勿把甲晌、乙远、丙钟三人区看作蝴一个出“刘元丸〞值，与叔其余渔4人边共5阅个元乔作全涝排列田，有头种排闸法，歼而甲使乙、舒丙、本之间罪又有绑种排绝法，运故共躁有阶种排状法。映四、蓄总体滨淘汰下法筹对于马含有彻否认像字眼鸭的问毅题，贼可以险从总擦体中芒把不兄符合有要求底的除奶去，限此时忌需注伞意不心能多芝减，管也不渐能少设减。户例如备在例香3中鸡，也南可用轿此法门解答炊：五鞠个数完字组便成三笋位数电的全单排列韵有给个，蠢排好惨后发累现0挖不能灾排首值位，汤而且滥数字箭3，冲5也护不能羽排末府位，汽这两昨种排裁法要临除去恳，故可有派个偶吧数。楚五、馒顺序于固定然问题槽用烂“雪除法肢〞液对于嫌某几绘个元最素顺沾序一浴定的假排列爱问题兴，可镰先把局这几灯个元系素与搏其他栗元素冤一同效排列勒，然毁后用妥总排贺列数政除以忍这几非个元衫素的消全排夫列数蔬。美例7搭、钉6隙个人喊排队朋，甲寄、乙帽、丙肃三人江按毛“埋甲-乐--衰乙-睬--谢丙殊〞西顺序举排的躺排队绘方法旬有多蛛少种齐？唤分析杏：洽不配考虑笑附加塑条件袜，排纺队方织法有但种，相而其朴中甲能、乙机、丙银的皆种排迫法中梢只有育一种雁符合躬条件围。故牧符合芳条件求的排添法有山种。娃六、烘构造日模型锻漠“永隔板负法币〞舒对于哥较复或杂的体排列北问题陪，可略通过悠设计宵另一跟情景梳，构疏造一听个隔监板模劫型来滩解决妙问题坟。驼例8茶、喷方快程透a+获b+站c+页d=菠12瓶有多芒少组尼正整蓝数解故？轮分析炭：建疤立隔袭板模透型：铜将1特2个路完全敏相同服的球璃排成升一列狐，在蹈它们姥之间棕形成奏的1倍1个冬间隙旁中任灿意插戒入3叮块隔法板，杠把球调分成影4堆仪，每违一种害分法乎所得挺4堆裂球的荷各堆汁球的纷数目揭，对暮应为膛a、膊b、美c、傅d魄的一望组正好整解奥，故幻原方渴程的止正整姨数解腊的组药数共捡有未。嫩又如眯方程洞a+惧b+守c+台d=弹12缴非负虽整数奔解的尊个数锣；三洪项式偶,涨四项暑式速等展变开式蛾的项嫩数，奇经过伙转化岸后都在可用饭此法搏解。柴七、签分排洪问题方“县直排咽法英〞朗把几村个元脸素排洲成前投后假设肠干排锣的排够列问欧题，嚷假设没馆有其孕它的草特殊躁要求议，可敌采取挠统一免排成但一排熟的方牧法来细处理蓬。吓例9穿、7进个人叼坐两概排座急位，务第一墓排3以个人静，第认二排画坐4浆个人威，那么广不同抗的坐烫法有眠多少姜种？涨分析哑：7岁个人姐可以丹在前蚊两排制随意裤就坐趁，再爱无其零它条轮件，纷故两森排可岸看作惯一排霞来处缩理，融不同诚的坐即法共论有山种。展八、驰表格京法却有些盼较复把杂的框问题翻可以丸通过州列图也表使抄其直呀观化轨。遭例1米0、借9评人组单成篮汽球队味，其即中7桌人善奇打前浑锋，粘3人销善打改后卫坏，现福从中染选5测人〔瓣两卫发三锋乓，且哈锋分顺左、剥中、范右，杜卫分军左右骄〕组淘队出怠场，角有多累少种支不同系的组掀队方妄法？危分析沙：由览题设爸知，慰其中拖有1熔人菜既可索打锋蜂，又鼓可打堂卫，疯那么只语会锋摔的有嫌6人品，只瓶会卫烦的有冬2妈人。城列表券如下握：观人数母6人继只会树锋金2人谈只会什卫桌1人著即锋络又卫洽结果台不同供选法准3陷2示3祥1乐1〔走卫〕饰2保2汉1〔崇锋〕塞由表约知，挤共有稻种方魄法。计除了泛上述送方法禽外，趁有时恒还可宜以通不过设纯未知哪数，继借助胖方程惭来解表答，况简单久一些红的问局题可淡采用捞列举备法等训。解必此类毫问题异常用镇的数佳学思铜想是妈：分右类讨伞论的生思想浪，转痒化思餐想和稍对称杠思想塘等三肯种。袍排列纸组合嘴是高弹中数倒学的泉重点横和难艇点之旷一，场也是为进一诊步学巴习概沙率的虑根底归。事匹实上外，许随多概理率问丝题也约可归脱结为干排列打组合半问题产。这柿一类起问题给不仅炎内容末抽象信，解咐法灵切活，似而且削解题死过程寿极易矩出现跨“旧重复换〞城和羽“轨遗漏删〞谷的错圣误，阻这些染错误走甚至社不容易易检崖查出聋来，胃所以指解题新时要猾注意覆不断装积累漠经验循，总素结解秀题规帮律，苗掌握姨假设干铲技巧受，