运筹学 整数规划

整数规划

IntegerProgramming

整数规划的数学模型MathematicalModelofIP整数规划的分支定界法BranchandBoundMethodforIP整数规划的割平面法CuttingPlaneMethodforIP0-1整数规划BinaryIntegerProgramming指派问题AssignmentProblem1整数规划的数学模型相关定义一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整数规划(IntegerProgramming)整数规划中不考虑整数条件所对应的规划问题，称为该整数规划的松弛问题(SlackProblem)松弛问题为线性规划的整数规划问题称为整数线性规划(IntegerLinearProgramming)整数线性规划一般形式min(max)z=c1x1+c2x2+…+cnxnai1x1+ai2x2+…+ainxn=bi(i=1,2,…,m)xi≥0(i=1,2,…,n)且部分或全部取整数整数规划的几种类型纯整数线性规划(PureIntegerLinearProgramming)：决策变量全为整数的线性规划混合整数线性规划(MixedIntegerLinearProgramming)：至少一个变量为整数和非整数的线性规划0-1型整数线性规划(0-1IntegerLinearProgramming)：全部变量为0或1的线性规划例1：某服务部门各时段(每2小时为一时段)需要的服务员最少人数见下表。按规定服务员连续工作8小时为一班。现要求安排服务员的工作班次，使服务部门服务员总数最少。时段12345678服务员最少人数10891113853解答：设在第j时段开始上班的服务人数为xj。数学模型为：minz=x1+x2+x3+x4+x5x1≥10x1+x2≥8x1+x2+x3≥9x1+x2+x3+x4≥11x2+x3+x4+x5≥13x3+x4+x5≥8x4+x5≥5x5≥3xi取非负整数(i=1,2,3,4,5)用Excel求得结果ABCDEFGH1变量x1x2x3x4x52取值1008053目标函数系数11111234约束条件01110105约束条件02118106约束条件031119187约束条件04111111188约束条件05111113139约束条件0611181310约束条件07115511约束条件08135整数规划解的特点松弛问题可行解的集合是一个凸集，任意两点凸组合依然是可行解；而整数线性规划可行解的集合是松弛问题可行解的集合的一个子集，任意两点凸组合不一定是可行解。整数线性规划的最优解的目标函数值不会优于其松弛问题。考虑下面的整数规划问题maxz=x1+4x2-2x1+3x2≤3x1+2x2≤8x1,x2取非负整数012345678P整数规划最优解松弛问题最优解A*z=x1+4x2=12z=x1+4x2=94/7z=x1+4x2x1x2x1+2x2=8-2x1+3x2=32整数扛规划晓的分备支定央界法分支送定界歌法(B卫ra甘nc导h董an竟d怠Bo尺un理d钩Me辆th见od钓)是在泰枚举骆法基努础上最的改振进，温是一凝种隐粮枚举帮法(I胜mp棒li扶ci惹t绞En西um称er黑at家io破n姐Me嗽th此od猎)或者胡部分喊枚举之法(P衣ar常ti绕al限E第nu史me准ra泊ti船on汽M稠et猴ho上d)，不势是一垫种有效效算刷法。思路腥：利宽用其神松弛另问题勉的最秩优解(值)来分诵支定拉界。关键蠢：分招支定膀界法猴的关表键是简分支巾和定唇界。分支际：若衣得到梁松弛眉问题崇的一敞个最牲优解邪，分深量x1=x1*不是姻一个系整数各。则桑将原乳松弛辽问题蜘分别慨加上x1≤[启x1*]和x1≥[凭x1*]+污1这两裳个约吐束条延件，评构成催两个线松弛趣问题搁继续芳求解别，这创个过阳程体临现了纱分支鹅。定界妨：在漏以后美的计哨算中惹遇到翁整数哲规划驶问题捉的最佩优解牙，其齐目标暗函数蜓就可澡以设管定为畜一个赴界限汤。不肾考虑断比这邀个值索小的励可行烫解和消最优酿解。例2：求窝解整缴数规太划问处题A整数规划问题A1松弛问题Bmaxz=40x1+90x2maxz=40x1+90x29x1+7x2≤569x1+7x2≤567x1+20x2≤707x1+20x2≤70x1,x2为非负整数x1,x2≥0序问题来源x1x2zz1z2处理(1)B松弛问题4.811.82355.880356x1分支(2)B1B+x1≤442.13490349x2分支(3)B2B+x1≥551.57341.430341x2分支(4)B11B1+x2≤242340340341可行(5)B12B1+x2≥31.433327.14界外停止(6)B21B2+x2≤15.441307.78界外停止(7)B22B1+x2≥2无解停止3整数努规划样的割诸平面呢法割平席面法芝的基傲本思圈想求该镇整数奋规划销松弛妨问题慈的最情优解如最辫优解搁恰是盐一个伤整数省解，白则停向止如果衰线性歼规划抚的最灯优解永不是锅整数钟解：则要播求构茄造一祸个新遵的约主束，基对线多性规润划问乔题的头可行解域进竭行切弊割，低切除群已经户得到妈的线晌性规遥划的嫩最优适解，迫但保情留原序可行导域中疫所有驳的整悠数解求解疫新的撞线性缠规划霸问题如此颜一直他进行例3：用斩割平炼面法捎求解柄以下焰整数乒规划Mi初n注z=热3x1+4馋x23x1+x2≥4x1+2采x2≥4x1,x2≥0且x1,x2为整慕数BVzx1x2x3x4RHS100-2/5-9/544/5x110-2/51/54/5x2011/5-3/58/5先求阳相应巩的线阳性规永划问席题，屈得到港最优位单纯渔形表选择忘一个毫非整滤数的抄基变杨量，片如x2构造疏约束常条件俗，则b2=8胃/5构=1足+3翅/5，I2=1，F2=3蓬/5y23=1圆/5育=0主+1府/5，I23=0，F23=1春/5y24=-凑3/纠5=膛-1权+2品/5，I24=-限1，F24=2弯/5故附芽加的包约束零条件圾为：3/担5-萍(1颂/5妻x3+2炮/5扬x4)≤作0即1/弄5x3+2盘/5旗x4≥3辆/5将这既个约森束加翠到线晋性规怒划的漆最优址单纯潮形表捞中，粘并增骨加一暗个松洋弛变经量x5，得拉到BVzx1x2x3x4x5RHS100-2/5-9/5044/5x110-2/51/504/5x2011/5-3/508/5x500[-1/5]-2/51-3/5用对孕偶单想纯形吵法，x5离基雄，x3进基BVzx1x2x3x4x5RHS1000-1-210x11001-22x2010-111x30012-53已获缓得整拾数的背最优策解。4曲0扬-1整数头规划对于功是否旨执行朋某些福决策码等“周是-否”帝或“谁有-无”商问题莫，可离借助0-触1整数烤变量辟，也涛可称袋决策飞变量先、指甲标变吨量、喝逻辑败变量唤、二闻进制纪变量仿。设xj=1散(若决赵策j为是)，或直者xj=0池(若决缠策j为否)，则很：若多鹅个决狼策方酒案中坟恰好歼选中锅一个普方案黄，可服以表者示为屿∑xj=1选中套不多秒于一眼个方遣案：刘∑xj≤1选中锣不少逆于一评个方活案：膀∑xj≥1对于罩两个0-包1决策陈变量x1和x2的逻缺辑关盼系，耕若假叉设其冲发生往则取和值为1，否括则取驰值为0，那昌么基愤本形睡式为(1眠)或关招系：x1或x2，x1+x2≥1(2惰)与关燃系：x1与x2，x1+x2=2(3粗)非关鬼系：脱非x1，x1=0，1-剩x1=1(4薪)蕴含即关系慈：x1发生培则x2必发银生，x1-x2≤0(5艘)当且吴仅当仅关系询：x1-x2=00-染1变量毫可以日表示查特殊惭约束(1卸)部分上约束m个约兵束条语件ai1x1+…斤+ainxn≤bi(i=1眉,…呜,m届)，定局义yi=1表示伙第i个约堵束条慕件不搬起作塞用,yi=0表示恶第i个约愤束条诸件起耽作用螺，定丸义M为任充意大帽的正畏数，晒则其关中k个条敌件起缸作用价的表它示为a11x1+…侍+a1nxn≤b1+M济y1a21x1+…子+a2nxn≤b2+M怖y2…am1x1+…犹+amnxn≤bm+M魄ymy1+…费+ym=m-烦k(2诉)选择耕取值约束来条件寨的左总端项练是f(康x1,…增,xn)，右饶端项馆可能党是N个值(b1,…静,bN)中的斑某一馆个。召可以前定义yi=1表示邮选中bi，yi=0表示忙不选消中bi，则f(冻x1,…罩,xn)≤飞∑biyiy1+…材+yN=1(3拆)固定澡费用总费外用Cj(xj)为固岩定费迹用(kj)和变燃动费悟用(cjxj)之和愤，若缴有产慕量(xj>0储)则固地定费旷用发啊生；珍若无园产量(xj=0弦)则固条定费五用不嫁发生看。可虾以设污置逻池辑变怜量yi=1表示焰产量xi>0，yi=0表示业产量xi=0，则mi奔n香z=泰∑Cj(xj)=坦∑(cjxj+kjyj)其他关原始狗限制家条件xj-M霞yj≤0xj≥0闲,yj=0或1(4巩)逻辑宇关系若f(如x)<拆0成立(即f(粪x)醋≥0不成欲立)，则g(摇x)唤≤0必须窑成立怨；若f(抖x)<追0不成跳立，经则g(诸x)无限哥制(a贴)引进绣逻辑咸变量y=况1或0，则f(悟x)救≥-土M(妖1-常y)g(伍x)选≤M盼y(b香)或者唤设y1,y2取值0或1，则-f见(x债)≤辟M(把1-棵y1)g(派x)今≤M爸y2y1-y2≤0可推据广到性多个火约束乐条件矮，见(1侄)部分汪约束0-乌1规划州模型晨求解(1因)枚举矩法当问造题规挡模小打，枚浴举法茂求解0-赚1规划沾可列多出全洁部组翼合方分案，浙从而的判断麻最优凯解。例4：用丧枚举但法求拜解下胜列0-祝1规划捷问题黎。ma秆x吩z=昨2x1+4索x2+x3x1+x2+2缴x3≤32x1-x2+x3≤2-x1+2话x2+3陡x3≤1x1,x2,x3∈{侨0,激1}x=(x1,x2,x3)T约束1约束2约束3可行解目标值最优解(0,0,0)T0≤30≤20≤1√0(0,0,1)T2≤31≤23≤11(0,1,0)T1≤3-1≤22≤14(0,1,1)T3≤30≤25≤15(1,0,0)T1≤32≤2-1≤1√2(1,0,1)T3≤33≤22≤13(1,1,0)T2≤31≤21≤1√6√(1,1,1)T4≤32≤24≤17(2婶)隐枚欠举法对枚永举法全加以婆改进粉，通许过增胶加某汇些过棍滤条支件，散去除漫那些携明显随不是僵最优粮解的境解，跳就避昌免逐裤一检闪查是矛否可屡行(a对)观察思约束激条件情，如x1+3艘x2+2继x3+2丹x4≤5，如害果x2=1幅,x3=1址,其他们任何泽变量辛取1都不毫可行(b摇)考察迟目标饶函数阁，如镰某可姑行解恭使z=抄z0，如碍果新算的可巨行解z1<z0，则笛绝对膜不是支最优嘉解举例辉：略(3谜)分枝厉定界拍法与整舒数规割划的饿分枝淘定界柿法一啦样。乔由于膊是0-争1规划烫，故片分枝钟定界维较快顶：对氏不是暂整数蔽的某合可行址解xj，分慈枝时吉只要秩分解鸽为xj=1和xj=0两个屋枝即晶可。袜定界漏时重州新设龄定目紧标函扔数z的上降下限陵。举例凉：略5指派携问题(A境ss异ig辉nm屿en造t葛P秋ro庄bl爬em热)指派死问题理的标躬准形异式标准狮指派舟问题伍的匈彼牙利洁算法非标杠准指袖派问汤题及爸其求煤解思负路指派钞问题惕的标注准形熄式在我伸们现麦实生没活中百，常还有各使种性输质的煌指派陕问题保。例嘉如：耻应如虾何分妖配若肌干项席工作铸给若淋干个蔽人(或部蹦门)来完泡成，善以达衫到总根体的搞最佳冬效果此等等营。由于扫指派只问题腿的多垫样性隐，我甜们有筛必要球定义牵指派薪问题距的标健准形亚式。设n个人椒做n件事速，要独求每纲人必肠须而祝且只芹做一企件事衔，每稳件事朋允许椒而且角只允珍许一疾个人木来完临成。恶设第i人做轨第j件事岸的费葱用为cij(i雁,j=1韵,2撇,…共,n坦)，假董定cij≥0，这艘样我迈们可瓦以得丸到指圣派问珍题的匠系数群矩阵C=鸦(cij)n×富n。指孙派问屿题就湿是，倍如何孙指派侮每个勿人的嫁任务鸣可使匪总费牙用最歉少。为了赖建立透标准抛指派百问题市的数底学模侵型，传我们必引入n²个0-原1变量缠：设xij=1表示基指派翅第i人做扑第j事，xij=0表示妻第i人不断做第j事。鸽则数鹿学模底型为mi惭n健z=跃∑∑cijxijxi1+xi2+…灭+xin=1谈(i袜=1塔,2泄,…蔬,n软)x1j+x2j+…佛+xnj=1栽(j难=1绪,2乖,…仓,n施)xij∈{晃0,馋1}慨(i,帽j=1尿,2体,…凤,n局)标准犹指派逮问题舅的匈详牙利贡算法步骤1：造醒零。撞将费绕用矩铸阵每斩行减梳去该构行的狐最小酬值；叫每列示减去棚该列狱的最屋小值惭。步骤2：盖窄零。召用最朗少的搂线覆炭盖所救有零走，线冰条数清等于n就转醒下一荒步骤若，否慨则继用续造盐零。步骤3：保刮零。猴保证怜每行红和每究列都意有且路只有梦一个邀零。步骤4：变暑零。眼将为遇零的结地方陷变为1，其技余为0，得朗到任蚕务安棋排。例5：求传解下姨列指碍派问咽题B1B2B3B4B5A14871512A279171410A3691287A46714610A56912106解答惊：利胶用匈万牙利汇法计宝算如狂下(1)B1B2B3B4B5min(3)B1B2B3B4B5A148715124A1030118A2791714107A201773A36912876A302321A467146106A400504A569121066A502340111111111111111111111111111111111111111111(2)B1B2B3B4B5(4)B1B2B3B4B5A1043118A1130118A2021073A200662A303621A301210A401804A410504A503640A512340mi